第1章 第2节 数的开方与二次根式-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第二节数的开方与二次根式 一阶教材知识全梳理 9对接教材人教：七下第六章P40~P52,八下第十六章P1~P20:冀教：八上第十四章P60~P68,八上第十五 章P89~P106;北师：八上第二章P26~P37,P41~P48. 知识点)平方根、算术平方根、立方根 a>0 a=0 a<0 性质 (1)正数有① 个平方根，它们互为② 平方根 ±va 0 无 (2)平方根等于它本身的数是③ 算术平 a 0 无 算术平方根等于它本身的数是④ 方根 立方根 a(正数) 0 a(负数) 立方根等于它本身的数是⑤ 举例：.（±8）2=64，.64的平方根是⑥ 算术平方根是⑦ .4=64,∴.64的立方根是⑧ 知识点② 二次根式的相关概念 概念 般地，形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式，其中a叫作被开方数 有意义 被开方数a⑨ 0 的条件 需同时满足两个条件： 最简二 (1)被开方数不含分母，如 次根式 3 最简二次根式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，如⑧① 最简二次根式 知识点③二次根式的性质与运算（重点） (1)双重非负性：a≥0且a≥0： 二次根式 (a(a≥0)， (2)(√a)2=② (a≥0)；(3)√a=lal= B 的性质 (a<0); (4)ab=④ (a≥0，b≥0)：(5)万 (a≥0，b>0) 乘除运算 √a·b=⑥ u≥0，b≥0)福 (a≥0，b>0) 先将各二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合 加减运算 二次根式 并，如V8+√2=⑧ +2=⑨ 的运算 先乘除，再加减：有括号先算括号里面的（或先去括号）：同级运算从左往右 混合运算 依次进行 【特别提醒】二次根式的运算，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含 二次根式 4 【知识拓展】(1)常见的非负数：|al≥0，a2≥0，√a≥0.举例：若(a+1)2+√b-2+1c-11=0,则a= ,b=① ,c=②② (2)乘法公式在二次根式中的应用：（√a+√b)2=a+2ab+b;(√a+√b)(√a-√b)=a-b; (3)分母有理化：若分母中含二次根式，则需将二次根式化为分母是有理教的形式，知3_5x5 w55x5 √151 √/5+1 √5+1 5’5-1(5-1)(5+1) 4 知识点④二次根式的估值 1.确定二次根式的值在哪两个相邻整数之间 步骤 例：6在哪两个相邻整数之间 【技巧点拨】(1)若n<√a<n+1(a≥ (1)平方； (6)2=6; 0,n为整数)，则√a的整数部分是 (2)找两数：找与平方 28 <6<②4 ① ,小数部分是② 后所得数字相邻的两 5 <√6<②6 (2)记住常见的二次根式的大概 个开得尽方的整数； 即0 <√6<四 (3)开方； 值，可提升解题速度，如：√2≈ √6在9 和30 之间 (4)定范围 1.414,√3≈1.732，√5≈2.236 2.确定二次根式的值离哪个整数较近 例：估计7离哪个整数较近 方法一：取中间值比较法 方法二：作差法 (1)找相邻整数：2<√7<3； (1)找相邻整数：2<√7<3： (2)取相邻整数的中间值：2+3三 2=2 (2)作差：(3-7)-(7-2)=5-27： (3)求中间值的平方：(3=空 (3)判断差的正负：2√7=√28>5，.5-2√7<0， .3-7</7-2; （4比大小，定结果197离3较近 (4)定结果：7离3较近 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点①平方根、算术平方根、立方根(10年3考) 1.(冀教八上P62练习T3变式)下列说法正确的是 .(填序号)》 ①√4的平方根是±2：②9的算术平方根是√3：③9的平方根是3；④-a一定没有平方根； ⑤-27的立方根是-3：⑥-9的立方根是-3. 5 考点2二次根式的相关概念 2.分别写出下列式子有意义时，x的取值范围： (1)√x-3: (2)*7 (3)1 2-x ；(4) 2-x √x-1 3.下列是最简二次根式的是 .(填序号)》 ①√12：②/15；③√0.5；④ 5:5a+8:⑥4a-:@w3:85 1 考点3二次根式的性质与运算(10年7考；2025.3,2023.7) 4.(人教八下P10练习T2变式)下列运算正确的是 .（填序号) ①√32=3： ②(-3)2=-3； ③(3)2=3； ④(-√3)2=-3： ⑤22 W3-3; ⑥2+√2=2√2； ⑦5-√3=2； ⑧45-33=√5： ⑨5x√2=√6： 015÷√5=3： ①18÷√2=3； ②/22+32=2+3. 5.(2025河北3题变式)计算： (1)(√3+√2)（√3-√2）； (2)(W3-√2)2； (3)√27+3. -36×2. 3 6.(2023河北7题变式)若m=√2，n=√35，则 7 可以表示为 10 A.mn B.m+n .10 0、10 10 10 mn m+n 考点4二次根式的估值(2024.18,2019.16) 7.如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是 -2-10123 A.-√2 B.√2 C.5 D.T 8.(2024河北18题变式)211介于整数 和 ®小技巧 之间：2√11-3的整数部分是 ,小数部分是 估计a的值，先转化为na. 温馨提示 请完成分层练习册P4~P5习题 6课堂精讲册 第一章数与式 2.解：(1)原式=-3×22+9×1-2=-5. 第一节实数及其相关概念 (2)原式=-3(x2-3y)-2=-3×1-2=-5. (3)(x-1)2+1y-21=0,x-1=0,y-2=0,.x=1,y=2, ①-5米②低于海平面20米③大④1a-b1 ⑤+6 .原式=-3×12+9×2-2=13. 1 3.③64.③⑥⑧05.D ⑥-a⑦0⑧0⑨相等⑩原点①02-aB 6.原式=3x2+y2 @151和-101⑦10⑧1019103207.6 当x=-3,y=-2时，原式=3×(-3)2+(-2)2=31， ①7.58 7.(1)2x(x-2):(2)(x+2y)(x-2y);(3)y(x-2)2; 1③5⑧：③⑦⑧：②00：02.B (4)(x+3)(x+1) 3()-44:4子(2)C:D:(3)-3(4)-3或-54万 8.(1)n+6:n+1. (2)原式=7(4n+7), 5.(1)4×103:(2)1.173×10;1.173×10°：(3)3.05×10； .n为任意正整数，(A+B)2-4n2的值总能被7整除， (4)5×10;(5)2×10-8;【拓展设问】2340000：0.00234 9.C10.4054 6.C 第五节分式 第二节数的开方与二次根式 ①是②不是③B≠0④A=0且B≠0 ①两②相反数③0④0,1⑤0，±1⑥±8⑦8⑧4 ⑤B≠0，C≠0，D≠0⑥不变⑦1 ⑧是⑨不是 O≥不是m不是B-4石·6G石 +1 0x(x+1)(x-1) 6 B不变④加减 瓜√F ⑧2√2193V20-1@22134 5±地6 c bd ⑦ttc ⑧变号9不为0 ②4954205⑦283②92团3团n2,a-n bd 1.②⑤ 1.x≠3；x=5【变式1】x=-3【变式2】x>-5且x≠0 2.(1)x≥3(2)x≥-1(3)x≥1且x≠2(4)x>1 2.①④⑦8 3.②⑤⑦⑧4.①③⑧90 3a2:231:4:56 x-1 5.解：(1)原式=(5)2-(2)2=3-2=1. (2)原式=(5)2-2x3×√2+(2)2=5-26. 4解：原式-3x(x+2)-x(2.（x-2)(+2)-2x+8 (x-2)(x+2) 3)原式=35+3x93v厄-2w x≠±2且x≠0，x只能取1. 当x=1时，原式=2×1+8=10. 6.A7.B8.6:7;3;2√T-6 第二章方程（组）与不等式（组） 第三节实数的大小比较及运算 第一节一次方程（组）及其应用 ①大②小③<④>⑤1⑥1⑦a⑧-1⑨1 例12(3x-1)=6-(4x-1):6x-2=6-4x+1: 0-1①L2h-a3m@axc+b×c (21 3+3 6+4x=6+1+2:10x=9;x-10 G8⑦(100-1)8(100+1) 例2(1)y=2x-4:3x+2(2x-4)=-1:x=1:x=1:y=-2: 例(-8)：(2-√3)：-8+2-√3-1：-7-√3 1.A2.(1)<;>>;(2)a;-b:b:lal3.>;< {l228a841156 11 41l;-2781;-11:888:-85-2 例3(120'：(2)(1+60%)ax0.9-a=38: 5.(1)-21.(2)1.(3)-5. 第四节代数式与整式 200x=2×50) ①5②1③和④是⑤是⑥不是⑦是⑧不是 1.C2.2x=y ⑨a+b+c0a-b-c①5a2b2相加Bam*n④相减 3.(1)x=-8.(2)x=1 5ama⑥相乘⑦a⑧a'"b96ab3②02a2+2ab 4.(1)-1;(2)3;(3)a>3;(4)2 @am+an+bm+bn2a2-b3a2±2ab+b2②44a2x 52a+b 5.解法1：x=3-2y:3-2-2y=1y=22 1 例(x2-6x+9);(x2+9):x2-6x+9-x2-9;-6x;-6×(-2);12 x=2 ②西m(a+b+c）②⑦2xy(a+b)(a-b)②9(a±b)2 x=2 1.(1)a2+b2;(2)3n;3n+1;(3)0.8a;0.1xa y-2 2