精品解析：广东省河源市部分学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025－2026学年上学期九年级期中考试数学科试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 4. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（ ） A. 8 B. 0.5 C. 2 D. 20 5. 课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（ ） A. 无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B. 无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C. 无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D. 因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 6. 在年赣超联赛中，吉安队主场第二场比赛到场观赛人数为人，第四场比赛到场观赛人数为人，设吉安队主场观赛人数的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 8. 身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是l5m，则旗杆高为（ ） A. 14米 B. 16米 C. 18米 D. 20米 9. 如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则__________． 12. 在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，估计盒子中白球的个数是 _____． 13. 已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 14. 如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为______． 15. 海螺有一定的数学形态美，我们把它抽象出来变成数学中的一个小模型：如图1，若点在的边上，且满足（或），则称满足这样条件的点为边上的“海螺点”．如图2，直角坐标系中，点，，，在轴上存在点使点为边的“海螺点”，则点的坐标为______． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ⑥ （1）小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； （2）请你写出此题正确的解题过程． 17. “双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰宫多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大版块课程（依次记为A，B，C，D．若该校小慧和小丽随机选择一个版块课程． （1）小慧选科普活动课程的概率是___________； （2）用画树状图取列表的方法，求小慧和小丽选同一个版块课程的概率． 18. 如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接． （1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程； ①；②；③． （2）若四边形是矩形，且，，求四边形的面积． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. 问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 20. 综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒 如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接． （1）求证：． （2）如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）．该纸盒的高为，用含的代数式表示该纸盒底面的边长，并直接写出的取值范围． 21. 根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，距离地面的高度，到平面镜的水平距离，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，墙到木板的水平距离为，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上． 任务1：求灯光反射到墙面上的高度． 问题解决2：某学校要测量校园中旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜． 任务2：假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、…表示，在示意图上标注），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、…的式子表示）． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，将线段沿着线段平移得到线段，连接，反比例函数的图象经过点． （1）若，，求反比例函数的表达式； 在的条件下，若点、、都在反比例函数的图象上（其中），判断与的大小关系，并说明理由； （2）如图，延长交反比例函数的图象于点，试探究的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由； 23. 定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． （1）如图①，在四边形中，，，试判断四边形是否为“等分对角四边形”，并说明理由； （2）如图②，四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，，交于点O，E是下方一点，且，延长交于点F，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，当四边形的一组对边平行时，记的面积为，四边形面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期九年级期中考试数学科试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，可得图形如下： 故选：A． 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 3. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 4. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（ ） A. 8 B. 0.5 C. 2 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，四条线段a、b、c、d， 若，这四条线段叫成比例的线段．正确理解成比例线段的定义是解决问题的关键． 利用成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质求出d的值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（ ） A. 无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B. 无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C. 无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D. 因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：由，可知， 无论取何值， 一定有两个不相等的实数根． 故选：B 6. 在年赣超联赛中，吉安队主场第二场比赛到场观赛人数为人，第四场比赛到场观赛人数为人，设吉安队主场观赛人数的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查增长率，解题的关键是根据“第二场比赛到场观赛人数×（1＋增长率）2＝第四场比赛到场观赛人数”列出方程即可． 【详解】解：设吉安队主场观赛人数的平均增长率为， 依题意，得：． 故选：A． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据矩形、正方形的判定、平行四边形、矩形的性质判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形，故本选项说法是假命题，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定平分对角，故本选项说法是假命题，不符合题意； D、矩形的对角线相等且互相平分，是真命题，符合题意； 故选：D． 8. 身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是l5m，则旗杆高为（ ） A. 14米 B. 16米 C. 18米 D. 20米 【答案】D 【解析】 【分析】利用同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比列式计算即可． 【详解】解：设旗杆高为x米， 根据同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比可得： ，解得：， 故旗杆高20米， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程计算出结果，是解决本题的关键． 9. 如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，由平移性质可得，所以，故有，则，然后代入即可求解，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴， ∴， ∵与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为：，即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 同理可得：四边形和四边形为矩形， ，，， 设点A的坐标为：， ，， ， ，即， ∵正方形的面积为12， ， 在中，由勾股定理得，即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点A的坐标，找出m与k的两个关系式，是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，用表示出是解题的关键． 先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 12. 在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，估计盒子中白球的个数是 _____． 【答案】15 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解． 【详解】解：∵共试验40次，其中有10次摸到黑球， ∴白球所占的比例为 ， 设盒子中共有白球x个，则， 解得：． 故答案为：15． 【点睛】本题考查利用利用频率估计概率．正确列出算式是解题关键． 13. 已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算，理解题意中线段的关系是关键． 根据题意，运用勾股定理得到，，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 海螺有一定的数学形态美，我们把它抽象出来变成数学中的一个小模型：如图1，若点在的边上，且满足（或），则称满足这样条件的点为边上的“海螺点”．如图2，直角坐标系中，点，，，在轴上存在点使点为边的“海螺点”，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当时；当时，设；结合图形，由相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：已知，，， ∴，， 如图所示， 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； 当时，设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或 ． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ⑥ （1）小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； （2）请你写出此题正确的解题过程． 【答案】（1）小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2 （2），． 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，正确计算是解题关键； （1）发现第二步等式右边没有除以2； （2）直接利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； ②，等式的右边没有除以2； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 17. “双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰宫多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大版块课程（依次记为A，B，C，D．若该校小慧和小丽随机选择一个版块课程． （1）小慧选科普活动课程的概率是___________； （2）用画树状图取列表的方法，求小慧和小丽选同一个版块课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 小慧选科普活动课程的概率是 ， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种， ∴小慧和小丽选同一个板块课程的概率为 18. 如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接． （1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程； ①；②；③． （2）若四边形是矩形，且，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：选①，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，则四边形是平行四边形，由，得，则四边形是矩形； (2)由得，根据勾股定理求得则 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. 问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（）；（）它的平均速度是；（）行驶时间应不少于． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （）由表格可知，从而求得函数解析式； （）把代入解析式即可求解； （）根据题意得，然后反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由表格可知，， ∴与之间的函数关系式为； （）当时，， 答：它的平均速度是． （）根据题意，得，解得， 答：行驶时间应不少于． 20. 综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒 如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接． （1）求证：． （2）如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）．该纸盒的高为，用含的代数式表示该纸盒底面的边长，并直接写出的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形，是等边三角形， ，，， ， ， ； （2）该纸盒底面的边长为 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正方形，等边三角形的性质证明，即可求解； （2）根据题意得四边形、四边形、四边形都为矩形，，证明，则，，结合筝形和筝形和筝形全等，得，结合题意得到，则，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等边三角形，连接， ，， ∵折叠后是一个三棱柱， ∴四边形、四边形、四边形都为矩形，， ， 在和中，， ， ，， 同理，， ∵筝形和筝形和筝形全等， ， 由题意得，，则， ， ， ∵是无盖的直三棱柱纸盒，当时，， ∴， ∴， ∴该纸盒底面的边长为． 21. 根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，距离地面的高度，到平面镜的水平距离，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，墙到木板的水平距离为，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上． 任务1：求灯光反射到墙面上的高度． 问题解决2：某学校要测量校园中旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜． 任务2：假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、…表示，在示意图上标注），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、…的式子表示）． 【答案】任务1：灯光反射到墙面上的高度为 任务2： 如图， 旗杆的高度 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定方法和性质的运用是关键． 任务1：根据题意证明，，即可求解； 任务2：结合任务1的方法求解即可． 【详解】任务1：∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， ， ， ， ， 解得， 由题意，得， ，， ， ，即， 解得． 答：灯光反射到墙面上的高度为． 任务2：①将平面镜放在处， ②人走到适当的地方：刚好能从平面镜中看到旗杆的顶部， ③测出人的高度，人到平面镜的距离，平面镜到旗杆底部的距离， ④计算出旗杆的高度： ， ， 所以旗杆的高度． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，将线段沿着线段平移得到线段，连接，反比例函数的图象经过点． （1）若，，求反比例函数的表达式； 在的条件下，若点、、都在反比例函数的图象上（其中），判断与的大小关系，并说明理由； （2）如图，延长交反比例函数的图象于点，试探究的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由； 【答案】（1）； ，理由： ∵点、、都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）的值为定值，． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，平移的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，时，则，，根据线段平移的性质可得，所以点坐标为，然后代入即可求解； 由点、、都在反比例函数的图象上，则有，，，然后代入即可求解； （）过点作轴，设，，再证明，所以，即，所以，整理得，由可得，整理得，解得，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：当，时， ∴，， 根据线段平移的性质，， ∴点坐标为， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 略 【小问2详解】 解：过点作轴，设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴，整理得， ∴由可得，整理得， 解得， ∴， ∴的值为定值． 23. 定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． （1）如图①，在四边形中，，，试判断四边形是否为“等分对角四边形”，并说明理由； （2）如图②，四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，，交于点O，E是下方一点，且，延长交于点F，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，当四边形的一组对边平行时，记的面积为，四边形面积为，求的值． 【答案】（1） 解：四边形是“等分对角四边形”. 理由如下：如图，连接， ， ， ， ∴平分， ∴ 四边形是“等分对角四边形”； （2） 解：，证明如下： ∵ 四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，根据证明，即可得到平分，然后根据“等分对角四边形”的定义判断即可； （2）先根据得到，即可得到，，然后根据相似得到对应边成比，即可得到，，进而利用证明，即可得到结论； （3）先根据证明，得到，然后分为和两种情况作辅助线，利用全等三角新的判定和性质、相似三角形的判定和性质得到与的关系求比值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得，，， ∴， ∵四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”， ∴，， ∵， ∴， ∴， ①当时，如②，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 与是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ，即 ； ②当时，如图，连接并延长交的延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ； 综上所述，为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $