专练31 勾股定理与分类讨论&专练32 勾股定理与无刻度直尺作图-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

31 专练31 勾股定理与分类讨论 【方法规律】当问题中的条件不明，有可能出现几种情况时，需分类讨论. ⑦典创导练 模型一当三角形形状不明时要分类讨论 示范题△ABC中，AB=15,AC=20,BC边上的高为12，则BC边的长为 【思路点拨】分BC边上的高在三角形内部和外部两种情况讨论， 心知能检测 模型二动点位置不明时要分类讨论 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC 以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts.当△ABP为直角三角形时，求t的值. 模型三腰不明时要分类讨论 2.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为20m,15m,现要将绿地扩充成等 腰三角形，且扩充部分是以20为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的 周长. 32 专练32勾股定理与无刻度直尺作图 【方法规律】运用勾股定理，结合网格结构特点是解题的关键. ⑦典例导练 示范题如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以格点为线段的端点， 按下列要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法与证明） 图1 图2 (1)在图1中画一条线段AB,使AB=√17，并标出AB的中点M; (2)在图2中画一条线段CD,使CD=2√13，并标出CD的中点N. 【思路点拨】(1)由√十4=√7，结合网格的特，点即可求解； (2)由√4十6=√52=2√/13，结合网格的特点即可求解. &√知能检测 如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.请按下列要求分别画出相应的图 形，且所画图形的每个顶点均在所给小正方形的顶点上. (1)在图1中画出一个斜边长为√5的直角三角形； (2)在图2中画出一个腰长为5，面积为10的等腰三角形 (3)在图3中确定格点D,使△ABD为等腰直角三角形，画出所有符合条件的格点D 图1 图2 图3o)=90+7a:∠BDE+∠CDF 2.过点C作CF⊥BE于点F, 知能检测 ,CB=CE,∴.BF=EF 1.方法一：连DE,证△ABD≌ +g=180,2+g=90,即a+29 ,AB=AC,.∠ABC=∠ACB, △EBD(SAS),从而∠BED= 又'∠CFB=∠BDC=90°，BC ∠A=108°，故∠DEC=∠CDE =180°. =CB,.△BFC≌△CDB, =72°，CD=CE 专练22等腰三角形的性质（三） .CD=BF,∴.BE=2CD 方法二：连DE,只证CD=DE 分类思想求边角 专练24构等腰三角形（一） AE即可 典例导练 作平行线 2.(1)45° 50°或65°或80 知能检测 知能检测 (2)如图，在DH上截取HM= 1.作BG∥CE交AC于点G,证 1.6 HF,连接CM, △BGM≌△ECM. 2.在△BCD与△CBE中， :CH⊥DF,HM=HF,∴.CM= 2.BD=DE十CE,理由如下：易证 (BC=BC, CF,∴.∠F=∠CMF, ∠ACB=∠ABC, ∠DBO=∠DOB,则BD=OD, .DH=CF+HF. :CO平分∠ACG,DO∥BC, BD=CE, ∴.DH=MH+DM=CF+DM, ∴.△BCD≌△CBE(SAS), ∴.∠OCG=∠ECO=∠EOC, ∴.DM=CM,∴.∠FDC=∠MCD, .∠FBC=∠FCB, ..CE=OE, ∴.∠FMC=2∠FDC,.∠F= 设∠FBD=∠ECF=x, .'BD=DO=DE+OE 2∠FDC. 则∠FBC=∠FCB=60°一x, ∴.BD=DE+CE. 专练27构等腰三角形（四） ∠BDF=∠ECF+∠A=x十 专练25构等腰三角形（二）】 二倍角关系 60°，∠DFB=2∠FBC=2(60° 中线倍长 知能检测 x)=120°-2x, 知能检测 1.方法一：AD⊥BC,BD=DF, 分三种情况讨论： 1.延长AD到点G,使得DG=AD, ∴.AB=AF,∠ABC=∠AFB= ①当BD=BF时，此时∠BDF= 连接BG,AD是△ABC的中 2∠C,.∠FAC=∠C,∴.AF= ∠DFB,.x+60°=120°-2x,得 线，∴BD=CD, CF,BD=DF=4,..AB=AF x=20°，即∠FBD=20°； 在△BDG与△CDA中， =CF=CD-DF=12. ②当BD=DF时，此时∠FBD= BD-CD 方法二：可得∠F=∠C,FD=DC ∠DFB,.x=120°-2x,得x= BDG-/CDA, =16,.AB=BF=12. 40°，即∠FBD=40°； DG-DA 2.方法一：连AE,则CE=AB ③当BF=DF时，此时∠FBD= ..△BDG≌△CDA(SAS), AE,.∠B=∠AED=∠C+ ∠FDB,∴x=x十60°，不符题意， .BG=CA,∠G=∠CAD, ∠CAE=2∠C,:∠BAC=120°， 舍去； 又：AE=EF, .∠C=20°. 综上所述，∠FBD=20°或40°. .∠CAD=∠EFA=∠BFG, 方法二：连AF,则AB+BD=DF 专练23等腰三角形的性质（四） ∴.∠G=∠BFG, =CD,∴.AF=AC,∠C=∠F 巧构三线合一 .BF=BG,..BF=AC. √ 典例导练 2.延长AE至点G,使得AE=EG, ∠ABC,∠C=20 证明：连接OC,,AC=BC,∠ACB 连接DG.:点E是CD的中点， 专练28 勾股定理与面积问题 90°，点O为AB的中点，.∠AOC .DE=CE, 典例导练 ∠BOC=90°，∠A=∠BCO=45°，AO 在△DEG和△CEA中， =CO,又.AE=CF,.△AOE≌ DE=CE (1)直角 (2)2(3)210 5 △COF(SAS),∴.OE=OF,∠AOE= ∠DEG=∠CEA, ∠COF,∴.∠EOC+∠COF=90°， 知能检测 EG-AE .△OEF为等腰直角三角形，∠OEF 1.(1)连接AC,易求AC=15,CD ∴.△DEG≌△CEA(SAS), =45° +AC=AD,可知∠ACD=90°， ∴.GD=AC,∠G=∠CAE, 知能检测 .'DF=AC..'.GD=DF, Swm=SAe十Sam=号AB 1.连接BD.:AB=BC,点D是AC ∴.∠G=∠DFG, 的中点，BD⊥AC,∠ABD= ∴.∠CAE=∠DFG, ·BC+2ACCD=×9X12 ∠CBD=∠ABC, DF∥AB,.∠BAE=∠DFG, ∴.∠CAE=∠BAE +2×15x8=14cm. DE⊥AB,.∠ADE+∠BDE =90°，∠ABD+∠BDE=90°， ∴.AE平分∠BAC. 2.过点C作CD⊥AB于D,由勾股 .∠ADE=∠ABD,∴∠ADE= 专练26构等腰三角形（三）】 定理得：CD=AC一AD=BC -BD,.132-AD=152-(14 2∠ABC, 1 截长补短 典例导练 -AD)2,解得：AD=5,∴.CD .∴.∠ABC=2∠ADE, 5 AC-AD=√132-5=12， 55 .S△Awc= 1ABX CD= 1×14 ②当∠BAP为直角时，BP= (2)当AB=DB时，AB=25= 4 cm,CP=(1-4)cm,AC=3 cm, DB,CD=10,AD=10√5，.周长 ×12=84. 在Rt△ACP中，AP2=AC+ 专练29勾股定理与折叠问题 为(50+10√5)m; CP2=32+(t-4)2, (3)当AD=DB时，设DC=x,则 典例导练 在Rt△BAP中，AB2+AP= 24 AD=x+15,.(x+15)2=x2+ BP2,即52+[3+(t-4)2]=, 知能检测 1..AF=AD=10,AO=8,Rt 解得一草 20-要周长为29m 专练32勾股定理与 △AOF中，易求OF=6,则FC= ∴当△ABP为直角三角形时，t 无刻度直尺作图 OC-OF=10-6=4,设EC=a, 在Rt△EFC中，EC+FC= =4或=5 知能检测 2.(1)当AD=AB时，DC=BC= 略. EF,a2+42=(8-a)2,.a= 3,.E(10,3). 15,AD=25,..周长为80m: 2.由翻折的性质，得∠1=∠2， ∠1=∠3，∠2=∠3， 《学情监测》参考答案 ..BF-DF. 学情监测（一） ∴.长方形的长为24cm,宽 AD=8,AF=8-DF,在Rt 1.C2.A3.B4.C5.D 为16cm; △ABF中，AB2+AF=BF, 6.B7.A8.A9.D10.C (2)她能裁出符合要求的长方 .42+(8-DF)2=DF2,解得DF 11.112.±/513.> 形，理由：设新长方形纸片的长 =5. 14.55.8615.-4 为5acm,宽为4acm, 专练30勾股定理与方程思想 由题意得：5a·4a=300,解得：a 典例导练 16.1)8；(2)-8」 =√15或a=-√5（舍去）， 设CD=x,在Rt△ABD中，由勾股 (2)x=6. .新长方形的长为5√15cm,宽 定理得AD=AB2-BD=162-(6 120=±子 +x)2=256-(6+x)2, 18.a-b>0,a>0,b<0, 为4√/15cm, 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD ∴.la-bl-√a-w√-b) .(5/15)2=375,242=576,(4 =AC2-CD2=142-x2=196-x2, =a-b-a-(-b)=0. √/15)2=240,162=256， .256-(6+x)2=196-x2,解得x 19.x=3,y=8,/+3y=3. ..375<576,240256, =2,∴.CD=2,.AD=196-4= 20.(1)由题意，得5a+2=27,3a十b .5√15<24,4√/15<16， 192,.AD=83. -1=16,解得a=5,b=2, ∴她能裁出符合要求的长方形 知能检测 c是√3的整数部分， 23.(1)6(2)n(3)52 1.设AD=x,在Rt△ACD中，AC .c=3. 学情监测（二） =AD2+CD=x2+4, (2)将a=5,b=2,c=3代人得：1.A2.D3.C4.A5.C 在Rt△BCD中，BC=CD+ 3a-b+c=16, 6.D7.B8.A9.C10.B BD=42+22, ∴.3a一b+c的平方根是士4. 11.x-312.±413.2 在Rt△ABC中，AC+BC 21.(1)一个小正方体的体积为6414.x2-115.47 =AB2, ÷64=1(cm),它的棱长为 x2+4+4+22=(x+2)2,解得 16.)10a:(2)-2mgm-1 =1(cm). x=8,.AD=8. 答：组成这个4阶魔方的小正方17.(1)a(x+4);(2)(p+2)(p-2). 2.设CD=BD=x,在Rt△ACD 体的棱长是1cm. 18.(1)二去括号时没有变号 中，AC+x2=13①， (2)4阶魔方的棱长为1×4= (2)原式=a2十a-(a2-4a+4)》 在Rt△ABC中，AC+(2x)2= 4(cm),每个面的面积为4= =a2+a-a2+4a-4=5a-4. (261)2②， 16(cm),每个三角形的面积为19.原式=a2一b-a2十ab=ab 由②-①化简得x2=25,∴.CD= 5.(负值舍去) 号×3×1= (cm,正方形 -62. 专练31勾股定理与分类讨论 当a= ABCD的面积为16-4X号 2,6=4时，原式 1 典例导练 -18. 25或7 10(cm),其边长为√/10cm. 20.(1).(a+b)2=a2+2ab+b 知能检测 答：正方形ABCD的面积是 11…① 1.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 10cm,边长是√/10cm. (a-b)2=a2-2ab+b2=7…② BC=4cm.由题意，知BP=tcm, 22.(1)设长方形纸片的长为3xcm, 由①-②得4ab=4, ①当∠APB为直角时，点P与点 宽为2xcm,由题意得：3x·2x= .ab=1. C重合，BP=BC=4cm,∴t=4; 384,解得：x=8或x=-8(舍去)， (2)由x(x-1)-(x2-y)=-6, 以