专题04 幂函数、指数函数与对数函数全章15大题型（期末复习专项训练）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题04 幂函数、指数函数与对数函数 题型1 求幂函数的解析式（常考点） 题型9 由指数函数的单调性求解参数（常考点） 题型2 幂函数图象特征与幂指数的关系 题型10 求对数函数的定义域（难点） 题型3 幂函数及幂函数型复合函数图象过定点 题型11 求对数型复合函数的定义域（重点） 题型4 由幂函数的单调性求解参数 题型12 对数函数图象特征与底数的关系（常考点） 题型5 求解幂函数的奇偶性 题型13 求对数函数及对数型复合函数的单调性 题型6 指数函数的值域 题型14 求对数函数及对数型复合函数的最值 题型7 指数函数图象特征与底数的关系 题型15 对数值大小的比较 题型8 求指数函数及指数型复合函数的单调性 题型1 求幂函数的解析式（共6小题） 例1（2025•上海宝山区校级期末）幂函数的图象过点，则（4）　　 A．64 B．16 C．8 D．2 【答案】 【分析】由题意求得，进而代入求值即可． 【解答】解：因为幂函数的图象过点， 所以，即，则， 则，故． 故选：． 【变式1-1】（2025•上海浦东新区校级期末）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式为　　． 【答案】． 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论． 【解答】解：设幂函数，它的图像过点， ，即，求得， 则此函数的解析式为， 故答案为：． 【变式1-2】（2025•上海金山区期末）已知点在某一个幂函数的图像上．求幂函数的表达式为 ． 【分析】设出幂函数，将点代入，即可求解． 【解答】解：设幂函数的解析式为， 点在该幂函数的图象上， 则，解得， 故幂函数的表达式为． 故答案为：． 【变式1-3】（2025•上海浦东新区期末）若幂函数为整数）的定义域为，则的值为 　　． 【答案】1． 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解． 【解答】解：若幂函数为整数）的定义域为， 则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意． 故答案为：1． 【变式1-4】（2025•上海宝山区校级期末）已知幂函数图象经过点，则 　　． 【答案】． 【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，进而求出． 【解答】解：因为幂函数图象经过点， 所以， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式1-5】（2025•上海青浦区期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 【答案】0或2． 【分析】结合幂函数的性质，即可求解． 【解答】解：幂函数在区间上是严格增函数， 则，即，解得， ， 则，1，2， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 当时，，不满足函数的图像关于原点中心对称，故舍去， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 综上所述，或2． 题型2 幂函数图象特征与幂指数的关系（共3小题） 例2（2025•上海宝山区校级期末）下列关于幂函数的描述中，正确的是　　 A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数 D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点 【答案】 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可． 【解答】解：对于，不过原点，故错误； 对于，过第三象限，故错误； 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故正确； 若幂函数的图像过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故错误． 故选：． 【变式2-1】如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图象，其中，，则曲线，，，对应的值依次是　　 A．、2、、 B．2、、、 C．、、2、 D．2、、、 【答案】 【分析】根据幂函数在第一象限内的图象特征，结合题意，即可得出正确的判断． 【解答】解：根据幂函数在第一象限内的图象，知； 当时，幂函数在第一象限内是增函数，图象向上靠近轴，符合特征； 当时，幂函数在第一象限内是增函数，图象向右靠近轴，符合特征； 当时，幂函数在第一象限内是减函数，图象向右靠近轴，符合特征； 当时，幂函数在第一象限内是减函数，图象向右更靠近轴，符合特征． 综上，曲线，，，对应的值依次是2、、、． 故选：． 【变式2-2】（2024•上海闵行区期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数、、从小到大的排列顺序为 　 　．（请用“”连接） 【答案】． 【分析】利用幂函数的性质判断，，的大小即可判断． 【解答】解：对于，由其图象可知，例如， 对于，由其图象可知，例如， 对于，由其图象可知，例如， 所以． 故答案为：． 题型3 幂函数及幂函数型复合函数图象过定点（共4小题） 例3（2024•上海静安区校级期末）记函数所过定点为，若位于幂函数的图像上，则　 　． 【答案】． 【分析】由题意，根据指数函数的图象经过定点问题，得到点的坐标，再根据幂函数的定义和性质，用待定系数法求出幂函数的解析式，从而得到的值． 【解答】解：函数所过定点为，位于幂函数的图像上， ，， 则， 故答案为：． 【变式3-1】，函数的图像恒过定点，则点的坐标为 　 　． 【答案】． 【分析】令，结合求解即可． 【解答】解：令，则， 所以（2）， 所以函数的图像恒过定点． 故答案为：． 【变式3-2】当时，函数的图像恒过定点，则点的坐标为 　 　． 【答案】． 【分析】令幂函数的底数等于1，求得、的值，可得函数图像经过定点的坐标． 【解答】解：当时，对于函数的图像，令，可得， 故函数的图像恒过定点， 故答案为：． 【变式3-3】幂函数的图象过点，则函数，的图象经过定点　 　． 【分析】由题意求出幂函数的解析式，再化简函数，求出的图象经过的定点． 【解答】解：设幂函数，图象过点， 则，； ，； 函数，其中，且； 令，得，此时； 函数的图象经过定点． 故答案为：． 题型4 由幂函数的单调性求解参数（共6小题） 例4（2025•上海浦东新区校级期末）已知幂函数在上是严格减函数，则　 　． 【答案】． 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及单调性列出方程，代入计算，即可得到结果． 【解答】解：由题意可得，解得． 故答案为：． 【变式4-1】已知，则实数的取值范围是　 　． 【答案】且． 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解． 【解答】解：幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 即，化简得，解得， 即且， 所以实数的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式4-2】（2025•上海松江区期末）已知幂函数在上是严格减函数，则实数 　　． 【答案】1． 【分析】由已知结合幂函数定义及性质即可求解． 【解答】解：因为幂函数在上是严格减函数， 所以且， 所以或（舍． 故答案为：1． 【变式4-3】（2024•上海杨浦区校级期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则　　． 【答案】1． 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，求解即可得答案． 【解答】解：幂函数在区间上是严格增函数， ，解得． 故答案为：1． 【变式4-4】（2024•上海黄浦区校级期末）若幂函数在，上是增函数，则实数　　． 【答案】． 【分析】由题意，利用幂函数的定义和单调性，即可求出的值． 【解答】解：幂函数在上是增函数， ，解得． 故答案为：． 【变式4-5】已知幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数． （1）求的值； （2）求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【分析】（1）根据的图象与性质判断是偶函数，且指数，由此求得的值，写出的解析式， （2）把不等式转化，结合第一问的结论，即可求解结论． 【解答】解：（1）由于的图象关于轴对称，则是偶函数， 即是偶数， 由于在内单调递增，所以， 即， 又，故可取1，2，3， 分别代入得3，4，3， 故取，所以， （2）由（1）可得：不等式， 故实数的取值范围是． 题型5 求解幂函数的奇偶性（共4小题） 例5已知，若幂函数为偶函数，则实数　　 ． 【答案】． 【分析】根据幂函数的定义与性质，判断即可． 【解答】解：时，幂函数是定义域，，上的奇函数； 时，幂函数是定义域上的偶函数； 时，幂函数的定义域为，，是非奇非偶函数． 故答案为：． 【变式5-1】（2024•上海普陀区校级期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数的值为 　　． 【答案】． 【分析】由幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，可得，且为偶数．解出即可． 【解答】解：幂函数为偶函数，且在上严格单调递减， ，且为偶数． 解得或2， 只有时满足且为偶数． ， 故答案为：． 【变式5-2】若幂函数为奇函数，则的值为 　　． 【答案】0． 【分析】利用幂函数的定义及性质，列式求解即得． 【解答】解：由是幂函数，得，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，是奇函数，符合题意， 所以． 故答案为：0． 【变式5-3】已知幂函数在是单调减函数，且为偶函数． （1）求的解析式； （2）讨论的奇偶性，并说明理由． 【分析】（1）根据幂函数的性质，幂函数在是单调减函数，且为偶函数，得幂指数小于0，再由可求的值； （2）由知，分，，且三种情况利用定义分别判断函数的奇偶性． 【解答】解：（1）由幂函数在是单调减函数， 得：，又，或1或2， 时；时，时， 又函数是偶函数，． （2）， 当时，，，函数是奇函数； 当时，，，函数是偶函数； 当且时，（1），， （1），函数对，，，不成立，也不成立， 函数是非奇非偶函数． 题型6 指数函数的值域（共5小题） 例6（2025•上海闵行区期末）已知，则函数的值域为 　 　． 【答案】． 【分析】根据指数函数的图象与性质，求解即可． 【解答】解：时，， 所以函数的值域为． 故答案为：． 【变式6-1】（2024•上海长宁区期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】由指数函数的性质可知，进而得解． 【解答】解：依题意，在上恒成立， 则，解得． 故答案为：． 【变式6-2】（2024•上海浦东新区校级期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】，，． 【分析】根据指数函数时，函数单调递增，可得，求解即可． 【解答】解：若时，指数函数的值总大于1，则，解得或． 则实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 【变式6-3】（2025•上海青浦区期末）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为 　 　． 【答案】． 【分析】利用待定系数法求解． 【解答】解：设指数函数的解析式为且， ， 解得， ， 故答案为：． 【变式6-4】（2025•上海静安区校级期末）已知函数，，若对任意的，，存在，，使得，则整数的取值集合真子集的个数为 　　． 【答案】3． 【分析】由的值域是的值域的子集确定的值，然后由子集定义得出结论． 【解答】解：当，时，，， ，时，， 由对任意的，，存在，，使得， 可得：，，，所以，解得， 其中整数和0，即整数的取值集合为，，真子集有3个． 故答案为：3． 题型7 指数函数图象特征与底数的关系（共4小题） 例7（2025•上海杨浦区校级期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】举反例判断；利用不等式性质判断；利用指数函数的单调性判断． 【解答】解：，，且满足， 对于，当，时，，故错误； 对于，，，且满足，，故正确； 对于，当时，，故错误； 对于，当，时．，故错误． 故选：． 【变式7-1】（2025•上海宝山区校级期末）函数（常数且的图像总是经过点 　 　． 【答案】． 【分析】令函数的幂指数等于零，求得、的值，可得结论． 【解答】解：对于函数，令，可得，， 可得它的图像恒经过一个定点． 故答案为：． 【变式7-2】（2025•上海奉贤区期末）函数且的图像恒过定点的坐标是 　 　． 【答案】． 【分析】由已知结合指数函数的性质即可求解． 【解答】解：令可得，此时（2）， 所以的图象恒过定点． 故答案为：． 【变式7-3】（2025•上海嘉定区期末）若函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】先根据指数函数性质得函数过点，再根据题意列不等式，解得结果． 【解答】解：函数过点， 若图像不经过第二象限，则， 即实数的取值范围为，． 故答案为：，． 题型8 求指数函数及指数型复合函数的单调性（共3小题） 例8下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据奇函数和减函数的定义判断即可． 【解答】解：对于，则是偶函数． 对于，根据指数函数的性质可知，是减函数．不是奇函数． 对于定义为，，，在其定义域内不连续，承载断点，在和在是减函数． 对于，则是奇函数，根据幂函数的性质可知，是减函数． 故选：． 【变式8-1】（2025•上海普陀区校级期末）函数的严格递减区间为 　 　． 【答案】，． 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解． 【解答】解：由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，，即函数的严格递减区间为，． 故答案为：，． 【变式8-2】函数的单调递增区间是：　 　． 【分析】令，则，函数的增区间就是的减区间，问题转化为求的减区间． 【解答】解：令， ，，， 故的减区间为，， 函数的增区间为，． 题型9 由指数函数的单调性求解参数（共3小题） 例9（2025•上海黄浦区校级期末）设函数和，若两函数在区间，上的单调性相同，则把区间，叫做的“稳定区间”，已知区间，为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】题目等价于函数与函数在区间，上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解． 【解答】解：函数和，若两函数在区间，上的单调性相同，把区间，叫做的“稳定区间”， 函数在上单调递减，函数在上单调递增， 若区间，为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间，上同增或者同减， ①若两函数在区间，上单调递增，则在区间，上恒成立， 可得，解得； ②若两函数在区间，上单调递减，则在区间，上恒成立， 即，无解， 综上所述；的范围为． 故选：． 【变式9-1】已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围是　 　． 【分析】利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数的取值范围． 【解答】解：由题意，，解得 故答案为： 【变式9-2】（2025•上海闵行区校级月考）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【分析】根据严格减函数定义可知，即可求解． 【解答】解：由已知得，，得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 题型10 求对数函数的定义域（共5小题） 例10（2025•上海浦东新区校级期末）函数的定义域为 　 　． 【答案】且． 【分析】列出使函数有意义的不等式组，即可求解． 【解答】解：函数， 则，解得且， 故函数的定义域为且． 故答案为：且． 【变式10-1】（2025•上海浦东新区校级期末）函数的定义域为 　 　． 【答案】，，． 【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可． 【解答】解：函数的定义域应满足： ，解得且， 所以函数的定义域为，，． 故答案为：，，． 【变式10-2】（2025•上海浦东新区期末）函数的定义域为　 　 【答案】． 【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可． 【解答】解：要使函数有意义，则需，解得， 所以函数的定义域为． 故答案为：． 【变式10-3】（2025•上海松江区期末）函数的定义域是　 　． 【答案】． 【分析】根据对数函数定义域及根式求解即可． 【解答】解：因为函数， 所以要使函数有意义，则需，解得， 函数定义域为． 故答案为：． 【变式10-4】（2025•上海徐汇区校级期末）已知集合，集合． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由题意可知，，求出的范围即可； （2）由集合可知，分，，三种情况讨论，分别求出集合，再结合求解的范围即可． 【解答】解：（1）由题意可知，， 解得， 即集合； （2）对于集合集合， 则， ①当，即时，集合或， 此时满足， 所以， ②当，即时，集合或， 此时不可能满足， ③当，即时，集合， 此时满足， 所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为． 题型11 求对数型复合函数的定义域（共3小题） 例11（2025•上海奉贤区期末）函数的定义域为 　 　．（用区间表示） 【答案】． 【分析】结合对数函数有意义的条件即可求解． 【解答】解：由题意可得，，解得． 故答案为：． 【变式11-1】（2025•上海杨浦区校级期末）函数的定义域为 　 　． 【答案】． 【分析】利用给定的函数的意义，列出不等式组求解即得． 【解答】解：函数， 则，解得， 所以原函数的定义域为． 故答案为：． 【变式11-2】（2025•上海青浦区期末）函数的定义域是 　 　． 【答案】，． 【分析】由已知结合函数有意义的条件建立关于的不等式组，即可求解． 【解答】解：由题意可得，解得． 故答案为：，． 题型12 对数函数图象特征与底数的关系（共4小题） 例12（2025•上海松江区期末）已知常数且，假设无论取何值，函数的图像恒经过一个定点，则此点的坐标是 　 　． 【答案】． 【分析】结合对数函数的性质，即可求解． 【解答】解：当时，故， 故此点的坐标为． 故答案为：． 【变式12-1】（2025•上海静安区校级期末）已知函数过定点，则的最小值为 　 　． 【答案】2 【分析】先利用函数过定点得到，再根据，展开后利用基本不等式求解即可． 【解答】解：函数过定点， （4），化简可得， 由基本不等式性质得： ， 当且仅当时等号成立， 的最小值为2． 故答案为：2． 【变式12-2】（2025•上海青浦区期末）若对任意，且，函数的图像均过一个定点，则此定点的坐标为 　 　． 【答案】． 【分析】由已知结合对数函数的性质即可求解． 【解答】解：令可得，，即函数的图像均过一个定点． 故答案为：． 【变式12-3】（2025•上海闵行区期末）若，对任意且，函数的图像必过定点 　 　． 【答案】． 【分析】由已知结合对数函数的性质即可求解． 【解答】解：令，即，此时（2）， 即函数图像过定点． 故答案为：． 题型13 求对数函数及对数型复合函数的单调性（共3小题） 例13（2025•上海宝山区校级期末）已知，函数． （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）由题意得到对数不等式，求解不等式即可； （2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式，求解即可． 【解答】解：（1）时，， 不等式等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为． （2）因为函数的值域为， 即的值域为， 故能取到一切正数， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，根据二次函数的图象和性质可得△，解得或，所以； 综上所述：的取值范围是，． 【变式13-1】（2025•上海校级期末）已知常数，函数的表达式为． （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间，上的最大值为2，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）利用奇偶性的定义可证明； （2）利用单调性知识可证明． 【解答】解：（1）证明：函数的表达式为， 定义域， ，都有， ， 则函数是奇函数． （2）当，在单调递增， 又在区间，上的最大值为2， 则（1），即，则． 【变式13-2】已知函数． （1）当时，求函数最小值； （2）当，时，函数有意义，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）当时，，然后根据二次函数的图象与性质，结合复合函数的单调性法则算出的最小值； （2）根据题意，可知在，上恒成立，结合为正数推导出在，上恒成立．然后设，利用基本不等式与函数的单调性，求出在，上的值域，进而求出使不等式在，上恒成立的的取值范围，可得答案． 【解答】解：（1）时，． 当时，即时，取得最大值， 结合，可知的最小值为； （2）当，时，函数有意义，即在，上恒成立． 因为为正数，所以不等式在，上恒成立． 设， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当时，有最小值． 在，上为减函数，在，上为增函数， 当时，；当，时，的最大值为（1）． 因此，在，上的值域为，，最大值为． 若在，上恒成立，则． 综上所述，当，时，函数有意义，则的取值范围是，． 题型14 求对数函数及对数型复合函数的最值（共3小题） 例14求函数的最大值与最小值． 【答案】最大值为；最小值为． 【分析】由对数函数的性质求解即可． 【解答】解：函数， 则函数在，为减函数， 则当时，函数取最大值，当时，函数取最小值， 即函数的最大值为；最小值为． 【变式14-1】已知 为实常数，求函数的最小值． 【分析】令，由，知，把原函数转化为关于的二次函数求解． 【解答】解：令，由，知． 化为， 其对称轴方程为． 当 时，有最小值为． 【变式14-2】（2025•上海金山区期末）已知，函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，当，时，，求函数的最小值； （3）当且时，关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3），． 【分析】（1）由指数函数与对数函数性质可解； （2）由指数函数与对数函数的单调性可解； （3）根据题意得，，，，结合对数函数性质，从而可解． 【解答】解：（1）由可得，则，则，则， 则不等式的解集为； （2）由题意可知， ，，，， ， ，， 则最小值为； （3），， 当且时，，，， 是原方程的解当且仅当，即， 是原方程的解当且仅当，即， 于是满足题意的，． 综上，的取值为，． 题型15 对数值大小的比较（共3小题） 例15（2024•上海杨浦区校级期末）若，而，则下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接取特值，，，分别代入四个答案即可判断每个答案对错． 【解答】解：由题，取，，，则： 对于，，故错； 对于，指数函数在上单调递减，，，即，故对； 对于，，故错； 对于，，故错． 故选：． 【变式15-1】已知，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由可得，然后对选项一一分析即可得出答案． 【解答】解：由可知， 所以，所以错误； 因为，但无法判定与1的大小，所以错误； 当时，，故错误； 因为，所以，故正确． 故选：． 【变式15-2】如果，那么，，的大小顺序为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】借助指数函数和对数函数的性质确定范围，即可解决． 【解答】解：设，，由指数函数图像性质可知， 当时，函数值大于1，所以， 设，由指数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于1，所以， 设，由对数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于0，所以， 所以． 故选：． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂函数、指数函数与对数函数 题型1 求幂函数的解析式（常考点） 题型9 由指数函数的单调性求解参数（常考点） 题型2 幂函数图象特征与幂指数的关系 题型10 求对数函数的定义域（难点） 题型3 幂函数及幂函数型复合函数图象过定点 题型11 求对数型复合函数的定义域（重点） 题型4 由幂函数的单调性求解参数 题型12 对数函数图象特征与底数的关系（常考点） 题型5 求解幂函数的奇偶性 题型13 求对数函数及对数型复合函数的单调性 题型6 指数函数的值域 题型14 求对数函数及对数型复合函数的最值 题型7 指数函数图象特征与底数的关系 题型15 对数值大小的比较 题型8 求指数函数及指数型复合函数的单调性 题型1 求幂函数的解析式（共6小题） 例1（2025•上海宝山区校级期末）幂函数的图象过点，则（4）　　 A．64 B．16 C．8 D．2 【变式1-1】（2025•上海浦东新区校级期末）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式为　　． 【变式1-2】（2025•上海金山区期末）已知点在某一个幂函数的图像上．求幂函数的表达式为 ． 【变式1-3】（2025•上海浦东新区期末）若幂函数为整数）的定义域为，则的值为 　　． 【变式1-4】（2025•上海宝山区校级期末）已知幂函数图象经过点，则 　　． 【变式1-5】（2025•上海青浦区期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 题型2 幂函数图象特征与幂指数的关系（共3小题） 例2（2025•上海宝山区校级期末）下列关于幂函数的描述中，正确的是　　 A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数 D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点 【变式2-1】如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图象，其中，，则曲线，，，对应的值依次是　　 A．、2、、 B．2、、、 C．、、2、 D．2、、、 【变式2-2】（2024•上海闵行区期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数、、从小到大的排列顺序为 　 　．（请用“”连接） 题型3 幂函数及幂函数型复合函数图象过定点（共4小题） 例3（2024•上海静安区校级期末）记函数所过定点为，若位于幂函数的图像上，则　 　． 【变式3-1】，函数的图像恒过定点，则点的坐标为 　 　． 【变式3-2】当时，函数的图像恒过定点，则点的坐标为 　 　． 【变式3-3】幂函数的图象过点，则函数，的图象经过定点　 　． 题型4 由幂函数的单调性求解参数（共6小题） 例4（2025•上海浦东新区校级期末）已知幂函数在上是严格减函数，则　 　． 【变式4-1】已知，则实数的取值范围是　 　． 【变式4-2】（2025•上海松江区期末）已知幂函数在上是严格减函数，则实数 　　． 【变式4-3】（2024•上海杨浦区校级期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则　　． 【变式4-4】（2024•上海黄浦区校级期末）若幂函数在，上是增函数，则实数　　． 【变式4-5】已知幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数． （1）求的值； （2）求满足不等式的实数的取值范围． 题型5 求解幂函数的奇偶性（共4小题） 例5已知，若幂函数为偶函数，则实数　　 ． 【变式5-1】（2024•上海普陀区校级期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数的值为 　　． 【变式5-2】若幂函数为奇函数，则的值为 　　． 【变式5-3】已知幂函数在是单调减函数，且为偶函数． （1）求的解析式； （2）讨论的奇偶性，并说明理由． 题型6 指数函数的值域（共5小题） 例6（2025•上海闵行区期末）已知，则函数的值域为 　 　． 【变式6-1】（2024•上海长宁区期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　 　． 【变式6-2】（2024•上海浦东新区校级期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　 　． 【变式6-3】（2025•上海青浦区期末）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为 　 　． 【变式6-4】（2025•上海静安区校级期末）已知函数，，若对任意的，，存在，，使得，则整数的取值集合真子集的个数为 　　． 题型7 指数函数图象特征与底数的关系（共4小题） 例7（2025•上海杨浦区校级期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 【变式7-1】（2025•上海宝山区校级期末）函数（常数且的图像总是经过点 　 　． 【变式7-2】（2025•上海奉贤区期末）函数且的图像恒过定点的坐标是 　 　． 【变式7-3】（2025•上海嘉定区期末）若函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是 　 　． 题型8 求指数函数及指数型复合函数的单调性（共3小题） 例8下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是　　 A． B． C． D． 【变式8-1】（2025•上海普陀区校级期末）函数的严格递减区间为 　 　． 【变式8-2】函数的单调递增区间是：　 　． 题型9 由指数函数的单调性求解参数（共3小题） 例9（2025•上海黄浦区校级期末）设函数和，若两函数在区间，上的单调性相同，则把区间，叫做的“稳定区间”，已知区间，为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【变式9-1】已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围是　 　． 【变式9-2】（2025•上海闵行区校级月考）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是　 　 ． 题型10 求对数函数的定义域（共5小题） 例10（2025•上海浦东新区校级期末）函数的定义域为 　 　． 【变式10-1】（2025•上海浦东新区校级期末）函数的定义域为 　 　． 【变式10-2】（2025•上海浦东新区期末）函数的定义域为　 　 【变式10-3】（2025•上海松江区期末）函数的定义域是　 　． 【变式10-4】（2025•上海徐汇区校级期末）已知集合，集合． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 题型11 求对数型复合函数的定义域（共3小题） 例11（2025•上海奉贤区期末）函数的定义域为 　 　．（用区间表示） 【变式11-1】（2025•上海杨浦区校级期末）函数的定义域为 　 　． 【变式11-2】（2025•上海青浦区期末）函数的定义域是 　 　． 题型12 对数函数图象特征与底数的关系（共4小题） 例12（2025•上海松江区期末）已知常数且，假设无论取何值，函数的图像恒经过一个定点，则此点的坐标是 　 　． 【变式12-1】（2025•上海静安区校级期末）已知函数过定点，则的最小值为 　 　． 【变式12-2】（2025•上海青浦区期末）若对任意，且，函数的图像均过一个定点，则此定点的坐标为 　 　． 【变式12-3】（2025•上海闵行区期末）若，对任意且，函数的图像必过定点 　 　． 题型13 求对数函数及对数型复合函数的单调性（共3小题） 例13（2025•上海宝山区校级期末）已知，函数． （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围． 【变式13-1】（2025•上海校级期末）已知常数，函数的表达式为． （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间，上的最大值为2，求实数的值． 【变式13-2】已知函数． （1）当时，求函数最小值； （2）当，时，函数有意义，求实数的取值范围． 题型14 求对数函数及对数型复合函数的最值（共3小题） 例14求函数的最大值与最小值． 【变式14-1】已知 为实常数，求函数的最小值． 【变式14-2】（2025•上海金山区期末）已知，函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，当，时，，求函数的最小值； （3）当且时，关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围． 题型15 对数值大小的比较（共3小题） 例15（2024•上海杨浦区校级期末）若，而，则下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 【变式15-1】已知，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【变式15-2】如果，那么，，的大小顺序为　　 A． B． C． D． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $