重庆市九校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

重庆市九校联盟高2027届（高二上）期中联考 数学参考答案 一、选择题：前8小题，每小题5分，共40分；后3小题，每小题6分，共18分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A 心 D B D ABD CD AB 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、 13、(3,-1) 14、[4,+0) 三、解答题：本题共5小题，共77分 15、解：(1)设A=“甲做对”，B=“乙做对”，…1分 则“两人都做对”=AB,…2分 P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.5=0.2… …6分 (2)“恰有一人做对”=ABUAB, …7分 P(ABAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(P(B) =0.4×0.5+0.6X0.5=0.5……13分 16、解：联立直线方程得 2x+3y-8=0 x-2y+3=0 解得=2 …交点A(1,2)3分 (1):直线l3的倾斜角为120 k3=tan120°=-V5 :直线l3的点斜式方程为：y-2=-V3(x-1) 化为一般式：V3x+y-2-V3=0 …7分 (2):直线l4与直线3x-y+1=0平行·k4=3 直线4的点斜式方程为：y-2=3(x-1) 化为一般式：3x-y-1=0 …11分 (3)直线l5与直线3x-y+1=0垂直 3k5=-1 k5=-月 ÷直线l的点斜式方程为：y-2=-号(x-1) 化为一般式：x+3y-7=0 …15分 第1页共4页 17、解：(1)由已知得：AB=(1,0,0),AC=(3,0,1), …1分 cos<AB,AC> AB-AC 3 2 …5分 .<AB,AC>∈[0°，180]，… …6分 .向量AB与AC的夹角为30°.…。 …7分 (2)m=AB-tAC=(1-V3t,0,-t),i=AB+tAC=(1+V3t,0,t)…8分 .m与夹角为锐角， .mi>0且m与不共线… …9分 .mi>0, ∴.(1-V3t)(1+V3t)-t2>0… …10分 解之得te(- ①… …11分 当m与n共线时，存在实数，使得m=n 1-V3t=λ(1+V3t) 即 0=入×0 …12分 -t=入×t 解之得 t=0. …13分 .m与i不共线，t≠0 ②… …14分 由①②得t∈(-2,0U(0,2… ……15分 18.解：(1)因为圆心C在直线x-y-1=0上， AB的垂直平分线方程为y=-x+5 联立 x-y-1=0 …2分 (y=-x+5 解之得二所以圆心坐标为ca.2, 半径为r=AC-2, …4分 ∴.圆C的标准方程为(x一3)2+y-2)2=4.… …5分 (2)①当直线1斜率不存在时，x=1,即x-1=0 经检验当1的方程为X-1=0时，验证可知1与圆C相切；…7分 ②当直线斜率存在时，设斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-1) 第2页共4页 即kx一y一k+1=0时，… …8分 圆心C到直线1的距离为d=-2-k+=2, √k2+1 解得k=是 …9分 所以1的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.…10分 所以直线1的一般式方程为X-1=0或3x十4y一7=0.…11分 (3)由(1)知圆心为C(3,2),半径为2， (x-4)2+y-3)2表示圆上的点P(X,y）到M(4,3)的距离的平方。…12分 圆心C(3,2)到M(4,3)的距离d=√2，…13分 圆的半径r=2,因为d<r,所以M在圆内部。…14分 圆上点到M的最小距离为r-d=2-√2， …15分 因此最小值为：6一4√2…17分 19.解：(1)以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直 角坐标系， M N D 则B(0,0,0),C(30,0),A(0,3,0),D(3,3,0),P(0,0,4); M为PB中点，故M(0,0,2):N为DC中点，故N(3,,0)。 …1分 MN=(3,2,0)… …2分 .PA=(0,3,-4),PD=(3,3,-4) 设平面PAD的法向量n=(X,y,Z) 则叫xy“o (x=0 令z=3得y=4,则i=(0,4,3)… …4分 Z=3 ..MN.n=0, 第3页共4页 又，MN￠平面PAD,… …5分 .MN//平面PAD… …6分 (2)BD=(3,3,0)…7分 由(1)知平面PAD的法向量五=(0,4,3)， 则直线与平面所成角0的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： sin 0 Icos BD,n=2v …9分 5 cos01-(sin0)2= …11分 5 (3)不存在这样的点E,理由如下 …12分 设E(0,0,)0≤1≤4)，则DE=(-3,-3,t),… …13 分 若DE⊥平面PAC,则DE为平面PAC的法向量… …14分 .PA=(0,3,-4),PC=(3,0,-4) 则g-址=0 …15分 解之得t=- ………16 4 分 故不满足0≤t≤4，所以线段BP上不存在点E,使得DE⊥平面PAC.…17分 第4页共4页重庆市九校联盟高2027届（高二上)期中联考 数学学科试卷 考试时间：120分钟总分：150分命审学校：合川育才中学、双桥中学预测难度系数0.59 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.在空间直角坐标系中，已知点A(2,一3,3)，B(-2,1,-7),则线段AB的中点坐标是 A.(0,-2,-4) B.(0,-1,-2) C.(0,2,4) D.(0,1,2) 2.直线x-V3y+5=0的倾斜角为() A.g B号 c D. 3.若平面a的法向量为=(1,2,2)，则下列各向量与垂直的是( A.(2,4,4) B.(-2,-1,2) C.(-5,2,3) D.(2,-4,8) 4.若点(1,2)在圆(x+1)2+y-a)2=5的内部，则a的取值范围是( A.(-∞，1) B.(3,+∞) C.(1,3) D.(-∞，1)U(3,+∞) 5.在机器人车间里，有一台负责搬运零件的机械臂，其运动结构可抽象为：底座是一个矩 形平台ABCD,机械臂的主杆PA垂直于平台所在平面（即PA⊥平面ABCD),现要将一零件 从点B搬运到点E,已知PE=PC,若，AB=d,AD=万，AP=c,则BE() Aa-万- B.-a-6+ 4 c.a+6- D.-a+拓+ 4 试卷第1页，共4页 6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D,F分别是A1C1,A1B1的中点，BC=CA=2, CC1=1,则BD与AF所成角的余弦值是( A-号 B号 c 7.已知圆C:x2+y2-4x-4y-1=0,AB是圆C上的一条动弦，且|AB1=4V2,设AB 中点为H,则H到直线x+y+1=0距离的最大值为( ) A9+1 B9-1 D.52-1 2 8.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱A1A的中点，点Q在上底面正方 形A1B1C1D1(含边界)内运动，满足QC·QM=4,则点Q的轨迹长度为( A号 B.π C.2π D.4π D A B1 D B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分， 9.已知向量a=（3,2,1),b=(4,-2,4),则( A.lal =v14 B.若(ka+2b/(a-b,则k=-2 C.2a-3b=(6,-10,10) D.向量在向量五上的投影向量为3 10.已知直线：mx+ny-r2=0与圆C:x2+y=2,点A(m,n),则下列说法正确的是() A.若点A在直线L上，则直线与圆C相交 B.若点A在圆C外，则直线与圆C相离 C.若点A在圆C内，则直线与圆C相离 D.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 试卷第2页，共4页 11.正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是() D C A.直线A1C1与直线D1C所成角为写 B.二面角D1-BC-D的大小为 C.直线D1C与平面ABCD所成角为 D.平面A1BC1⊥平面A1C1D B 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分 12.点P(-5,1)到直线8x+15y+1=0的距离为 13.直线：kx+(2k-1)y-(k+1)恒过定点 14.设点A(4,-1),B(2,m),若直线AB关于y=m对称的直线与圆(x-1)2+y-3)2=1有 公共点，则m的取值范围是 四、解答题（本大题共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)在一次数学练习中，甲、乙两人同时独立做同一道较难的数学题，已知甲、 乙能做对的概率分别是0.4和0.5. (1)求两人都做对此数学题的概率： (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 16.(15分)求经过直线，：2x+3y-8=0,2:x-2y+3=0的交点A,且满足下列条 件的直线的方程： (1)倾斜角为120°的直线l3: (2)与直线3x-y+1=0平行的直线l4; (3)与直线3x-y+1=0垂直的直线l5. 试卷第3页，共4页 17.(15分)已知空间三点A(1,2,3),B(2,2,3),C(1+V3,2,4). (1)求向量AB与AC的夹角： (2)若而=AB-tAC,n=AB+tAC,求m与i夹角为锐角时，实数t的取值范围. 18.(17分)已知圆C经过点A(1,2)和B(3,4),且圆心C在直线x-y-1=0上 (1)求圆C的标准方程： (2)设直线1经过点(1,1)，且1与圆C相切，求直线1的一般式方程； (3)P为圆上任意一点，在(1)的条件下，求(x-4)2+y-3)2的最小值. 19.(17分)如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD,且AB=3,PB=4.M 为PB中点，N为DC中点，解答以下问题： (1)证明：直线MN//平面PAD: (2)求直线BD与平面PAD所成角的余弦值； M (3)线段BP上是否存在点E,使得DE⊥平面PAC, 若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由. D4--5-N B 试卷第4页，共4页