第2章 第1节 一次方程(组)及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

课堂精讲册 第一章数与式 2.解：(1)原式=-3×22+9×1-2=-5. 第一节实数及其相关概念 (2)原式=-3(x2-3y)-2=-3×1-2=-5. (3)(x-1)2+1y-21=0,x-1=0,y-2=0,.x=1,y=2, ①-5米②低于海平面20米③大④1a-b1 ⑤+6 .原式=-3×12+9×2-2=13. 1 3.③64.③⑥⑧05.D ⑥-a⑦0⑧0⑨相等⑩原点①02-aB 6.原式=3x2+y2 @151和-101⑦10⑧1019103207.6 当x=-3,y=-2时，原式=3×(-3)2+(-2)2=31， ①7.58 7.(1)2x(x-2):(2)(x+2y)(x-2y);(3)y(x-2)2; 1③5⑧：③⑦⑧：②00：02.B (4)(x+3)(x+1) 3()-44:4子(2)C:D:(3)-3(4)-3或-54万 8.(1)n+6:n+1. (2)原式=7(4n+7), 5.(1)4×103:(2)1.173×10;1.173×10°：(3)3.05×10； .n为任意正整数，(A+B)2-4n2的值总能被7整除， (4)5×10;(5)2×10-8;【拓展设问】2340000：0.00234 9.C10.4054 6.C 第五节分式 第二节数的开方与二次根式 ①是②不是③B≠0④A=0且B≠0 ①两②相反数③0④0,1⑤0，±1⑥±8⑦8⑧4 ⑤B≠0，C≠0，D≠0⑥不变⑦1 ⑧是⑨不是 O≥不是m不是B-4石·6G石 +1 0x(x+1)(x-1) 6 B不变④加减 瓜√F ⑧2√2193V20-1@22134 5±地6 c bd ⑦ttc ⑧变号9不为0 ②4954205⑦283②92团3团n2,a-n bd 1.②⑤ 1.x≠3；x=5【变式1】x=-3【变式2】x>-5且x≠0 2.(1)x≥3(2)x≥-1(3)x≥1且x≠2(4)x>1 2.①④⑦8 3.②⑤⑦⑧4.①③⑧90 3a2:231:4:56 x-1 5.解：(1)原式=(5)2-(2)2=3-2=1. (2)原式=(5)2-2x3×√2+(2)2=5-26. 4解：原式-3x(x+2)-x(2.（x-2)(+2)-2x+8 (x-2)(x+2) 3)原式=35+3x93v厄-2w x≠±2且x≠0，x只能取1. 当x=1时，原式=2×1+8=10. 6.A7.B8.6:7;3;2√T-6 第二章方程（组）与不等式（组） 第三节实数的大小比较及运算 第一节一次方程（组）及其应用 ①大②小③<④>⑤1⑥1⑦a⑧-1⑨1 例12(3x-1)=6-(4x-1):6x-2=6-4x+1: 0-1①L2h-a3m@axc+b×c (21 3+3 6+4x=6+1+2:10x=9;x-10 G8⑦(100-1)8(100+1) 例2(1)y=2x-4:3x+2(2x-4)=-1:x=1:x=1:y=-2: 例(-8)：(2-√3)：-8+2-√3-1：-7-√3 1.A2.(1)<;>>;(2)a;-b:b:lal3.>;< {l228a841156 11 41l;-2781;-11:888:-85-2 例3(120'：(2)(1+60%)ax0.9-a=38: 5.(1)-21.(2)1.(3)-5. 第四节代数式与整式 200x=2×50) ①5②1③和④是⑤是⑥不是⑦是⑧不是 1.C2.2x=y ⑨a+b+c0a-b-c①5a2b2相加Bam*n④相减 3.(1)x=-8.(2)x=1 5ama⑥相乘⑦a⑧a'"b96ab3②02a2+2ab 4.(1)-1;(2)3;(3)a>3;(4)2 @am+an+bm+bn2a2-b3a2±2ab+b2②44a2x 52a+b 5.解法1：x=3-2y:3-2-2y=1y=22 1 例(x2-6x+9);(x2+9):x2-6x+9-x2-9;-6x;-6×(-2);12 x=2 ②西m(a+b+c）②⑦2xy(a+b)(a-b)②9(a±b)2 x=2 1.(1)a2+b2;(2)3n;3n+1;(3)0.8a;0.1xa y-2 2 (x=2, 1.(1)m≠-1；(2)-1；(3)x2;1;-3x:-3;2 解法2：2x=4:x=2:x=2:y= 1 2.(1)x1=-1+2,x2=-1-2. (2)x1=0,x2=3. 1 (3)x1=1+5,x2=1-5. 解法3：4=2y=22=2 (4)x1=-2,x2=2. 3.(1)甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的，乙同 6.(1)当a=1时，x+y的值为2. (2)a=3. 学的解答过程是从第二步开始出现错误的 a-l (2)x1=3,x2=6. Y= (9题意兴 2 40ag且a-1:(2令：(3)网>日：(4ms号且 1 解得 a+3 21 m≠-1：(5)m≤日：(O)有两个不相等的实数根 y=22 a+3a-1 =2 5.(1)①13：②7；83：④5：55：(2)16 7 .无论a为何值，y的值始终比x的值大2. 6.(1)道路的宽度为2m 7.53 8.这架飞机无风时的平均速度为765km/h,风速为 (2)道路的宽度应设计为5m. 15 km/h. 第四节一元一次不等式（组）及其应用 9.午餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足一个初中学 ①>②>③>④<⑤<⑥改变 生的身体需要 例1x>6-2(2-x):x>6-4+2x;x-2x>6-4;-x>2;x<-2 第二节分式方程及其应用 ⑦公共⑧x>a⑨x≤a0x≥a①x>a2x<b B站<x<a@无解⑤实心圆点⑥空心圆圈⑦左 例1x+1:x-3+x+1=x+2;x=4:x=4:x+1≠0：x=4 例2(1)2000.3000 0(3)8、8 +50(2)100300 ⑧右 x2.5x4 例2A品牌乒乓球最多有36个. 1.(1)-；-. 9<②①≥@≤ 1.A【变式设问】③⑤ (2)习题1：原式 x+1 2.(1)x≤2. 将解集表示在数轴上如下 习题2：原分式方程的解为x分 2(Dx=号：(21：3)1或3.(42或4或5 -10123 (2)原不等式组的解集为x≥4. (5)m<3且m≠1 将解集表示在数轴上如下 3.m的值为5. 第三节一元二次方程及其应用 ①是②不是③3④-2⑤-1 -1012345 3.D 例1(1)x1=-1,x2=-3; 4.(1)每关的奖励值为+15点，惩罚值为-5点. (2)x2+4x-3=0;x2+4x=3;x2+4x+4=3+4:x+2;7; (2)嘉嘉最多能失败6次 x1=-2+W7,x2=-2-√7； 5.(1)x≥-2，将解集表示在数轴上如下. (3)x2+4x-12=0;1;4;-12;4-4×1×(-12)=64>0: -4±√64 =-2±4；x1=2,x2=-6; 内-4-3-2-1012345 2×1 (2)a<-2:(3)-2≤a<-1:(4)-1≤a<0:(5)a≥-1： (4)x1=0,x2=2. (6)a≤-1 ⑥-n生5⑦6±V-4ae ⑧a⑨b0不相等 第三章函数 2a 第一节平面直角坐标系与函数初步 ①相等②没有B-6 C5≠6≥ ①四②三③-④y⑤x⑥x=0,y=0⑦y ⑧-y⑨b0a①1b21alB1x,-x,I④1y1-y2 例2(1)2.8(1+x)2=4;【变式】3200(1-x)2=1600: (2)1+x+x(1+)=121:(3)*(业-36 5√a+b⑩(x+m,y）⑦(x,y+m）⑧(x,y-m) 2 0(x,-y）②@(-x,J）@(-x,y）2≥13>14≠0 (4)x(x-1)=870:(5)x[120-0.5(x-60)]=8800 3 1(1)二(2)21：2m<1;(3)-3；-2 Da(1+x)Ba(1-x)a(1+x):(n-1) 2 2.(1)(3,1):(3,2);(2)①B;②否 ①n(n-1)②x·6 3.(1)4:3:5:(2)3:29:(3)①1m-31:②(-2,4)或(8,4) a 4.(1)(3,2):(-3,-2):(3,-2): 3第二章方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组）及其应用 一阶教材知识全梳理 0对接教材人教：七上第三章P77~P112,七下第八章P87~P112;冀教：七上第五章P145~P172,七下第六章 P1~P28:北师：七上第五章P129~P153,八上第五章P102~P134. 知识点①等式的性质 数学表达 在解方程中的应用 性质1 若a=b,则a±c=b±c 移项 若a=b,则ac=bc 去分母 性质2 若a=b(c≠0)，则4-b 系数化为1 cc 知识点②一元一次方程的概念与解法（重点） 1.概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式 2.解法及注意事项 例1 解方器1。只 6 【特别提醒】(1)去分母时，不要漏乘不 【答题模板】 含分母的项（尤其是常数项）； 解去分母，得 (2)去括号时，若括号前是“-”，括号内 去括号，得 的每一项都要变号； 移项，得 (3)移项一定要变号； (4)系数化为1时，分子和分母位置顺序 合并同类项，得 不要颠倒 系数化为1，得 知识点③二元一次方程组的解法 1.解法 例2解方程组：(1) 2x-y=4,① 【方法总结】(1)基本思想：消元，即二元 3x+2y=-1:② 【答题模板】解：由①，得 ,③ 一次方程组消元一元一次方程 把③代入②，得 ,解得 (2)解法适用情况： 将 代入③，得 ,∴.方程组的解是 代入消元法：适用于有一个方程的常数项 (2)5-2=3,0 为0或某个未知数的系数为1或-1. 3x+2y=5.② 加减消元法：适用于方程组中同一个未 【答题模板】解：①+②，得 ,解得 知数的系数相等或互为相反数或易变形 将 代入①，得 ,.方程组的解是 为相等或互为相反数的形式。 15 【知识拓展】三元一次方程组的解法*： 基本思想：消元，即三元一次方程组消无二元一次方程组消元一元一次方程 2.方程的解的应用 (1)若x=m是关于x的方程ac+b=0的解，则am+b=0: (2)若x=m,y=n是关于x,y的二元一次方程a+by=c的解，则am+bn=c; (a m+bin=c1, (3)若x=m,y=n是关于x,y的二元一次方程组 a1x+by=c1'的解，则 ax+bzy=C2 m+ban=cz. 知识点④一次方程（组）的实际应用（重点） -般步骤： 审：审题，找等量关系 实际问题 方程（组）问题 设：设未知数 答 列：列方程（组） 解 实际问题的解 方程（组）的解 验： 检验是否符合实际意义 例3根据下列实际问题列方程（组）： 【技巧点拨】常用数量关系： (1)[购买问题]嘉淇到水果店购买苹果 (1)购买、分配问题：①总价=单价×总量； 和梨，他发现购买1千克苹果和2千克 ②甲的量×甲的单价+乙的量×乙的单价=总价. 梨需花费28元，购买2千克苹果和1千(2)打折销售问题： 克梨需花费32元.问1千克苹果和1千 ①售价=标价（原价）×折扣（如打九折，折扣就 克梨的价格分别是多少元？设1千克苹 是90%)： 果的价格为x元，1千克梨的价格为 利润 ②利润=售价-进价（成本价）：③利润率= ×100% y元，则 进价 (2)[打折销售问题]某店对某种蓝牙耳 (3)行程问题：路程=速度×时间，即s=t 机按成本价提高60%后标价，又以九折 ①相遇问题：v甲×相遇时甲的行驶时间+z×相遇时乙的 优惠卖出，结果每个耳机仍可获利38 行驶时间=两地路程： 元.若设这种蓝牙耳机每件的成本为 A B a元，则 甲 相遇处 乙 (3)[行程问题]嘉嘉和淇淇一起登同一 ②追及问题：若同时不同地出发，则(p-2)×追及时间= 座山，嘉嘉每分钟登高10米，并且先出 追及路程； 发30分钟，淇淇每分钟登高15米，两人 C乙一2 同时登上山顶，问山高多少米？设这座 甲 S甲 相遇处 山高x米，则 (4)[配套问题]某车间有60名工人生 若同地不同时出发，假设甲先出发th,则、S VpV无 产眼镜，1名工人每天可生产镜片200片 甲一 B 或镜架50个.两个镜片和一个镜架配 乙→ 相遇处 套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才 ③航行问题：顺水（逆水）速度=静水速度+(-)水流 能使每天生产的产品配套？设安排x名 速度. 工人生产镜片，y名工人生产镜架，则(4)配套问题： m个A和n个B配套：A的数量×n=B的数量×m. 16 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1等式的性质(2018.7) 1.（冀教七上P151习题T1变式)根据等式的性质，下列变形正确的是 ( A.若x=y,则x+c=y-c B.若ab=bc,则a=c C.若”=b.则a=b c D若2宁1.则3x2= 2.(2018河北7题变式)如图，在甲、乙两台天平左、右两边分别放入一定数量的“○”“☐”两 种物体，天平保持平衡.若甲表示3x=y+x,则乙可表示为 甲 乙 考点2一元一次方程的概念与解法（多在实际应用题中考查） 3.（北师七上P136T1变式)解方程： (1)2(x-1)=3(2+x); (2)1-x-12+x 23 4.（冀教七上P148T3变式)已知关于x的方程x=3x-4. (1)若x=1是方程的解，则a的值为 (2)若方程无解，则a的值为 (3)若方程的解是负数，则a的取值范围为 (4)若方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为 考点3二元一次方程组的解法（多在实际应用题中考查） 5.多解法解方程组： x+2y=3,① x-2y=1.② 解法1一代入消元 解法2—相加消元 解法3—相减消元 解：由①，得 .③ 解：①+②， 解：①-②， 将③代人②，得 得 得 解得 解得 解得 将 代入③， 将 代入①， 将 代入①， 得 得 得 .方程组的解为 .方程组的解为 .方程组的解为 17 6.（冀教七下P27T3变式)已知x,y同时满足x+5y=3a+7,x-3y=-a-5. (1)当a=1时，求x+y的值； (2)若x+y=4,求a的值； (3)[代数推理]试说明无论a为何值，y的值始终比x的值大2. 考点4一次方程（组)的实际应用(10年6考；2025.15,2023.20) 7.一个两位数，个数上的数是3，十位上的数是x,把3和x对调，新两位数比原两位数小18， 则这个两位数是 8.(新人教七上P131T13变式)A地至B地的航线长9750km,一架飞机从A地顺风飞往B 地需12.5h,它逆风飞行同样的航线需13h,求飞机无风时的平均速度与风速. 9.（课标P141例62变式)在人体每天摄取的总能量中，午餐约占40%，膳食中营养的均衡摄 入与学生身体健康密切相关.某健康营养师计划用甲、乙两种原料为学生配制营养午餐， 已知每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单 位铁质.如果一个初中学生的午餐需要32单位蛋白质和40单位铁质，那么午餐含甲、乙 两种原料各多少克恰好能满足一个初中学生的身体需要？ 温馨提示 请完成分层练习册P17~P19习题 18