精品解析：安徽省六安市舒城县部分校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

舒城部分学校联考2025-2026学年上学期九年级12月月考试卷 数　学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A 1 B. C. 1或 D. 0 2. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象对称轴是直线 3. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（ ）． A. B. C. D. 5. 若点和是反比例函数（k为不等于0的常数）图象上的两点，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为锐角，点在边上，连接，，．是边的中点，连接，对角线分别与，相交于点，，则以下结论：①点是的中点；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2） 9. 如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是( ). A. B. C. D. 10. 一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，一次函数（m、n是常数）与反比例函数的第二象限的图象交于点，两点，与轴，轴分别交于点，，且，则的值为__________． 12. 如图，的边上有D，E，F三点，，，．若，，，则______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为，点，在第一象限，若点的坐标为，则点的坐标是______． 14. 如图，一汽车在坡度为的斜坡上爬行，从点行驶了米到达点，则这时汽车在水平方向前进的距离为 _________________米． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 二次函数的图象经过点，，. （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标. 16. 计算：． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． （1）写出与的函数关系式； （2）上述函数是什么函数？ （3）自变量的取值范围是什么？ 18. 平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）已知点，是抛物线上两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 19. 如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）求点A、B、C坐标； （2）若直线y＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集． 20. 如图，在矩形中，厘米，厘米. 点沿边从开始向点以2厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以1厘米/秒速度移动.如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： （1）当为何值时，为等腰直角三角形？ （2）求四边形的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． （1）和关于y轴对称，画出； （2）若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限． ①画出； ②__________． 22. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，在图2中： （1）求的长； （2）求． 23. 如图，在正方形中，点在边上不与点，重合，交于点，垂足为点． （1）求证： （2）连结，交于点． 若，求的值． 若，设与的面积之差为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 舒城部分学校联考2025-2026学年上学期九年级12月月考试卷 数　学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数． 2. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 3. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点A、B的坐标由此得到AB的长，由此得到CD的长，点D的坐标，代入解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，设直线AB交y轴于点E， ∵直线与二次函数交于A、B， ∴当时， ，得， ∴， ∴, ∵， ∴CD=4， 由二次函数的对称性可得CE=DE=2， ∴D（2，2）， 将点D的坐标代入，得8a=2， 解得a=， 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键． 4. 慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式．由“每天的利润每日销售量每盒利润”可列出y与x之间的函数表达式． 【详解】解：由题知：日销售量盒， 每盒利润为元， ， 故选：D． 5. 若点和是反比例函数（k为不等于0的常数）图象上的两点，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数图象与系数的关系及函数图象的性质是解题的关键． 利用反比例函数的增减性，结合横坐标的大小和正负判断即可． 【详解】解：∵k为不等于0的常数， ∴， ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大， ∵点和在第二象限，， ∴， 故选：B. 6. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，将拆分为，然后代入已知条件计算，由此求解即可． 【详解】解：，且， ． 故选：B． 7. 如图，在中，为锐角，点在边上，连接，，．是边的中点，连接，对角线分别与，相交于点，，则以下结论：①点是的中点；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，面积的计算可判定①；根据题意可证，可判定②；根据中位线的判定和性质可判定③；根据题意可证，，结合可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 如图所示，过点作延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故①正确； ∵是边的中点， ∴，且， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，故②正确； ∴点中点， ∵点分别是中点， ∴是的中位线， ∴，故③正确； ∵点分别是中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有：①②③④，共4个， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质是关键． 8. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2） 【答案】A 【解析】 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=， ∵BG=6， ∴AD=BC=2， ∵AD//BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴=， ∴=， 解得：OA=1， ∴OB=3， ∴C点坐标为：（3，2）， 故选：A． 9. 如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，三角形ABD，三角形ACD和三角形ABC都是直角三角形， 在直角三角形ABD中，∠B的正弦等于∠B的对边AD比斜边AB，故A正确； 在直角三角形ABC中，∠B的正弦等于∠B的对边AC比斜边BC，故B正确； 又因∠B=∠DAC，而sin∠DAC=，所以sin∠B=，故D正确； 而AD：AC是∠DAC的余弦，也是∠B的余弦，故结论不正确的是C； 故选C． 10. 一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ∴，， ， 由题意得，， ， ∴． 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，一次函数（m、n是常数）与反比例函数的第二象限的图象交于点，两点，与轴，轴分别交于点，，且，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及用待定系数法求函数解析式，解题时注意：函数图象过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式． 先求得，，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，再将代入一次函数解析式中求得，再将代入反比例函数中求出k的值即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点D，， ，， 把坐标代入得：， 解得：， 一次函数解析式为， 当时，， ， 是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． 故答案为：． 12. 如图，的边上有D，E，F三点，，，．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 先证即可求出的长，再证，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵为公共角， ， ， 即， ， ， ， 解得， ， ， 为公共角， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为，点，在第一象限，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换的两个图形相似是解题的关键． 根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，四边形为正方形， ∴， ∵正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为， ，即， 解得：， 则点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，一汽车在坡度为的斜坡上爬行，从点行驶了米到达点，则这时汽车在水平方向前进的距离为 _________________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义，是解答本题的关键． 根据题意，得到，利用勾股定理，得到，再由已知条件，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ，斜坡的坡度为， ， ， ， ， ， （米）， 故答案为：． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 二次函数的图象经过点，，. （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，再把三个点坐标分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到二次函数解析式； （2）先把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标． 【详解】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c， 根据题意得， 解得， 所以二次函数解析式为y=x2-2x-3； （2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4， 所以二次函数图象的顶点P坐标为（1，-4）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，二次根式的混合运算等知识，将题目中所涉及的特殊角的三角函数值代入式子，然后再按二次根式的相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式= = =． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． （1）写出与的函数关系式； （2）上述函数是什么函数？ （3）自变量的取值范围是什么？ 【答案】（1） （2）二次函数 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟悉掌握矩形的面积公式列出函数是解题的关键． （1）根据矩形面积公式解答即可； （2）由函数式子判断即可； （3）结合题意解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即：； 【小问2详解】 解：∵， ∴是的二次函数； 【小问3详解】 解：由题意得：自变量的取值范围是． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）该抛物线的顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据配方法配成顶点式，然后问题可求解； （2）由题意可分①当和进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由配成顶点式可得： ， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意可知，则可分： ①当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴， 要使，则需满足点P到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离更远， ∵点Q到对称轴的距离为，点P到对称轴的距离为，即， ∴，解得：； ②当时，抛物线开口向上，要使，则需满足点P到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离更近， ∵点Q到对称轴的距离为，点P到对称轴的距离为， 当时，需满足，即， ∴， ∴，解得：（与相矛盾，故不符合题意）； 当时，需满足，即， ∴， ∴，解得：（与相矛盾，故不符合题意）； 当时，解得：，此时，，所以此种情况始终满足； 综上所述：当或时，都有． 19. 如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）求点A、B、C坐标； （2）若直线y＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集． 【答案】（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3） （2）0＜x＜3 【解析】 【分析】（1）令x=0可得点A，B坐标，令y=0可得点C坐标． （2）通过观察图象，BC之间的部分抛物线在直线上方，从而求解． 【小问1详解】 解：令y=0，则0=-（x-1）2+4， 解得x=3或x=-1， ∴点A坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0）， 令x=0，y=-1+4=3， ∴点C坐标为（0，3）． 【小问2详解】 由图象可得，0＜x＜3时，抛物线在直线上方， ∴-（x-1）2+4＞kx+b的解集为0＜x＜3． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 20. 如图，在矩形中，厘米，厘米. 点沿边从开始向点以2厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以1厘米/秒速度移动.如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： （1）当为何值时，为等腰直角三角形？ （2）求四边形的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)2s;(2)见解析;(3) 或时. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出DQ=t，AP=2t，QA=6﹣t，由于△QAP为等腰直角三角形，则6﹣t=2t，求出t的值即可； （2）根据计算即可得出结论； （3）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】（1）∵AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，∴DQ=t，AP=2t，QA=6﹣t， 当△QAP为等腰直角三角形即6﹣t=2t，解得：t=2； （2）在△QAC中，∵QA=6-t，QA边上的高DC=AB=12， ∴ 在△APC中，∵AP=2t，BC=6， ∴ ∴． ∴由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变． （3）分两种情况： 当时，即，解得：t=1.2（秒）； 当时，即，解得：t=3（秒）． 故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． （1）和关于y轴对称，画出； （2）若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限． ①画出； ②__________． 【答案】（1）见解析 （2）①图见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换、作图-轴对称变换． （1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可； （2）①由（1）及位似的性质进行作图即可； ②由（1）得，进而得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：①如图，即为所求； ②∵和关于y轴对称， ∴， ∵与的位似比为， ∴， 即， 故答案为：． 22. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，在图2中： （1）求的长； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，一元一次方程的应用，平行线的性质等，熟练掌握正切的定义是解题的关键． （1）根据图1中的矩形的面积等于图2中的的面积，列出方程，解方程即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，图1中的矩形的面积等于图2中的的面积， 即， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：延长，交直线于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即． 23. 如图，在正方形中，点在边上不与点，重合，交于点，垂足为点． （1）求证： （2）连结，交于点． 若，求的值． 若，设与的面积之差为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）① ② 【解析】 【分析】（1）只需证明即可求得答案； （2）根据题意可知，证明，可求得，进而可求得答案；过点作，垂足为，交于点，设，则，，根据题意可知，可将的值表示为关于的二次函数． 【小问1详解】 在正方形中，，， ． 交于点， ． ． ． ． 【小问2详解】 ，， ． ， ． ． ． 设正方形的边长为，则，， ． ． 如图所示，过点作，垂足为，交于点，设，则， 根据题意可知． ，，． ． ． 设，根据题意可知二次函数的图象对称轴为，开口向下，所以当时，可以取得最大值，最大值，即的最大值为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及判定、相似三角形的判定及性质、勾股定理、二次函数图象及性质、三角函数等，综合性较强，灵活运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $