第13章 勾股定理-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版）

12.2.3角边角 第1课时角边角 知识梳理 相等ASA 针对训练 1.B2.C3.124.∠ADB=∠ADC5.(1)证明：.∠BCE=∠DCA,.∠BCE+ ∠ACE=∠DCA+∠ACE,即∠BCA=∠DCE,在△BCA和△DCE中， ∠BCA=∠DCE, AC=EC, ∴.△BCA≌△DCE(ASA).(2)解：：△BCA≌△DCE,.∠B= ∠A=∠E, ∠D=15°.∠A=25°，..∠BCA=180°-∠A-∠B=140°. 第2课时角角边及对应边上的线段相等 知识梳理 相等对边 AAS相等 针对训练 1.D2.C3.34.证明：AE=CF,.AE-EF=CF-EF,即AF=CE.在△ADF ∠D=∠B, 和△CBE中， ∠A=∠C,.△ADF≌△CBE(AAS)..DF=BE.5.(1)证明：，E AF=CE, ∠A=∠ECF, 是DF的中点，∴.DE=FE.在△ADE和△CFE中， ∠AED=∠CEF,.△ADE≌ DE=FE, △CFE(AAS).(2)解：△ADE≌△CFE,.AD=CF=8..BD=AB-AD=7. 12.2.4边边边 知识梳理 相等SSS 针对训练 AB=AD. 1.A2.125°3.AB=DC4.证明：在△ABE和△ADF中，AE=AF,∴△ABE≌ BE=DF, △ADF(SSS).∴·∠BAE=∠DAF.∴.∠BAE+∠EAF=∠DAF+∠EAF,即∠BAF =∠DAE.5.证明：BF=CD,∴BF-CF=CD-CF,即BC=DE.在△ABC和 AB=ED, △EDF中，JAC=EF,∴.△ABC≌△EDF(SSS).∴∠B=∠D.∴.AB∥DE. BC=DF, 12.2.5斜边直角边 知识梳理 直角边HL 针对训练 1.A2.C3.60°4.=5.证明：DE⊥AC,BF⊥AC,.∠AFB=∠CED=90°.在 AB=CD, Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴.∠BAF= BF=DE. ∠DCE.∴.AB∥CD. 12.3等腰三角形 12.3.1等腰三角形的性质 知识梳理 相等两个底角等边对等角等腰三角形的三线合一对称轴相等60°3 针对训练 1.C2.C3.B4.105°5.2.56.证明：.AB=AC,.∠ABC=∠ACB.BD= CD,.∠DBC=∠DCB..∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB,即∠ABD=∠ACD. 82 12.3.2等腰三角形的判定 知识梳理 等角对等边都相等60° 针对训练 1.B2.B3.B4.A5.26.37.证明：BD=BE,.∠D=∠BED.∠BED= ∠CEF,.∠D=∠CEF.DF⊥AC,∴.∠AFD=∠CFE=90°..∠A+∠D=90°， ∠CEF+∠C=90°.∠A=∠C.AB=BC. 12.4逆命题和逆定理 12.4.1互逆命题和互逆定理 针对训练 1.B2.B3.解：(1)2(2)选①②作为条件，③作为结论，证明如下：在△AED和 ∠A=∠C △CEB中，∠AED=∠CEB,∴.△AED≌△CEB(AAS).∴AE=CE.(答案不唯一) AD=CB, 12.4.2线段垂直平分线 针对训练 1.C2.B3.证明：：∠1=∠2，∠3=∠4，∴.EB=EC,∠1十∠3=∠2十∠4，即 ∠ABC=∠ACB.∴·点E在BC的垂直平分线上，AB=AC.∴点A在线段BC的垂直 平分线上..AD垂直平分BC. 12.4.3角平分线 知识梳理 相等相等 针对训练 1.B2.33.(1)BCDC(2)ABAD4.40°5.3006.证明：：DE⊥AB,DF⊥ DB=DC,:.R△BDE≌ AC,∠E=∠CFD=9O.在R△BDE和R△CDF中，BE=CF, Rt△CDF(HL)..DE=DF.又DE⊥AB,DF⊥AC,.AD是∠BAC的平分线. 7.证明：CD⊥AB,BE⊥AC,且∠1=∠2，∴.OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°，又 :∠BOD=∠COE,∴.△OBD≌△OCE(ASA)..OB=OC, 第13章勾股定理 13.1勾股定理及其逆定理 13.1.1直角三角形三边的关系 第1课时勾股定理 知识梳理 a2十b=c9 针对训练 1.C2.B3.D4.解：(1)由勾股定理，得c=√a2+6=√2+32=√10.(2)：a:b =3:4,∴.设a=3x,则b=4x.由勾股定理，得a2十b2=c2,∴.(3x)2十(4x)2=102,解得 x=2(负值已舍去)..a=3x=6,b=4x=8.5.解：在Rt△ADC中，AD=16,CD= 12,由勾股定理，得AC=√/AD+CD=√/162十122=20.在Rt△ABC中，BC=15,由 勾股定理，得AB=√AC+BC=√20+15=25. 第2课时勾股定理的简单应用 针对训练 1.B2.C3.B4.1005.2.5m6.解：(1)根据题意，得∠ACB=90°，AC=30m, AB=50m,∴.BC=√AB-AC=√502-30产=40(m).∴.BC的长为40m.(2)这辆小 汽车没有超速.理由如下：，该小汽车的速度为40÷2=20(m/s),20m/s=72km/h< 80km/h,.这辆小汽车没有超速. 13.1.2直角三角形的判定 知识梳理 直角三角形直角正整数 针对训练 1A2.C3.A4.合格5.2 2 6.(1)证明：AB=13,AD=12,BD=5,.AB= 83 AD2十BD.∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.(2)解：由(1)可知∠ADB=90°， .∠ADC=90°.△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，AD=12,AC=15,由勾股定 理，得DC=√AC-AD=√15-12z=9.7.解：5十12=13，∴.AC+AB2= BC.∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90.SC=AB·AC=合BC·AD,即 合×12X5=号×13AD.AD-g 13.1.3反证法 针对训练 1.C2.D3.C4.∠ACB∠CAE∠ACB∠CAE 13.2勾股定理的应用 针对训练 1.D2.130cm3.(x-2)2+(x-4)2=x 第14章数据的收集与表示 14.1数据的收集 14.1.1数据有用吗 14.1.2亲自调查获取一手数据 针对训练 1.A2.153.40.25 14.1.3检索文献获取二手数据 针对训练 解：从数据中能获得以下信息：①我国人口总数在逐年增加；②我国城镇人口比重在逐 年提高，2000年以前提高的速度相对较慢，2000年以后提高的速度明显加快：③1990 年以后，乡村人口逐年下降 14.2数据的表示 14.2.1频数分布直方图 针对训练 1.C2.解：(1)正正10正5(2)补全频数分布直方图如图. ↑频数 (3)由频数分布直方图知，气温x满足17≤x<22的天数最多， 15 01217222732温度/℃ 有10天.（答案不唯一）3.解：(1)抽取的学生总人数为15÷10%=150.a=150× 20%=30,b=45÷150×100%=30%.(2)补全频数分布直方图如图. +频数 (3)该校被评为“良好”的学生约有(40%十20%)×1800= 60H 50 40F 30 30, 20L 15 10 60708090100成绩/分 1080(名). 14.2.2扇形统计图 针对训练 1.A2.A3.解：(1)八年级参加兴趣小组的人数为68÷34%=200.(2)参加其他兴 趣小组的学生人数为200×(1一19%一26%一34%)=42. 14.2.3容易误导读者的统计图 知识梳理 (1)宽度高低长短(2)折线(3)扇形 针对训练 解：(1)由图可知：小苗的年龄最大，小强的年龄最小.(2)小苗的年龄比小强大18一 13=5(岁).(3)容易.因为纵轴上的数值不是从0开始的.(4)纵轴上的数值应从0开始 即可 84第13章勾股定理 13.1勾股定理及其逆定理 13.1.1直角三角形三边的关系 第1课时勾股定理 知识梳理 内容 图例 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图，在Rt△ABC 勾股定理 中，两直角边分别为a,b,斜边为c,则有 ⊕对训练♪ (2)若a:b=3:4,c=10,求a,b的值 1.若直角三角形的一条直角边长为9，斜 边长为15，则另一条直角边长为( ) A.9 B.10 C.12 D.13 2.如图，在等腰三角形ABC中，底边BC 8,底边上的中线AD=3,则它的腰长 为 ( A.3 B.5 C.8 D.√7 5.如图，在四边形ABCD中，∠D=∠ACB= 90°，CD=12,AD=16,BC=15,求AB 225 289 的长. B D A (第2题图) (第3题图) 3.如图，两个较大正方形的面积分别为 225,289,则正方形A的面积为( A.4 B.8 C.16 D.64 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B, ∠C的对应边分别为a,b,c. (1)若a=1,b=3,求c的值； ·24· 第2课时 勾股定理的简单应用 针对训练 5.如图所示的是一扇高为 1.如图，从电线杆高于地面6m的C处，向 2m,宽为1.5m的长方形2m 地面拉一条10m长的缆绳AC,那么固定 门框，小强有一些薄木板要 1.5m 点A到电线杆底部B的距离为( 通过门框搬进屋内，在不能破坏门框，也 A.6 m B.8 m 不能锯短木板的情况下，能通过门框的 C.10m D.12m 木板最大的宽度为 (门框和木 板的厚度忽略不计) A下 60m 6.某路段限速标志规定：小汽车在此路段 B 上的行驶速度不得超过80km/h.如图， 80m (第1题图) (第2题图) 一辆小汽车在该笔直路段！上行驶，某 2.如图是一块长为80m,宽为60m的长方 一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪 形菜地ABCD,王大伯要从A处到C处 A的正前方30m的点C处，2s后小汽车 去，则沿AC比沿AB→BC少走( 行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检 A.20m B.30m 测仪A间的距离为50m C.40m D.50m (1)求BC的长； 3.如图，小明在广场上先向东走10m,又 (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由. 向南走40m,再向西走20m,又向南走 B 40m,再向东走70m,小明到达的终止 点与原出发点的距离为 A.80m 出发点10 车速检测仪 B.100m 2040 40 C.110m 终止点 70 D.180m 4.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方 向挖，每分钟挖8cm,另一只朝正东方 向挖，每分钟挖6cm,l0min之后两只 小鼹鼠相距 cm, ·25· 13.1.2直角三角形的判定 知识梳理 如果三角形的三边长a,b,c有关系a2十b=c2,那么这个三角形是 勾股定理的逆定理 且边c所对的角为 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个 ,称为勾股数 针对训练 6.如图，在△ABC中，D是边BC上的点， AB=13,AD=12,BD=5,AC=15. 1.下列各组数为勾股数的是 (1)求证：△ABD是直角三角形； A.7,24,25 B.4,5,6 (2)求DC的长. C.0.3,0.4,0.5 D.2,3,√5 2.一个直角三角形的三边长分别为6,8， 10,对应的角分别为∠A,∠B,∠C,则直 角是 A.∠A B.∠B C.∠C D.无法确定 3.如图，在正方形网格中，小正方形的边长 都为1，△ABC的顶点都在格点上，则 △ABC是 ( 7.如图，在△ABC中，AB=12,BC=13, AC=5,求BC边上的高AD的长， A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 4.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为 60cm,宽为32cm,对角线长为68cm, 则这个桌面 ,(选填“合格”或“不 合格”) 5.若一个三角形的三边长分别为1，√2， √3，则其面积为 ·26· 13.1.3 反证法 针对训练 4.请将证明过程内容补充完整： 如图，在△ABC中，∠BAC的邻补角的 1.用反证法证明“a<b”时，第一步应假 平分线与BC的延长线交于点E. 设 ( 求证：AB≠AC A.ab B.a≤b C.a≥b D.a≠b 2.要证明命题“若a>b,则a>b2”是假 B 命题，下列a,b的值不能作为反例的 证明：假设AB=AC,则∠B= 是 ( ,AE平分∠DAC, A.a=1,b=-2 B.a=0,b=-1 .∠DAC=2∠DAE=2 C.a=-1,b=-2 D.a=2,b=-1 又.'∠DAC=∠B+ 3.用反证法证明“在△ABC中，至少有两 .∠DAC=2∠ACB .∠ACB 个锐角”时，第一步应假设这个三角形 ∴.AE∥BC,这与∠BAC的邻补角的平 中 ( 分线与BC的延长线交于点E相矛盾. A.没有锐角 B.都是直角 .AB=AC不成立. C.最多有一个锐角 D.有三个锐角 .AB≠AC 13.2 勾股定理的应用 针对训练♪ 一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B,其 爬行的最短线路的长度是 1.将一根长18cm的牙刷置于底面直径为 5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，如图 3.《九章算术》中提出了如下问题：“今有户 不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺， 所示，设牙刷露在杯子外面的长度为 纵之不出二尺，斜之适出.问户高、广、斜 hcm,则h的取值范围是 ( 各几何？”这段话的意思如下：现在有一 A.6<h≤7 B.6≤h≤7 扇门，不知道它的高和宽；有一根竹竿， C.5<h6 D.5h6 不知道它的长短，将竹竿横着放，比门宽 长出4尺；将竹竿竖着放，比门高长出2 40 尺：将竹竿斜着放，与门对角线恰好长度 20 50 相等.问这扇门的高、宽和对角线长各是 (第1题图) (第2题图) 多少？若设竿长为x尺，则可列方程为： 2.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台 阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm, ·27