专题06 平面向量初步（期末复习压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06平面向量初步 目录 专题06平面向量初步 向量共线 类型二、向量的线性表示 类型三、向量的基本定理与最值 类型四、坐标法的运用 类型五、向量的数形结合 类型六、平面向量与面积比 类型七、向量与圆四心问题 压轴专练 典例详解 在类型一、向量共线 向量共线定理的核心是：若两个非零向量共线，则存在唯一实数入，使得其中一个向量等于另一个向量的 入倍。这一定理是判断向量共线的基础，其应用广泛，尤其在证明三点共线时，通过转化为两向量共线 的问题来求解。 例1.(24-25高一下.贵州盘州第七中学期末)已知1、2是平面内的一组基底，0A=4可+32， O=2E1+k已2，O元=5E1-3E2,若A、B、C三点共线，则实数k的值为() A.9 B.11 C.13 D.15 变式1-1.(24-25高一下·安徽滁州期末)对于数集X={a,b,c},定义向量集 Y={=(m,n)川mn∈X且m≠n}.若存在至少一对不等向量可EY满足可/问（即两向量平 行)，则称X具有性质L若数集X={1,2,k}具有性质L,则所有可能的k值个数为() A.4 B.5 C.6 D.7 变式12.(24-25高一下江西上饶期末)已知平面上不共线的四点0，A,B,C,满足 Bq OA-40+30元=0，则局等于() A.寺 B. C. D. 变式1-3.(24-25高一下山东聊城期末)在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD,A=1A店+A而， 当点P在△BCD内部运动时，的取值区间为(a,b),则a十b=() A.名 B. c. D.器 1/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型二、向量的线性表示 例2.(24-25高一下湖北武汉新洲区问津联盟.期末)如图，菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°， C克=2E,C=2F市，点M在线段EF上，且Ad=xA丽+A⑦，则x=一 M B 变式2-1.(24-25高一下陕西渭南渭南中学.期末)根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形， 从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE(其 中∠EDC=30°，∠CED=90·)按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF=xA面+yA⑦，则 x+y-2= H E 30° B 变式2-2.(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学.期末)我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀 算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）.类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的 图形，它是由3个全等的三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形.己知DF=3AF, 若AD=A面+AC(入u∈R),则入+μ的值为一 D B 图1 图2 变式2-3.(24-25高一下.吉林长春农安县期末)如图，在△ABC中，BD=号BC,E为线段AD的中点，且 C2=xAC+yA应，xy为实数，记A=成，AC=i. (1)请用方和5表示A⑦： (2)求3x+6y. 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、向量的基本定理与最值 坐标法将向量用坐标表示，转化为代数问题求解。 基底表示法：选择适当的基底表示向量，简化运算。 等和线法：利用等和线性质求最值。 几何模型法：结合几何图形性质求解， 投影法：利用向量投影求最值， 极化恒等式用于求数量积的最值： 例3.(24-25高一下.湖南邵阳邵东期末)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD=制DC,点E为线 段AD上任意一点（除端点外），若实数x,y满足B它=xBA+yBC,则发+吉的最小值为() A.2V2 B.4+2V5 c.6+2W5 D.9 变式3-1.(24-25高一上北京中国人民大学附属中学期末)古代中国的太极八卦图是在一个圆中，以圆心为 界，画出的两个全等的阴阳鱼.阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物之间互相转化，互相渗透， 阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的“矛盾对立统一”的辩证法.图2（正八边 形ABCDEFGH)是从图1（八卦模型图）抽象出来，并以正八边形ABCDEFGH的中心O为旋转中心顺 时针旋转22.5°而得到，点P在正八边形的边上运动，若O币=m0产+n0户(m,n∈R),则m十n的最大 值为() A.2 B. C.1 D.2 力G D 图1 图2 变式32.(24-25高一上辽宁大连期末)如图，在△ABC中，BD=2DC (1)若E是BD的中点，试用AB和AC表示AE: 2)若G是AD上一点，且AG=2G⑦，过点G的直线交AB于点F,交AC于点H若A=)A庙， A户=A乙，其中，μ均为正实数，求十μ的最小值. 3/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B G H 变式3-3.(23-24高一上辽宁部分高中期末)如图，在△ABC中，点P满足P元=2B户，0是线段AP的中 点，过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F. (1)若A正=AC,求器的值： 2)若EB=A武1>0)，F元=A(u>0,求克+的最小值. E 方类型四、坐标法的运用 例4.(24-25高一下.湖南沅禮共同体期末)（多选）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB=2DC, E为AB的中点，M,N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若 AP=λAM+A,则入-的值不可能是() A.-5 B.3 C.7 D.9 变式4-1.(24-25高一下.湖南名校联盟汉寿一中等多校期末)（多选）如图，在菱形ABCD中， ∠BAD=60°，延长边CD至点E,使得DE=CD.动点P从点A出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周 回到A点，若AP=A面+A正，则（) A.当点P在线段AB上移动时，入+uE[0,1] B.满足入+u=1的点P有且只有一个 C.满足入十4=2的点P有两个 D.入+4最大值为3 4/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式4-2.(24-25高一上北京中国人民大学附属中学期末)在直角梯形ABCD中，AB LAD,AD//BC, AB=BC=2AD=4,E,F分别为BC,CD的中点，以A为圆心、AD为半径的圆交AB于G,点P在劣弧 DG上，且∠PAG=60°.若A=1A正+HBF(,H∈R),则2A-4= G 变式4-3.(23-24高一下.甘肃白银靖远县第二中学期末)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为 《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的 直角三角形再加上中间一个小正方形组成)类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的 三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD=入A正+AC(入，u∈R),若 DF=2AF,则合= B 方类型五、 向量的数形结合 例5.(24-25高一下.湖北武汉青山区期末)如图，OM‖AB,点P在由射线0M、线段0B及AB的延长线 围成的阴影区域内（不含边界）运动，且可=-青OA+O,则入的取值范围是() A.(0,专) B.(3,) c.() D.(,) M 变式5-1.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0，P为圆0上任一点，若AP=xA丽+yAC,则 5/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x+2y的最大值为() A.号 B.2 c.青 D.1 C P 变式5-2.(24-25高一下.上海第三女子中学.期末)如图，点P是以A为圆心，半径为1的圆弧BC(包含B,C 两个端点)上的-点，且∠CAB=钙，AB=1,且AP=1A庙+uAC(入，H∈R): (1)若P为圆弧BC的中点，求，和的值； (2)若P在圆弧BC(包含B,C两个端点)上运动，求入十u的取值范围. 变式5-3.(23-24高一下广东梅州期末)欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、 变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》 中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心 到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△ABC的外心、重心、垂心. (1)求证：GA+G+G元=0； 2求证：0元=青（可A+0B+0元）： 3)求证：0方=OA+0B+0元 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等. 0..G ·H 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 之类型六、平面向量与面积比 奔驰定理 xAtyOB+20C-0(1):(2)SAAO:SAACO:SO 例6.(23-24高一下.甘肃武威第八中学期末)己知点0是△ABC内一点，满足 可A+20=m0元器=手，则实数m为（） A.2 B.-2 C.4 D.-4 变式6-1.(23-24高一下.甘肃·期末)“奔驰定理“因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常 优美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为S4 ，SB,Sc,且SAMA+SB·MB+ScMC=0.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,则 cOs∠AMB=() n. c.9 ScSB B 变式6-2.(23-24高一下.河北邢台信都区邢台第一中学期末)已知M是△ABC所在平面内一点，若 A=x而+yAC,且x+y=京，设△MBC的面积为S:,△ABC的面积为S2,则：= 变式6-3.(24-25高一上辽宁大连第二十四中学期末)在△ABC中，点D为边AC上靠近A的三等分点， 点M为形内一点. (1)如图，若点M满足5A=2AC-B元，求△ABM与△ABD的面积之比； (2)若点O为△ABC的外心，点M满足3OM=OA+OB+O元，DM延长线交BC于点N,BN=kCB ,求k的值 7/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 类型七、向量与圆四心问题 例7.(24-25高一上北京中国人民大学附属中学期末)已知圆0的半径为13，PQ和MN是圆0的两条动弦， 若PQ=10,MN=24,则1PM+Q1的最大值是() A.17 B.20 C.34 D.48 N M 变式7-1.(24-25高一下.湖南怀化期末)已知O为△ABC的外心，满足A0=mA+nAC,若m十n的 最大值为，则cosA=, 变式7-2.(22-23高一下辽宁大连大连育明高级中学期中)己知点P在△ABC所在的平面内，则下列各结 论正确的有一 ①若P为△ABC的垂心，AB.AC=2,则A.A=2 ②若△ABC为边长为2的正三角形，则PA(P店+P元)的最小值为-1 ③若△ABC为锐角三角形且外心为P,A=xA正+yAC且x+2y=1,则AB=BC ④若A=(t+)A店+(oc+)AC,则动点P的轨迹经过△ABC的外心 变式7-3.(24-25高一下.河北NT20名校联合体·期末)在直角三角形ABC中，角AB,C所对的边分别为a, b,C,A=90,b=3,c=4,0是△ABC所在平面内一点.若A0=A亚+uAC,则以下说法正确的是 (填写序号). ①若0为△ABC的重心，则入+H=罩 ②若0为△ABC的外心，则入+4=1 ③若0为△ABC的垂心，则入+u=0④若0为△ABC的内心，则入+u=五 8/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.(24-25高一下.四川成都五城区统考，期末)如图，G为△0AB的重心，过点G的直线分别与0A,0B交于 点P,Q,且o驴=mOA,O0=nOi,其中m,ne(0,1小，则m+4n的最小值为() A.子 B.3 c.号 D.9 B 2.(24-25高一下，湖南湘一名校联盟期中)定义域为[a,b]的函数f(x)的图象的两个端点为 A(a,f(a)),B(b,f(b).点P(x,y)是f(x)的图象上一点，其中x=a+(1-)b(0≤A≤1)， 点Q满足O0=可A+(1-)可B,其中0为原点，我们把P可的最大值称为f(x)的峰值”若函数 f(x)=,x∈[0，m]的峰值为诗，则m=(） A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25高一上内蒙古呼和浩特期末)已知0为△ABC内一点，且40A+30方+50元=0，点M在 △OBC内（不含边界），若AM=A店+AC,则入+u的取值范围是() A.(31) B.(0,号) c.(,1) D.(3) 4.(23-24高一下，黑龙江哈尔滨第三中学校期末)在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=号，I是∠BAC 的平分线上一点，且AI=V3,若△ABC内（不包含边界）的一点D满足D=xAB+A元，则实数x 的取值范围是() A.(,是]B.(启，嘉) c.（-名，哥) 0.（] 5.(21-22高一下.湖南衡阳衡南县期末)在△0AB中，OA=30C,OB=20D,AD,BC的交点为M, 过M作动直线1分别交线段AC,BD于E,F两点.若OE=1OA,OF=uOB(亿，I>0),则入+u的最小 值为() A B.2425 7 c.3+35 D.3+22 5 5 二、多选题 6.(24-25高一下·新疆乌鲁木齐期末)延长正方形ABCD的边CD至点E,使DE=CD,动点P从点A出发沿 正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若AP=入A亚+A正，则下列正确的是() A.若入=μ=1，则点P与点D重合 B.若点P与点C重合，则7=1,4=2 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.满足入+4=1的点P有2个 D.满足入十4=号的点P有且只有1个 7.(23-24高一上辽宁沈阳五校协作体期末)已知△ABC,D为BC边中点，若点P满足 3PA+2P方+P元=0，则下列说法正确的是() A.点P一定在△ABC内部 B.4PA+2PB=CA C.S△4BC=3S△PAC D.点P在直线AD上 8.(23-24高一下.四川达州期末)如图，己知O是△ABC内部任意一点，△B0C,△A0C,△A0B的 面积分别为S4,SB,Sc,S4·OA+SgOB+ScO元=0.根据上述结论，则(). A.如果4OA+30+20元=0，那么SA:SB:Sc=2:3:4 B.如果A0=号A丽+号AC,那么S4:SB:Sc=2:3:2 C.如果O为△ABC的重心，那么SA=SB=Sc D.如果0为直角△ABC的内心，且两直角边BC=5,AC=12,那么50A+120克+130元=0 B 三、填空题 9.(24-25高一下.上海黄浦区调研)在△ABC中，∠BAC=90°，A=1,Ad=V5,若点P满足 爵+需+需=，则∠BAP的正切值为一 10.(23-24高一下·广西桂林·期末)已知0为△ABC内一点，且4OA+80B+50元=0，点M在△0BC内 (不含边界)，若AM=A正+AC,则入+u的取值范围是 四、解答题 11.(23-24高一下.广东广州天河区·期末)如图，己知△ABC,AB=AC=2BC=1,且点P是△ABC的 重心.过点P的直线1与线段AB、AC分别交于点E、F.设AE=λA店，AF=AC(1≠0，u≠0). (1)求AB.AC的值，并判断竞+是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由： 2若△AEF的周长为C1,△ABC的周长为C2设x=u,记f(x)=号-X,求f(x)的取值范围. 10/11 专题06平面向量初步 目录 专题06 平面向量初步 类型一、向量共线 类型二、向量的线性表示 类型三、向量的基本定理与最值 类型四、坐标法的运用 类型五、向量的数形结合 类型六、平面向量与面积比 类型七、向量与圆四心问题 压轴专练 类型一、向量共线 向量共线定理的核心是:若两个非零向量共线，则存在唯一实数入，使得其中一个向量等于另一个向量的入倍。 这一定理是判断向量共线的基础，其应用广泛，尤其在证明三点共线时，通过转化为两向量共线的问题来求解。 例1．(24-25高一下·贵州盘州第七中学·期末)已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量、的表达式，由题意可知存在，使得，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为、、三点共线，所以存在，使得， 即， 因为、是平面内的一组基底，所以，解得，． 故选：D． 变式1-1．(24-25高一下·安徽滁州·期末)对于数集，定义向量集.若存在至少一对不等向量满足（即两向量平行），则称具有性质.若数集具有性质，则所有可能的值个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】若数集，则对应的向量集为，分15种情况讨论即可求解. 【详解】若数集，则对应的向量集为， 若，则，但这不可能，所以不平行， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 由集合中元素的互异性可知，， 综上所述，所有可能的值为：，共7个. 故选：D. 变式1-2．(24-25高一下·江西上饶·期末)已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，根据向量的线性运算得，进一步得到，求比值运算即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 变式1-3．(24-25高一下·山东聊城·期末)在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，确定的值即可. 【详解】如图： 取，过作，交于点，交于点. 设，因为三点共线，所以 . 设，因为， 所以 ，. 因为共线，所以，所以 . 因为且点在内运动，所以点在线段上，所以. 即，.所以. 故选：C 类型二、向量的线性表示 例2．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，菱形中，，，，点在线段上，且，则 ． 【答案】 【分析】由题意得出，分别是，的一个三等分点，设，然后把用，表示可得，和已知等式相比，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 所以，分别是，的一个三等分点，，， 设， 则 ， 又， 所以，解得， 所以. 故答案为：． 变式2-1．(24-25高一下·陕西渭南渭南中学·期末)根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则 . 【答案】/ 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 所以， 则， 故答案为：. 变式2-2．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期末)我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接FB，在中，，即，在中，，在中，，代入上式得到，再由求解. 【详解】如图所示： 连接FB，在中，，即， 所以，在中，， 所以， 在中，，则， 因为， 所以，则，所以， 故答案为： 变式2-3．(24-25高一下·吉林长春农安县·期末)如图，在中，，为线段的中点，且，为实数，记． (1)请用和表示； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）由已知条件，结合向量的线性运算与平面向量基本定理求解. 【详解】（1）由已知，即， 所以； （2）为线段的中点，， 又， ， 又，且不共线，所以， 所以． 类型三、向量的基本定理与最值 坐标法:将向量用坐标表示，转化为代数问题求解。 基底表示法:选择适当的基底表示向量，简化运算。 等和线法:利用等和线性质求最值。 几何模型法:结合几何图形性质求解， 投影法:利用向量投影求最值， 极化恒等式:用于求数量积的最值。 例3．(24-25高一下·湖南邵阳邵东·期末)在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 变式3-1．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期末)古代中国的太极八卦图是在一个圆中，以圆心为界，画出的两个全等的阴阳鱼．阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物之间互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的“矛盾对立统一”的辩证法．图2（正八边形）是从图1（八卦模型图）抽象出来，并以正八边形的中心O为旋转中心顺时针旋转22.5°而得到，点P在正八边形的边上运动，若，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，确定当P点位于线段上时，才会取到最大值；设P点在线段上，设，结合平面向量基本定理以及向量的坐标运算，求出表达式，即可求得答案. 【详解】以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， ， 由于，结合正八边形的对称性。 可知当P点位于线段上时，才会取到最大值； 不妨设P点在线段上，设，即， 则， 则， 即，则， 即，当时，取到最大值， 故选：D． 变式3-2．(24-25高一上·辽宁大连·期末)如图，在中，.   (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减法运算法则，结合平面向量基本定理求解； （2）由已知条件可得，再由F，G，H三点共线，得，然后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为E是BD的中点， 所以 ； （2）由，，得，， 因为，， 所以， 因为F，G，H三点共线，所以， 则 当且仅当时， 即时，等号成立， 所以的最小值为. 变式3-3．(23-24高一上·辽宁部分高中·期末)如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解. （2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因为，设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以． （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 类型四、坐标法的运用 例4．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)（多选）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）   A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设和并结合和得关于的方程组即可求解. 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 变式4-1．(24-25高一下·湖南名校联盟汉寿一中等多校·期末)（多选）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（   ） A．当点在线段上移动时， B．满足的点有且只有一个 C．满足的点有两个 D．最大值为3 【答案】ACD 【分析】建立平面直角坐标系，分类讨论，点在、(不含点)、(不含点)、(不含点)上时的取值，进而逐项进行判断即可. 【详解】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则 ， 所以， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且， 所以，故A正确； ②当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在(不含点)上时，则，且， 所以，即，所以； ④当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于B，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误； 对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故C正确； 对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确. 故选：ACD. 变式4-2．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期末)在直角梯形ABCD中，，，，分别为的中点，以为圆心、为半径的圆交于，点在劣弧上，且．若，则 ． 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，则，根据，求出，即可得解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： ，分别为的中点，， 以为圆心，为半径的圆交于，点在劣弧上，且， 所以即， 由，得， 所以，所以，所以. 故答案为： 变式4-3．(23-24高一下·甘肃白银靖远县第二中学·期末)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则 . 【答案】3 【分析】因为大三角形是等边三角形，所以可以通过建系的方法进行求解. 【详解】不妨设，则，如图，由题可知. 由， 得，所以，所以，，. 又，所以，所以， 所以，即. 所以，，， 因为，所以， 解得，所以. 故答案为：3 类型五、向量的数形结合 例5．(24-25高一下·湖北武汉青山区·期末)如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围. 【详解】如图，由于， 在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点， 则， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 变式5-1．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决. 【详解】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 变式5-2．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；   (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 变式5-3．(23-24高一下·广东梅州·期末)欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    类型六、平面向量与面积比 奔驰定理 例6．(23-24高一下·甘肃武威第八中学·期末)已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据条件可以得出，取上靠近点的三等分点，即可得到，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【详解】因为，所以， 如图，取上靠近点的三等分点，则， 所以，则三点共线； 所以与共线反向，则，且， ，解得．    故选：D. 变式6-1．(23-24高一下·甘肃·期末)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】    如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解. 变式6-2．(23-24高一下·河北邢台信都区邢台第一中学·期末)已知M是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】/ 【详解】    因为，， 所以，其中， 设，则点在直线上， 因为与同底，而高线之比等于与的比，即比值为， 所以. 故答案为：. 变式6-3．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.   (1)如图，若点M满足 求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足 延长线交于点N， 求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长至使，可以得到四边形是平行四边形，然后根据，所以，又，所以，进而得到答案. （2）由，得，设，由及向量的运算法则可得，又因为，列得方程组，求解即可得的值. 【详解】（1）M是所在平面内一点，延长至使. ，， 连接，因为向量和向量平行且模相等，则四边形是平行四边形. 由于，所以，又，所以， 在平行四边形中，，所以与的面积之比为.    （2），. 设，，， ，， ， 又， ，解得. 所以.    类型七、向量与圆四心问题 例7．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期末)已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算、绝对值三角不等式、垂径定理等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为， 则分别是的中点，由勾股定理得， ， ， 故, 当反向时等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 【点睛】方法点睛： 解决圆中向量问题，垂径定理是一个重要的工具，通过垂径定理找到弦的中点，将向量与圆心和中点联系起来，便于进行向量的运算和转化. 对于求向量和的模的最值问题，利用向量的线性运算将其转化为已知向量的运算形式，再结合绝对值三角不等式（当且仅当与同向或反向时取等号）来求解，是一种常用的方法. 变式7-1．(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知O为的外心，满足，若的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】设，得，得的最大值为，要使取最大值，得是等腰三角形后可求解问题. 【详解】如图，延长交于，设，则， 因为在上，所以，即， 所以的最大值为， 设外接圆的半径为，所以， 当最大时，即最小时，即时，取最大值， 所以，解得， 此时是等腰三角形，， . 故答案为：.    变式7-2．(22-23高一下·辽宁大连大连育明高级中学·期中)已知点P在所在的平面内，则下列各结论正确的有 ． ①若P为的垂心，，则 ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为 ③若为锐角三角形且外心为P，且，则 ④若，则动点P的轨迹经过的外心 【答案】①③④ 【分析】①由得到；②建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，求出最小值；③变形得到，设为的中点，则三点共线，结合是的外心，所以垂直平分，所以，③正确；④变形得到，设是的中点，则，故则动点的轨迹经过的外心. 【详解】对于①，若为的垂心，则，又， 所以，①正确； 对于②，取的中点，连接，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，      则，设， 则 ，故当时，取得最小值，最小值为，②错误； 对于③，有题意得，则， 即， 如图，设为的中点，则，故，故三点共线，      因为是的外心，所以垂直平分，所以，③正确； 对于④，， ， 所以， 如图，设是的中点，则，故， 即，故则动点的轨迹经过的外心，④正确.      故答案为：①③④ 变式7-3．(24-25高一下·河北NT20名校联合体·期末)在直角三角形中，角所对的边分别为，是所在平面内一点.若，则以下说法正确的是 （填写序号）. ①若为的重心，则    ②若为的外心，则 ③若为的垂心，则    ④若为的内心，则 【答案】②③④ 【分析】对①，根据重心的性质结合向量线性运算求解；对②，由题可知为中点，利用向量线性运算求解；对③，根据题意，与点重合，易求解判断；对④，设内切圆半径为，由面积法可得，再由，运算得解. 【详解】对于①，直角三角形中，为中点，的重心为，如图所示， ， 则，故①错误； 对于②，直角三角形中，的外心为，则为中点，如图所示， ，则，故②正确； 对于③，直角三角形中，的垂心为，则与点重合，， 则，故③正确； 对于④，直角三角形中，的内心为，则点是三角形内角平分线交点，直角三角形中，角的对边分别为，设内切圆半径为， 则，得， ， 则，故④正确. 故答案为：②③④. 压轴专练 一、单选题 1．(24-25高一下·四川成都五城区统考·期末)如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）   A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】连接并延长交于点，由为的重心可得，且，将条件代入整理成，利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得答案. 【详解】    如图，连接并延长交于点，因为的重心，则， 且点为的中点，故（*）， 因，，则有，，， 代入（*）可得：，即， 因三点共线，故，因， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 故选：B. 2．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)定义域为的函数的图象的两个端点为.点是的图象上一点，其中，点满足，其中为原点，我们把的最大值称为的“峰值”.若函数的峰值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求解的表达式，根据表达式求出最大值可得答案. 【详解】由题意，， ，； ， ， 令，则， 令，， 由于，且，当且仅当时取到最小值. 因为的峰值为，即的最大值为， 所以，解得或（舍）. 故选：C 3．(24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末)已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，， 设，且，由，整理得，结合进而可得结果. 【详解】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得 ， 则 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 4．(23-24高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可. 【详解】设，则，且， 可得， 则，可得， 即，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 因为，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量. 5．(21-22高一下·湖南衡阳衡南县·期末)在中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线定理的推论得到的关系，进而利用均值定理即可求得的最小值 【详解】由三点共线，可得存在实数t，使 又由三点共线，可得存在实数m，使得 则，解之得，则 又，()， 则，由三点共线，可得 则 （当且仅当时等号成立） 则的最小值为 故选：D 二、多选题 6．(24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末)延长正方形的边至点，使，动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列正确的是（    ） A．若，则点与点重合 B．若点与点重合，则， C．满足的点有2个 D．满足的点有且只有1个 【答案】AC 【分析】对于选项A和选项B，直接将选项中的条件代入，结合向量的加法法则判断，对于选项C和选项D，建立平面直角坐标系，再根据点的坐标和选项中的条件表示出点，依次分析点在四条边上的情况即可判断. 【详解】选项A：已知，，即， 若，则， 故点与点重合，选项A正确； 选项B：若点与点重合，则， 故，，选项B错误； 选项C：以为原点，为轴建立平面直角坐标系， ，，，若，则，， ，当在上时，，解得，为点， 当在上时，，解得，，为点， 当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，， 综上，满足的点有2个，一个是点，一个是，选项C正确； 选项D：若，则，， ，当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，， 当在上时，，解得，，不符合题意， 当在上时，，解得，，综 上，满足的点有2个，一个是，一个是，选项D错误. 故选：AC. 7．(23-24高一上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 【答案】ABC 【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，D再根据面积关系判断C，又平面向量线性运算法则判断B. 【详解】由，所以， 设、分别是、的中点，所以， 于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确，D错误. 又，所以，则，故B正确； 由A可知，，且， 所以，，即，故C正确； 故选：ABC 8．(23-24高一下·四川达州·期末)如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（    ）．   A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果O为的重心，那么 D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么 【答案】BCD 【分析】依题意易判断A错误，利用平面向量线性运算计算，平面向量基本定理可知B正确，由重心性质可得C正确，根据三角形内心性质并利用勾股定理可判断D正确. 【详解】对于A：由题意,结合， 可得,即A错误. 对于B：由, 可得; 整理得, 即得，即B正确； 对于C：如果O为的重心， 则可知， 可知，即C正确； 对于D：如果O为的内心，设内切圆半径为r, 则, 又,,则,所以， 可知，即D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题关键在于将重心、内心性质转化为向量OA,OB,OC之间得关系式，进而实现问题求解. 三、填空题 9．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)在中，，，，若点满足，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据题设条件可得为的费马点，如图，以为边作等边三角形可证,再过点作交于,在中，即可得出的正切值 【详解】根据题意，,,方向上的单位向量之和为零向量， 结合向量加法几何意义，易知,（为的费马点）, 如图，以为边作等边三角形,过点作交于, 则,故,,,四点共圆， 故，且，故, 故,故 在中，,, 所以. 故答案为： 10．(23-24高一下·广西桂林·期末)已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，设，且，整理可得，进而可得结果. 【详解】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则， 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 四、解答题 11．(23-24高一下·广东广州天河区·期末)如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.   (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 【答案】(1)，是定值，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意可得，变形可得，根据三点共线，即可得的值； （2）根据题意可得，，故得的表达式，根据的范围，利用函数性质，即可得答案. 【详解】（1）已知，，所以， 所以， 因为，，则，， 因为点是的重心，所以， 因为在直线上，所以. （2）， 所以， 设，由（1）得，所以 所以 因为，，又因为，则， 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为：，当或时，的最大值为：，所以， 因为的对称轴为，所以在上单调递增，又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为 【点睛】本题的关键在于利用小问（1）所得的结论，结合根据三点共线确定，将双变量函数化为单变量函数，结合函数的定义域求函数的值域. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $