第2章 第2节 分式方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第二节分式方程及其应用 一阶教材知识全梳理 9对接教材人教：八上第十五章P149~P156:冀教：八上第十二章P18~P25:北师：八下第五章P125~P130. 知识点1)分式方程的相关概念与解法 概念 分母中含有未知数的方程 基本思想：化分式方程为整式方程. 一般步骤： 等于0，则x=a 分式方 检验 是方程的增根 程无解 解法 x=d 解整式 代入最简 不等于0，则 式方 去分母 式方程 方程 公分母 x=a是方程的根 乘最简 公分母 无解 分式方程无解 【特别提醒】 例1 3 解方程 1 x+2 x+1 1+x (1)最简公分母与分母互为相 解：方程两边同乘 ,得 反数时注意符号； 示例 解得 (2)去分母时，整式部分（含常 检验：当 时， 数项)不要漏乘最简公分母； 原分式方程的解是 (3)不要忘记检验 知识点②分式方程的实际应用 一般步骤：实际问题 找等量关系「 列分式方程 解方程 双检验 答 设未知数 【特别提醒】双检验：(1)检验所得解是否是所列分式方程的解；(2)检验所得解是否符合实际意义， 例2根据下列实际问题列方程： 【技巧点拨】常用数量关系： (1)[购买问题]随着电影《哪吒2》的热映，其哪吒相 (1)购买问题： 关书籍的销量也急剧上升.某书店分别用2000元和 3000元两次购进该书籍，第二次购进数量比第一次 第一次总费用第二次总费用=数量差（或 第一次单价 第二次单价 多50套，两次进价相同.设该书店第一次购进x套， 两次数量之间的和差倍分关系)； 则 (2)工程、生产问题： (2)[工程、生产问题]师傅和徒弟两人每小时共做 工作总量 40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒 原计划每天完成的数量 弟做了100个零件.师傅每小时做了多少个零件？ 工作总量 若设师傅每小时做了x个零件，则 提高工作效率后每天完成的数量提前完 (3)[行程问题]嘉淇乘电动汽车比乘公交车上学所 成的天数； 需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度 (3)行程问题： 是公交车的2.5倍，嘉淇家到学校的距离为8千米 总路程 总路程 甲的速度乙的速度 =乙比甲提前到的时间 若设乘公交车平均每小时行驶x千米，则 19 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1分式方程的相关溉念与解法(2023.18,2020.9) 1.(2025河北样卷18题变式)习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 +l*+1. 习题2：解方程 +1t=1. 解：原式(+1) 解：x2-x(x+1)=1 第一步 第一步 x+1x+1 x2-x2-x=1 第二步 =22+1 X=-1. 第三步 …… 第二步 x+1x+1 检验：当x=-1时，x+1=0, 1 … 第三步 ∴.x=-1是原方程的增根， x+1 .原方程无解. …… 第四步 (1)习题1的解答过程从第 步开始出错，习题2的解答过程从第 步开始出错； (2)分别写出习题1,2的正确的解答过程 园易错提醒 2.[含参问题]关于x的分式方程mx t13 分式方程有增根和无解并非同一概 (1)当m=-2时，该方程的解为 念：(1)分式方程的增根是去分母 (2)若该方程有增根，则m的值为 后的整式方程的解，也是使分式方 程的最简公分母值为0的解； (3)若该方程无解，则m的值为 (2)分式方程无解包含两种情况： (4)若该方程的解为整数，则m的值为 ①分式方程有增根；②去分母后的 (5)若该方程的解为正数，则m的取值范围 整式方程无解 是 考点2分式方程的实际应用(2016.12) 3.嘉淇发现自己在单位时间内可完成m页A书籍的阅读或完成(7-m)页B书籍的阅读，并 且阅读25页A书籍所用时间与阅读10页B书籍所用时间相同，求m的值. 温馨提示 请完成分层练习册P20~P21习题 20x=2 解法2：2x=4:x=2:x=2:y= 1 29 1 x=2 1 解法3：4=2y=2沙=2x=2 y=2 6.(1)当a=1时，x+y的值为2. (2)a=3. a-1 &= 尚超远，将代华 2 a+3 y=2 .y-=at3 a-1 =2 22 无论a为何值，y的值始终比x的值大2. 7.53 8.这架飞机无风时的平均速度为765km/h,风速为 15 km/h. 9.午餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足一个初中学 生的身体需要. 第二节分式方程及其应用 例1x+1;x-3+x+1=x+2:x=4:x=4:x+1≠0：x=4 例2(1)2000_30 x x2.5x4 1.(1)一；一. (2)习题1：原式= *1 习题2：原分式方程的解为x=2 1 2 2(1)x=5;(2)1:(3)1或3：(4)2或4或5： (5)m<3且m≠1 3.m的值为5. 第三节一元二次方程及其应用 ①是②不是③3④-2⑤-1 例1(1)x1=-1,x2=-3: (2)x2+4x-3=0;x2+4x=3;x2+4x+4=3+4:x+2:7: x1=-2+V7,x2=-2-√7； (3)x2+4x-12=0:1;4:-12:42-4×1×(-12)=64>0: -4±√64 2×1 =-2±4：x1=2,x2=-6; (4)x1=0,x2=2. ⑥-n±b⑦-6±vBF-4ae ⑧a⑨b0不相等 2a ①相等②没有-6 C⑤≠G≥ 例2(1)2.8(1+x)2=4;【变式】3200(1-x)2=1600: (2)1+x+x(1+x)=121:(3)x(-=36: 2 (4)x(x-1)=870:(5)x[120-0.5(x-60)]=8800 Da(1+x)2Ba(1-x)29a(1+x)2②n(n-l) 2 ①n(n-1）2x·b 1.(1)m≠-1；(2)-1；(3)x2;1;-3x;-3:2 2.(1)x1=-1+2,x2=-1-√2 (2)x1=0,x2=3. (3)x1=1+W5,x2=1-√5. （4)x1=-2,x2=2. 3.(1)甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的，乙同 学的解答过程是从第二步开始出现错误的。 (2)x1=3,x2=6. 1 4(m<8且m≠-1：(233)m>8(4m<、电 m≠-1：(5)m≤日：(6)有两个不相等的实数根 5(1①13：②7：33：④5：55：(2)22 6.(1)道路的宽度为2m (2)道路的宽度应设计为5m. 第四节一元一次不等式（组）及其应用 ①>②>③>④<⑤<⑥改变 例1x>6-2(2-x);x>6-4+2x;x-2x>6-4;x>2;x<-2 ⑦公共⑧x>a⑨x≤a0x≥a①x>a②x<b 3<x<a④无解5实心圆点6空心圆圈⑦左 ⑧ 例2A品牌乒乓球最多有36个. 9<②①≥@≤ 1.A【变式设问】③⑤ 2.(1)x≤2. 将解集表示在数轴上如下 -10123 (2)原不等式组的解集为x≥4 将解集表示在数轴上如下 -1012345 3.D 4.(1)每关的奖励值为+15点，惩罚值为-5点. (2)嘉嘉最多能失败6次 5.(1)x≥-2，将解集表示在数轴上如下 -5-4-3-2-1012345 (2)a<-2:(3)-2≤a<-1:(4)-1≤a<0:(5)a≥-1： (6)a≤-1 第章函数 第一节平面直角坐标系与函数初步 ①四②三③-④y⑤x⑥x=0,y=0⑦y ⑧-y2⑨b①a①1b121alB1x1-xI④1y1-y, 5√a+b0(x+m,y）⑦(x,y+m）⑧(x,y-m) 0(x,-y）2②0(-x,y）④(-x,y）2≥13>1≠0 3 1(1)二(2)2：1：2m<1:(3)-3；-2 2.(1)(3,1);(3,2):(2)①B:②否 3.(1)4:3:5:(2)3:√29：(3)①1m-31:②(-2,4)或(8,4) 4.(1)(3,2);(-3,-2)；(3,-2); 3