专题03 幂、指数与对数全章8大题型（期末复习专项训练）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题03 幂、指数与对数 题型1 有理数指数幂与根式的互化（常考点） 题型5 对数的运算性质（重点） 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值 题型6 对数运算求值 题型3 对数的概念 题型7 对数方程求解 题型4 指数式与对数式的互化（常考点） 题型8 换底公式的应用（难点） 题型1 有理数指数幂与根式的互化（共3小题） 例1（2025•宝山区校级期末）将化为有理数指数幂的形式为　 　． 【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答】解：， 故答案为：． 【变式1-1】（2025•金山区期末）将化为有理数指数幂的形式为　 　． 【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【变式1-2】（2024•浦东新区校级期末）将化为有理数指数幂的形式为 　 　． 【答案】． 【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解． 【解答】解：由题意可得：． 故答案为：． 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值（共4小题） 例2（2025•浦东新区校级期末）已知，则　 　． 【答案】． 【分析】根据对数运算求得正确答案． 【解答】解：，所以． 故答案为：． 【变式2-1】（2025•松江区期末）经过化简，可得恒等式（其中，，则 　 　． 【答案】或． 【分析】利用有理数指数幂运算法则求解． 【解答】解：，，， ， ，解得或， 或． 故答案为：或． 【变式2-2】（2025•嘉定区期末）若，化简： 　 　． 【答案】． 【分析】结合指数幂的运算法则，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【变式2-3】（2025秋•嘉定区期末）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，求出、、的函数关系，在同一坐标系内作出函数的图象，利用数形结合法即可判断． 【解答】解：令，得，，，； 在同一直角坐标系内作出函数，，，的图像，如图所示： 则，，分别是函数，，，的图像与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为， 由图像得，当时，，当时，，当时，， 所以选项是可能的，选项不可能． 故选：． 题型3 对数的概念（共3小题） 例3使对数有意义的的取值范围是　 　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合对数的定义，即可求解． 【解答】解：由题意可知，，解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 【变式3-1】若，则实数的值为 　 　 ． 【答案】8． 【分析】把对数化为指数即可． 【解答】解：，． 故答案为：8． 【变式3-2】若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是　　 A．首数为，尾数为0.1476 B．首数为，尾数为0.8524 C．首数为，尾数为0.8524 D．首数为，尾数为0.1476 【答案】 【分析】根据对数的运算规则，叫做首数，叫做尾数，他是一个纯小数或者0，进行求解，即可得到正确选项． 【解答】解： ，叫做首数，叫做尾数，他是一个纯小数 故选：． 题型4 指数式与对数式的互化（共5小题） 例4（2024•长宁区期末）若，则　 　． 【分析】把对数式化为指数式即可得出． 【解答】解：，则． 故答案为：8． 【变式4-1】（2025•黄浦区校级期末）已知且，若，，则 　　． 【答案】6． 【分析】先把对数式化为指数式，再指数幂的运算性质求解． 【解答】解：因为，， 所以，， 所以． 故答案为：6． 【变式4-2】（2024•宝山区校级期末）已知正数，满足，且，则 　． 【分析】将等号两边取以2为底的对数，结合已知条件，转化为关于和的方程，求出和，即可得到所求． 【解答】解：， ，即①，又②， 联立①②得或者， 即或者， 或者， 故答案为：4或5． 【变式4-3】若，且，则　 　． 【答案】． 【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式计算即可． 【解答】解：， 则，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-4】已知在地球上，大气压和海拔高度之间的关系可以表达为，其中和是常数，是海平面的大气压的值．当飞行员用大气压的值来判断高度时，需使用的公式为　　． 【答案】． 【分析】根据题意，将，变形可得答案． 【解答】解：根据题意，大气压和海拔高度之间的关系可以表达为， 则， 变形可得， 故答案为：． 题型5 对数的运算性质（共8小题） 例5已知，，用、表示　 　． 【答案】． 【分析】先把指数式变为对数式，然后利用换底公式进行求解，而通过来表达即可求解． 【解答】解：因为，所以， 所以由换底公式得：， 因为，而，所以， ． 故答案为：． 【变式5-1】（2025秋•上海校级月考）已知，则 ．（请用含的代数式表达） 【分析】结合对数的运算性质，即可求解． 【解答】解：， 则． 故答案为：． 【变式5-2】（2025•浦东新区校级月考）已知实数，满足，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】，，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值． 【解答】解：，，，， 故，两边同时除以，得， 故， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：． 【变式5-3】记，那么　　． 【答案】1． 【分析】利用对数的运算法则、换底公式直接求解． 【解答】解：， 则 ． 故答案为：1． 【变式5-4】（2025•闵行区校级月考）对于方程组，其中、，则方程组的解为　 　 ． 【答案】或． 【分析】设，，则原不等式等价于，消去可得关于的方程，解方程即可． 【解答】解：设，，则，， 因为，所以， 所以方程组等价于， 即，所以，所以， 解得或， 当时，，此时，， 当时，，此时，． 故答案为：或． 【变式5-5】（2025•青浦区校级月考）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则　　 A． B．1.05 C． D．0.75 【答案】 【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出． 【解答】解：， ，， ，， ． 故选：． 【变式5-6】已知，，用及表示及． 【答案】；． 【分析】利用对数的运算法则、换底公式直接求解． 【解答】解：，， ， ． 【变式5-7】（2024•浦东新区校级月考）（1）已知正数满足，，求的值； （2）已知、、均为正数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）0． 【分析】（1）由，得到，再由求解； （2）设，得到，，求解． 【解答】解：（1）因为，所以． 所以； （2）因为、、均为正数，设，则， 所以，，，， 所以，，， 所以． 题型6 对数运算求值（共10小题） 例6（2025•黄浦区校级期末）已知，，则 　 　．（用，的代数式子表示） 【分析】根据对数的运算即可得． 【解答】解：，，则． 故答案为：． 【变式6-1】（2025•虹口区期末）计算： 　　． 【答案】5． 【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：5． 【变式6-2】（2025•宝山区校级期末）若，且，则 　　． 【答案】6． 【分析】根据对数函数的性质即可求解． 【解答】解：由，，则，， ， ． ，． 故答案为：6． 【变式6-3】（2025•闵行区期末）若，，则 　　． 【答案】1． 【分析】结合指数与对数的转化及对数运算性质即可求解． 【解答】解：因为，， 所以，， 则 ． 故答案为：1． 【变式6-4】（2025•普陀区校级期末）已知，则 　 　． 【答案】2024． 【分析】利用对数的运算性质计算即得． 【解答】解：． 故答案为：2024． 【变式6-5】（2025•杨浦区校级期末）已知，，则　 　． 【答案】． 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值． 【解答】解：因为，， 则． 故答案为：． 【变式6-6】（2025•静安区期末）已知函数，则 ． 【答案】． 【分析】根据分段函数的解析式，得出，由此求解即可． 【解答】解：因为，所以，，，即， 所以． 故答案为：． 【变式6-7】已知函数，则 　　． 【答案】1． 【分析】由题意构造，可以证明它是奇函数，从而，所以由即可得解． 【解答】解：设，则的定义域为，的定义域关于原点对称， 且，即， 则为奇函数，所以， 所以，， 因， 所以． 故答案为：1． 【变式6-8】已知，，，则的最小值为 　　． 【答案】4． 【分析】利用对数的运算性质化简已知式，得，再利用常值代换法，结合基本不等式，即可求得的最小值． 【解答】解：由，，可得，， ， 当且仅当时等号成立，即当时，取得最小值为4． 故答案为：4． 【变式6-9】 　 　． 【答案】． 【分析】根据根式与指数式的互化和指对数幂的运算法则计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 题型7 对数方程求解（共7小题） 例7（2025•宝山区校级期末）方程的解 　 　． 【答案】10． 【分析】由对数式与指数式的互化可得出的值． 【解答】解：方程， 则． 故答案为：10． 【变式7-1】（2024•浦东新区校级期末）方程的解为 　 　． 【答案】． 【分析】由题意可得，结合函数在上单调递增，可得，且，从而求出的值． 【解答】解：方程可化为， 又因为函数在上单调递增， 所以，且， 解得， 即方程的解为． 故答案为：． 【变式7-2】（2024•宝山区校级期末）方程的解　　． 【答案】11． 【分析】由对数运算可得答案． 【解答】解：因为，所以，解得． 故答案为：11． 【变式7-3】方程的解为 　　 ． 【分析】由题意得且，，即，求解即可得出答案． 【解答】解：，即且，， ，解得， 故答案为：2． 【变式7-4】（2025•浦东新区校级期末）方程的解为 　 　． 【答案】5． 【分析】由已知结合对数的运算性质进行化简即可求解． 【解答】解：由已知可得，． ， ，解可得． 故答案为：． 【变式7-5】（2025•金山区期末）甲、乙两人同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64，则这个方程的真正的根为 　 　． 【答案】4或8． 【分析】利用对数的换底公式可把方程化简，可利用根与系数的关系确定，，从而可求方程正确的根． 【解答】解：由对数的换底公式可得， 整理可得，， 令，则， 甲写错了常数，，正确 乙写错了常数，，正确， 代入可得， ，，． 这个方程的真正的根为4或8． 【变式7-6】（2024•上海期末）解下列关于的方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2）时，，时， 或，当时，． 【分析】（1）结合对数的运算性质即可求解； （2）结合指数的运算性质及指数的含义即可求解． 【解答】解：（1）令， 则可化为， 整理得，， 解得，或， 所以或； （2）， 所以， 所以或， 当，则 无解，此时； 当，则； 当，则 无解，此时； 综上，时，，时， 或，当时，． 题型8 换底公式的应用（共5小题） 例8（2025•浦东新区期末）已知，，则 　 　．（结果用，表示） 【答案】． 【分析】利用换底公式和对数运算性质即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【变式8-1】设，则　　． 【分析】先把指数式，化为对数式，，再使用换底公式代入即可求出其值． 【解答】解：，，，． 故答案为1． 【变式8-2】若，，，则的值为　1　． 【分析】利用对数的换底公式即可得出． 【解答】解：，，， ，，．． 则， 故答案为：1． 【变式8-3】函数，，其中，则 　 　． 【答案】2． 【分析】根据给定的函数，结合对数换底公式代入计算即得． 【解答】解：函数与的定义域均为， 所以． 故答案为：2． 【变式8-4】设、是方程的两个实根，则　 　． 【答案】． 【分析】根据题意，由一元二次方程根与系数的关系分析可得，变形可得的值，由对数的运算性质可得，结合换底公式分析可得答案． 【解答】解：根据题意，、是方程的两个实根， 则，变形可得：， 则，即， 则， 故答案为：． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 幂、指数与对数 题型1 有理数指数幂与根式的互化（常考点） 题型5 对数的运算性质（重点） 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值 题型6 对数运算求值 题型3 对数的概念 题型7 对数方程求解 题型4 指数式与对数式的互化（常考点） 题型8 换底公式的应用（难点） 题型1 有理数指数幂与根式的互化（共3小题） 例1（2025•宝山区校级期末）将化为有理数指数幂的形式为　 　． 【变式1-1】（2025•金山区期末）将化为有理数指数幂的形式为　 　． 【变式1-2】（2024•浦东新区校级期末）将化为有理数指数幂的形式为 　 　． 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值（共4小题） 例2（2025•浦东新区校级期末）已知，则　 　． 【变式2-1】（2025•松江区期末）经过化简，可得恒等式（其中，，则 　 　． 【变式2-2】（2025•嘉定区期末）若，化简： 　 　． 【变式2-3】（2025秋•嘉定区期末）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 题型3 对数的概念（共3小题） 例3使对数有意义的的取值范围是　 　． 【变式3-1】若，则实数的值为 　 　 ． 【变式3-2】若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是　　 A．首数为，尾数为0.1476 B．首数为，尾数为0.8524 C．首数为，尾数为0.8524 D．首数为，尾数为0.1476 题型4 指数式与对数式的互化（共5小题） 例4（2024•长宁区期末）若，则　 　． 【变式4-1】（2025•黄浦区校级期末）已知且，若，，则 　　． 【变式4-2】（2024•宝山区校级期末）已知正数，满足，且，则 　． 【变式4-3】若，且，则　 　． 【变式4-4】已知在地球上，大气压和海拔高度之间的关系可以表达为，其中和是常数，是海平面的大气压的值．当飞行员用大气压的值来判断高度时，需使用的公式为　　． 题型5 对数的运算性质（共8小题） 例5已知，，用、表示　 　． 【变式5-1】（2025秋•上海校级月考）已知，则 　　．（请用含的代数式表达） 【变式5-2】（2025•浦东新区校级月考）已知实数，满足，则的最小值为 　　． 【变式5-3】记，那么　　． 【变式5-4】（2025•闵行区校级月考）对于方程组，其中、，则方程组的解为　 　 ． 【变式5-5】（2025•青浦区校级月考）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则　　 A． B．1.05 C． D．0.75 【变式5-6】已知，，用及表示及． 【变式5-7】（2024•浦东新区校级月考）（1）已知正数满足，，求的值； （2）已知、、均为正数，且，求的值． 题型6 对数运算求值（共10小题） 例6（2025•黄浦区校级期末）已知，，则 　 　．（用，的代数式子表示） 【变式6-1】（2025•虹口区期末）计算： 　　． 【变式6-2】（2025•宝山区校级期末）若，且，则 　　． 【变式6-3】（2025•闵行区期末）若，，则 　　． 【变式6-4】（2025•普陀区校级期末）已知，则 　 　． 【变式6-5】（2025•杨浦区校级期末）已知，，则　 　． 【变式6-6】（2025•静安区期末）已知函数，则 ． 【变式6-7】已知函数，则 　　． 【变式6-8】已知，，，则的最小值为 　　． 【变式6-9】 　 　． 题型7 对数方程求解（共7小题） 例7（2025•宝山区校级期末）方程的解 　 　． 【变式7-1】（2024•浦东新区校级期末）方程的解为 　 　． 【变式7-2】（2024•宝山区校级期末）方程的解　　． 【变式7-3】方程的解为 　　 ． 【变式7-4】（2025•浦东新区校级期末）方程的解为 　 　． 【变式7-5】（2025•金山区期末）甲、乙两人同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64，则这个方程的真正的根为 　 　． 【变式7-6】（2024•上海期末）解下列关于的方程： （1）； （2）． 题型8 换底公式的应用（共5小题） 例8（2025•浦东新区期末）已知，，则 　 　．（结果用，表示） 【变式8-1】设，则　　． 【变式8-2】若，，，则的值为　 　． 【变式8-3】函数，，其中，则 　 　． 【变式8-4】设、是方程的两个实根，则　 　． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $