专题01 集合与逻辑全章15大题型（期末复习专项训练）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题01 集合与逻辑 题型1 判断元素与集合的关系（常考点） 题型9 并集的概念及运算（常考点） 题型2 根据元素与集合的关系求参数 题型10 根据并集结果求集合或参数（难点） 题型3 列举法表示集合 题型11 补集的概念及运算（重点） 题型4 判断集合的子集（真子集） 题型12 交并补混合运算（常考点） 题型5 判断两个集合的包含关系（常考点） 题型13 充分条件与必要条件 题型6 根据集合的包含关系求参数 题型14 充要条件（常考点） 题型7 交集的概念及运算 题型15 反证法（难点） 题型8 根据交集结果求集合或参数 题型1 判断元素与集合的关系（共4题）（常考点） 例1 .（用符号“”或“”填空） 【变式1-1】用或填空：0 ． 【变式1-2】下列三个命题： （1）0是的真子集； （2）函数在定义域内是减函数； （3）存在反函数的函数一定是单调函数. 正确的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 题型2 根据元素与集合的关系求参数（共5题） 例2（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【变式2-1】已知，则实数 . 【变式2-2】已知集合，且，则实数a的值为 ． 【变式2-3】已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ . 【变式2-4】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 题型3 列举法表示集合（共4题） 例3（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【变式3-1】用列举法表示 ． 【变式3-2】集合且，用列举法表示集合 【变式3-3】对于任意非空集合、，定义，若，则 （用列举法表示） 题型4 判断集合的子集（真子集）的个数（共3题） 例4（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有 个． 【变式4-1】满足条件：的集合M的个数为 . 【变式4-2】已知集合，，则满足条件的集合的个数为 个 题型5 判断两个集合的包含关系（共5题） 例5用符号“”“”或“”填空： ． 【变式5-1】若集合，，则A B．（用符号“”“=”或“”连接） 【变式5-2】用集合符号填空： Q． 【变式5-3】（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【变式5-4】（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型6 根据集合的包含关系求参数（共4题） 例6（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 【变式6-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知集合，且，则 ． 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，.若，则实数的值为 . 【变式6-3】（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 题型7 交集的概念及运算（共13题） 例7（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，则 . 【变式7-1】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 【变式7-2】（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合 ，则 【变式7-3】（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则 ． 【变式7-4】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知集合，，则 ． 【变式7-5】定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式7-6】（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知集合，，则 ． 【变式7-7】已知集合，，则 ． 【变式7-8】已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及． 【变式7-9】已知集合，集合，用列举法表示集合. 【变式7-10】已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-11】已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合. 【变式7-12】已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 题型8 根据交集结果求集合或参数（共7题） 例8（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【变式8-1】集合，，若，则 ． 【变式8-2】已知集合，，若，求实数的值及． 【变式8-3】已知全集，集合A、B均为U的子集．若，，则 ． 【变式8-4】设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【变式8-5】设集合，且，求实数的取值范围. 【变式8-6】已知全集为，，且，则 ． 题型9 并集的概念及运算（共5题） 例9（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则 ． 【变式9-1】已知集合，则 ． 【变式9-2】定义且，若，则 【变式9-3】已知集合 (1)求； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式9-4】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型10 根据并集结果求集合或参数（共5题） 例10已知集合，则满足的非空集合B有 个． 【变式10-1】已知集合，集合，若，则的值为 . 【变式10-2】集合，，且，则实数取值范围是 . 【变式10-3】已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 【变式10-4】设集合，. (1)若，求实数的值; (2)若，求实数的范围. 题型11 补集的概念及运算（共9题） 例11（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则 ． 【变式11-1】（24-25高一上·上海·期末）已知全集， ，则 ． 【变式11-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则 【变式11-3】设全集，集合，则 ． 【变式11-4】（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则 ． 【变式11-5】（23-24高一上·上海宝山·期末）设全集，，则 . 【变式11-6】已知全集，集合，则 . 【变式11-7】设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则 ． 【变式11-8】全集，，则 ． 题型12 交并补混合运算（共4题） 例12（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【变式12-1】已知，，则 . 【变式12-2】（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【变式12-3】已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 题型13 充分条件与必要条件（共6题） 例13（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式13-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【变式13-3】设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【变式13-4】若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【变式13-5】设，写出“”的一个充分条件： ． 题型14 充要条件（共6题） 例14（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式14-1】（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式14-2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式14-3】（23-24高一上·上海·期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式14-4】（23-24高一上·上海松江·期末）已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式14-5】（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 题型15 反证法（共5题） 例15（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【变式15-1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【变式15-2】设、. “若，则或”是一个真命题.用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即： . 【变式15-3】设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数． 【变式15-4】用反证法证明命题“已知x、，且，求证：或”时，应首先假设“ ”. 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与逻辑 题型1 判断元素与集合的关系（常考点） 题型9 并集的概念及运算（常考点） 题型2 根据元素与集合的关系求参数 题型10 根据并集结果求集合或参数（难点） 题型3 列举法表示集合 题型11 补集的概念及运算（重点） 题型4 判断集合的子集（真子集） 题型12 交并补混合运算（常考点） 题型5 判断两个集合的包含关系（常考点） 题型13 充分条件与必要条件 题型6 根据集合的包含关系求参数 题型14 充要条件（常考点） 题型7 交集的概念及运算 题型15 反证法（难点） 题型8 根据交集结果求集合或参数 题型1 判断元素与集合的关系（共4题）（常考点） 例1 .（用符号“”或“”填空） 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据实数的定义及集合与元素的关系判断即可. 【详解】解：. 故答案为：. 【变式1-1】用或填空：0 ． 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据空集性质，元素和集合关系求解 【详解】空集不含任何元素，所以. 故答案为： 【变式1-2】下列三个命题： （1）0是的真子集； （2）函数在定义域内是减函数； （3）存在反函数的函数一定是单调函数. 正确的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、定义法判断或证明函数的单调性、反函数的性质应用 【分析】由真子集概念，减函数定义及反函数概念逐一判断即可． 【详解】（1）因为0不是一个集合，所以0是的真子集说法错误． （2）令，但是，所以（2）的结论错误． （3）函数的反函数为：，此函数在定义域内不是单调函数． 故选A 【点睛】本题考查了真子集的概念，减函数的定义及反函数知识，属于基础题． 【变式1-3】（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：A. 题型2 根据元素与集合的关系求参数（共5题） 例2（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】0或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 【变式2-1】已知，则实数 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合元素互异性的应用 【分析】讨论、，结合集合的性质求参数a即可. 【详解】由题设，当时，则，此时，不符合互异性； 当时，由上不符合，而时，此时集合为. 综上，. 故答案为： 【变式2-2】已知集合，且，则实数a的值为 ． 【答案】1 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系列式计算即得. 【详解】由题意可得：，解得. 故答案为：1. 【变式2-3】已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ . 【答案】－4或0 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可. 【详解】当时，当时，则， 当时，则， 即当时，；当时，；所以， 当时，；当时，，所以， 因此有； 当时，当时，则， 当时，则， 即当时，；当时，；所以， 当时，；当时，，所以， 因此有， 当时，同理可得无解， 综上所述：实数t的值为－4或0， 故答案为：－4或0 【点睛】关键点睛：根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键. 【变式2-4】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 题型3 列举法表示集合（共4题） 例3（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【答案】； 【知识点】列举法表示集合 【分析】联立消元求解，用列举法表示集合. 【详解】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为： 【变式3-1】用列举法表示 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据元素的特征用列举法表示即可. 【详解】解：. 故答案为： 【变式3-2】集合且，用列举法表示集合 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【解析】由已知可得，则，解得且，结合题意，逐个验证，即可求解. 【详解】由题意，集合且，可得，则， 解得且， 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，此时分母为零，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 综上可得，集合. 故答案为：. 【变式3-3】对于任意非空集合、，定义，若，则 （用列举法表示） 【答案】 【知识点】列举法表示集合、集合新定义 【解析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况. 【详解】由题：对于任意非空集合、，定义， 若，各取一个元素形成有序数对， 所有可能情况为，所有情况两个数之和构成的集合为： 故答案为： 【点睛】此题考查集合的新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义找出新集合中的元素即可得解. 题型4 判断集合的子集（真子集）的个数（共3题） 例4（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有 个． 【答案】30 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】若集合有个元素，则非空真子集的个数为. 【详解】根据元素互异性集合A中有5个元素， 所以非空真子集有． 故答案为:30. 【变式4-1】满足条件：的集合M的个数为 . 【答案】7 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据可知，M中的元素应该是多于一个不多于中的元素个数，由此可求得答案. 【详解】由可知， M中的元素个数多于中的元素个数，不多于中的元素个数 因此M中的元素来自于b,c,d中， 即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个， 故足条件：的集合M的个数有7个， 故答案为：7. 【变式4-2】已知集合，，则满足条件的集合的个数为 个 【答案】7 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断集合的子集（真子集）的个数、列举法表示集合 【分析】化简集合A，B，根据条件确定集合C的个数即可. 【详解】因为， , 因为，所以1，2都是集合C的元素， 集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个， 所以集合C为：，，，，，， ，共7个. 故答案为：7 题型5 判断两个集合的包含关系（共5题） 例5用符号“”“”或“”填空： ． 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】由集合间的关系即可求. 【详解】a为集合的其中一个元素，故. 故答案为：. 【变式5-1】若集合，，则A B．（用符号“”“=”或“”连接） 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】先化简集合A、B，再去判断集合A、B间的关系即可解决. 【详解】，，则 故答案为： 【变式5-2】用集合符号填空： Q． 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案. 【详解】当时，， 当时,包含无理数， 故， 故答案为：. 【变式5-3】（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、集合新定义 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 【变式5-4】（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数、集合新定义 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． 题型6 根据集合的包含关系求参数（共4题） 例6（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 【变式6-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知集合，且，则 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 【详解】由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，.若，则实数的值为 . 【答案】1 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据包含关系求解即可. 【详解】由题意，，则， 又，则， 此时，，符合题意. 故答案为：1. 【变式6-3】（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 题型7 交集的概念及运算（共13题） 例7（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的概念即可得解. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据一元二次方程化简集合，即可由交运算求解. 【详解】由得， 所以， 故答案为： 【变式7-2】（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合 ，则 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求得答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 【变式7-3】（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】解出即可得出交集. 【详解】解方程组，得，故. 故答案为：. 【变式7-4】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】借助交集定义计算即可得. 【详解】由，可得、，则. 故答案为：. 【变式7-5】定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义、利用Venn图求集合 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B.    【变式7-6】（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】由题意，, 故答案为： 【变式7-7】已知集合，，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】因为集合，， 所以． 故答案为：． 【变式7-8】已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义和一元二次方程的根求解. 【详解】将两个方程中都代入，得：， 解得：或3， 或3， 所以 . 【变式7-9】已知集合，集合，用列举法表示集合. 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、列举法表示集合 【分析】集合A,B中的元素均为函数图像上的点，故A与B的交集即为与的交点的集合. 【详解】联立，解得：或，故 【变式7-10】已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解绝对值不等式、根据并集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】（1）分别先求出集合，直接根据交集的运算求解； （2）根据集合的结果，结合，利用并集的结果求参数范围. 【详解】（1），； 时，，故 （2）由于，故，解得，所以实数的取值范围为. 【变式7-11】已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据并集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】（1）化简集合，然后根据交集的定义即得； （2）根据对进行分类讨论，从而求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，又， 所以； （2）由解得，， 若，则，，符合题意； 若，由于，所以； 综上所述，实数的取值集合为. 【变式7-12】已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）当时，代入集合中，写出集合，再解出集合，取交集即取公共的部分即可. （2）由题意知，分为两种情况与，分别求出a的取值范围再取并集即可. 【详解】（1）当时，，，故. （2）由知，①当时，. ②当时，.综上. 题型8 根据交集结果求集合或参数（共7题） 例8（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】根据集合的交集以及并集的定义即可求解. 【详解】由知，. 故答案为： 【变式8-1】集合，，若，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集运算得出，再由并集运算求解. 【详解】若，则，，所以，所以． 故答案为： 【变式8-2】已知集合，，若，求实数的值及． 【答案】；. 【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据给定条件可得，再分类求解并验证作答. 【详解】因，则，在集合中，， 于是得或，解得或， 当时，，，而与已知矛盾，即不成立， 当时，，，有，则，，. 所以，. 【变式8-3】已知全集，集合A、B均为U的子集．若，，则 ． 【答案】/ 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据给定条件结合集合的运算性质即可计算作答. 【详解】因集合A、B均为U的子集，则有， 于是得，而，， 所以 故答案为： 【变式8-4】设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由交集和空集的定义解之即可. 【详解】， 由可知， 故答案为： 【变式8-5】设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】由题意，可得是集合的子集，按集合中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解. 【详解】由题意，可得是集合的子集， 又， 当是空集时，即方程无解，则满足， 解得，即，此时显然符合题意； 当中只有一个元素时，即方程只有一个实数根， 此时，解得， 则方程的解为或，并不是集合的子集中的元素， 不符合题意，舍去； 当中有两个元素时，则， 此时方程的解为，， 由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故； 当时，可解得，符合题意. 综上的取值范围为. 【变式8-6】已知全集为，，且，则 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【解析】由题可得，可得，进而可得，可求出，即得结果. 【详解】由知代入得， 所以集合， 从而得，代入得， 所以. 故答案为：. 题型9 并集的概念及运算（共5题） 例9（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设. 故答案为： 【变式9-1】已知集合，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】先求出集合B，再应用并集定义计算即可. 【详解】． 故答案为：. 【变式9-2】定义且，若，则 【答案】 【知识点】集合新定义、并集的概念及运算 【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果. 【详解】根据集合且的定义可知， 当时，可得，； 所以 故答案为： 【变式9-3】已知集合 (1)求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】并集的概念及运算、交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由交集和并集的定义求解即可； （2）利用集合的包含关系列不等式即可 【详解】（1）已知集合 ∴， （2）因为 若，则， 则实数a的取值范围是. 【变式9-4】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 题型10 根据并集结果求集合或参数（共5题） 例10已知集合，则满足的非空集合B有 个． 【答案】7 【知识点】根据并集结果求集合或参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由可得，所以求出集合的所有非空子集即可 【详解】因为，所以， 因为， 所以非空集合，，，，，，， 所以非空集合B有7个， 故答案为：7 【变式10-1】已知集合，集合，若，则的值为 . 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据集合的并集结果，结合集合的性质求参数即可. 【详解】由，，， ∴. 故答案为： 【变式10-2】集合，，且，则实数取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【解析】由可得A⊆B，列不等式，即可解得. 【详解】因为，所以A⊆B， 即a≥2 所以实数取值范围是. 故答案为： 【点睛】(1)离散型的数集用韦恩图，连续型的数集用数轴； (2)集合的交、并关系通常转化为子集（包含关系）． 【变式10-3】已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合. 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 【变式10-4】设集合，. (1)若，求实数的值; (2)若，求实数的范围. 【答案】（1）；(2)或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素，∴A=B，从而得到实数的值；（2）求出集合A、B的元素，利用B是A的子集，即可求出实数a的范围. 【详解】（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素， ∴A=B， ∴x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根， 故a=1； （2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R} ∴A={0，﹣4}， ∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A． 故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A； ②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A； 当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根， 故a=1； 综上所述a=1或a≤﹣1； 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征． 题型11 补集的概念及运算（共9题） 例11（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】应用集合的补运算求集合. 【详解】由全集，且，则. 故答案为： 【变式11-1】（24-25高一上·上海·期末）已知全集， ，则 ． 【答案】； 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据集合的补集定义计算即可. 【详解】因为全集， ， 所以. 故答案为： 【变式11-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 【变式11-3】设全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，全集，集合， 所以. 故答案为： 【变式11-4】（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 【变式11-5】（23-24高一上·上海宝山·期末）设全集，，则 . 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】 先求集合的元素，再利用补集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 【变式11-6】已知全集，集合，则 . 【答案】. 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据集合的补集运算即可得答案. 【详解】因为全集，集合 所以. 故答案为：. 【变式11-7】设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】由已知得可以求得和，再由交集运算即可解决. 【详解】∵全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，， ∴，， ∴. 故答案为：. 【变式11-8】全集，，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【解析】先解绝对值不等式确定集合，然后由补集定义计算． 【详解】由得，即，∴， ∴． 故答案为：． 题型12 交并补混合运算（共4题） 例12（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解. 【详解】全集，集合，， 所以或， 所以． 集合或，且， 所以或， 解得或， 即的范围为． 故答案为：. 【变式12-1】已知，，则 . 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】先求，再根据集合的运算即可. 【详解】因为，所以， 而，所以. 故答案为：. 【变式12-2】（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图得出集合间关系判定选项. 【详解】图中阴影部分的集合是. 故选：B. 【变式12-3】已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【解析】（1）等价于，先化简集合，再根据包含关系列不等式求解即可； （2）先求出集合的补集，再根据列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为集合，， 所以 即实数a的取值范围是； （2）因为， 所以， 又，且， 所以， 可得， 即实数a的取值范围是. 【点睛】易错点睛：在解答与集合交集、并集、补集有关的问题时，一定要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点. 题型13 充分条件与必要条件（共6题） 例13（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】必要条件 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件. 故选：A. 【变式13-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】已知，，若是的充分不必要条件， 则，所以，. 故选：B. 【变式13-2】（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 【变式13-3】设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由是的充分条件，根据对应集合的包含关系，可得实数m的取值范围． 【详解】∵：，：，是的充分条件， 则，则， ∴实数m的取值范围是. 故答案为：． 【变式13-4】若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】充分条件 【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围 【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为． 故答案为： 【变式13-5】设，写出“”的一个充分条件： ． 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】充分条件 【分析】根据充分条件的定义求解． 【详解】只要是集合的子集即可，如． 故答案为：（答案不唯一）． 题型14 充要条件（共6题） 例14（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】易知，根据定义即可判断得出结论. 【详解】易知若，由可得，可知充分性成立， 又推不出，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 【变式14-1】（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【知识点】充分条件、必要条件、探求命题为真的充要条件 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 【变式14-2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 且：，所以是的必要非充要条件. 故选：B 【变式14-3】（23-24高一上·上海·期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可. 【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出， 则“”是“”成立的既非充分又非必要条件. 故选：D 【变式14-4】（23-24高一上·上海松江·期末）已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据题意分别判断充分性和必要性即可得到答案. 【详解】充分性： 因为:整数能被2整除，所以设此数为， 则不一定为整数，即不一定能被6整除，故充分性不成立； 必要性： 因为：整数能被6整除，所以设此数为， 则一定为整数，即一定能被2整除，故必要性成立. 综上所述，是的必要非充分条件. 故选：B 【变式14-5】（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 题型15 反证法（共5题） 例15（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 【变式15-1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解. 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 【变式15-2】设、. “若，则或”是一个真命题.用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即： . 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】否定结论即可. 【详解】“若，则或”是一个真命题. 用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即“且”. 故答案为：且. 【变式15-3】设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数． 【答案】证明见解析 【知识点】反证法证明 【分析】假设不是奇数，然后推出为偶数，这与题设矛盾，即可证. 【详解】证明：假设不是奇数，则是偶数，设， 则，因为，所以，则是偶数，即为偶数， 这与题设为奇数矛盾，所以假设不成立，即是奇数. 【变式15-4】用反证法证明命题“已知x、，且，求证：或”时，应首先假设“ ”. 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法的原理可知. 【详解】根据反证法的原理可知，求证或时，应首先假设且. 故答案为：且 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $