精品解析：2025-2026学年北师大版九年级数学上册 期末考试模拟题

2025-2026北师大版九年级数学秋学期期末考试模拟题 一、选择题（共10小题） 1. 27的立方根是( ) A. 3 B. C. D. 2. 目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004米，将0.00000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 下列说法正确的是（　　）． A. “购买1张彩票就中奖”是不可能事件 B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 C. “任意画一个三角形，它内角和等于180°”是必然事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点M 是的中点，，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C D. 9. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足，，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 11. 分解因式：______． 12. 如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为___________． 13. 使式子有意义的x的取值范围是 ___________ ． 14. 如图，的半径为2，圆心在函数的图象上运动，当与 轴相切时，点的坐标为____． 15. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是“倍长三角形”，底边的长为4，则等腰三角形底边中线的长度为___________ ． 16. 如图所示，点在x轴上且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线分别与y轴交于点，连接，那么图中阴影部分的面积之和为_____． 三、解答题（共12小题） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A； ②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接，，则，，是的切线． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 21. 圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数． 参考数据 ，，，，， 22. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》采用“1+4”布局模式，辽宁沈阳、湖南长沙、陕西西安、新疆喀什四地与北京主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．在观看了春晚后，小宇和哥哥小姜两人分别想去其中一个地方旅游，于是小姜设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定去哪旅游．游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放4个大小、质地完全相同的乒乓球，在这4个乒乓球上分别写上A（西安），B（长沙），C（喀什），D（沈阳），搅匀后，小宇从箱子里随机摸出一个乒乓球，放回，再次搅匀后，小姜随机摸出第二个乒乓球，如果字母相同，则去这个字母表示的地方旅游，如果字母不同，则两人继续重新摸． （1）求小宇第一次摸出的乒乓球代表喀什的概率； （2）请用列表或画树状图的方法求去西安旅游的概率． 23. 某校本学期开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_________名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角的大小是_________，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀人数是多少？ 24. 农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽．店内有甲，乙两种礼品，经调查发现，发现用8800元购进的甲礼品的数量是用4000元购进的乙礼品的2倍，且每个甲礼品的进价比乙礼品贵4元． （1）甲、乙两个礼品进价是多少元？ （2）为满足消费者需求，该蛋糕店准备再次购进甲，乙两种礼品共200个，甲礼品的售价为70元，乙礼品的售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个甲礼品？ 25. 如图，一次函数（是常数）与反比例函数在第二象限的图像交于两点，与轴、轴分别交于点点，且． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求的面积． 26. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度． 27. 【模型建立】（1）如图，四边形是正方形，当点在边上，在边上，时，用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上，在的延长线上时，其他条件与（）相同．用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 28. 如图1，抛物线与x轴交于点，顶点为C，连接，D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交于点E，交抛物线于点F． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点D的坐标； （3）如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026北师大版九年级数学秋学期期末考试模拟题 一、选择题（共10小题） 1. 27的立方根是( ) A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根．由，可得答案． 【详解】解：根据立方根定义，因为，所以27的立方根是3． 故选A 【点睛】本题考查的是求解一个数的立方根． 解题关键点：熟记立方根的定义，求出立方等于27的数． 2. 目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004米，将0.00000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】0.00000004＝4×10−8， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、单项式除以单项式、合并同类项，完全平方公式，据此相关运算法则进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列说法正确的是（　　）． A. “购买1张彩票就中奖”是不可能事件 B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 C. “任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、“购买1张彩票就中奖”是不可能事件，错误，不符合题意； B、“概率为0.0001的事件”是不可能事件，错误，不符合题意； C、“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件，正确，符合题意； D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次，错误，不符合题意. 故选：C. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限， 故选：C． 7. 如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点M 是的中点，，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，如图所示，当点B在最高位置时，过点B作垂直于地面于C，取中点H，连接，根据三角形中位线定理和平行线的唯一性证明重合，即点H与点N重合，则可得，即小朋友离地面的最大距离是． 【详解】解：如图所示，当点B在最高位置时，过点B作垂直于地面于C，取中点H，连接， ∵点M 是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵支柱垂直于地面，垂直于地面， ∴， ∴由平行线的唯一性可知重合，即点H与点N重合， ∴， ∴小朋友离地面的最大距离是， 故选：B． 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 9. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足，，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，由圆内接四边形对角互补得到求出，再证明是等边三角形，得到，，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接 ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， 的长为， 故选：B． 10. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意可得BQ=x． ①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x， 则△BPQ的面积=BP•BQ， 可得y=•3x•x=； 故A选项错误； ②1＜x≤2时，P点在CD边上， 则△BPQ的面积=BQ•BC， 可得y=•x•3=； 故B选项错误； ③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x， 则△BPQ的面积=AP•BQ， 可得y=•（9﹣3x）•x=； 故D选项错误． 故选：C． 二、填空题（共6小题） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式与公式法综合运用分银因式，熟练掌握用提公因式与公式法分解因式是解题的关键，注意分解因式要彻底． 12. 如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为___________． 【答案】6cm##6厘米 【解析】 【详解】解：因为圆的内接正六边形的边长等于圆的半径， 所以正六边形的外接圆的半径=边长=6cm． 故答案为：6cm 13. 使式子有意义的x的取值范围是 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 要使分式有意义，分母不能为零，且分母中的二次根式被开方数必须非负．结合两者，被开方数必须大于零． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 即且， ∴． 故答案为：． 14. 如图，的半径为2，圆心在函数的图象上运动，当与 轴相切时，点的坐标为____． 【答案】(3, 2) 【解析】 【分析】根据直线与圆的关系及反比例函数上的点的横纵坐标的积为k,即可求解. 【详解】由题意得，点P的纵坐标为2，代入函数，得到点P的横坐标为3，所以的坐标为(3, 2). 【点睛】本题考查了直线与圆的关系，熟练掌握直线与圆的关系是本题解题关键. 15. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是“倍长三角形”，底边的长为4，则等腰三角形底边中线的长度为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，以及勾股定理，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键． 根据“倍长三角形”的定义，分两种情况讨论：①底边是腰的2倍；②腰是底边的2倍．利用三角形三边关系检验，只有情况②成立，此时腰长为8．再根据等腰三角形的性质，底边中线也是高，利用勾股定理即可求解． 【详解】∵等腰是“倍长三角形”，底边， ∴有两种情况： ①若，则，但此时，不能构成三角形，不符合题意； ②若，则，此时三边满足三角形三边关系，符合题意． ∴． 设的中点为D，则． ∵等腰三角形底边中线也是高， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 16. 如图所示，点在x轴上且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线分别与y轴交于点，连接，那么图中阴影部分的面积之和为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的比例系数k，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到2个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和． 【详解】解：如图， 根据中k的几何意义可知，， ∴， 设图中阴影部分的面积从左向右依次为， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 同理可得，， ∴图中阴影部分的面积之和． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质，正确掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 三、解答题（共12小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质，特殊角三角函数值，零指数幂运算法则，绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可得到结果． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的运算，二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．先按照解一元一次不等式的一般步骤求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的法则进行判断即可． 【详解】解：， 由①得：， ， ， ， 由②得：， ， ， ， 不等式组的解集为：． 19 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A； ②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接，，则，，是的切线． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了尺规作圆的切线，根据题干中的步骤作图即可． 【详解】如图所示， 21. 圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数． 参考数据 ，，，，， 【答案】9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．设，根据三角函数求出的值，再得出的长． 【详解】解：设， ∵， ∴（）， 在中，， ∴（）， 在中，'， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴（）， 答：损坏的“表”原来的高度（即的长）约为米． 22. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》采用“1+4”布局模式，辽宁沈阳、湖南长沙、陕西西安、新疆喀什四地与北京主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来一台情意浓浓、热气腾腾龙年春晚．在观看了春晚后，小宇和哥哥小姜两人分别想去其中一个地方旅游，于是小姜设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定去哪旅游．游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放4个大小、质地完全相同的乒乓球，在这4个乒乓球上分别写上A（西安），B（长沙），C（喀什），D（沈阳），搅匀后，小宇从箱子里随机摸出一个乒乓球，放回，再次搅匀后，小姜随机摸出第二个乒乓球，如果字母相同，则去这个字母表示的地方旅游，如果字母不同，则两人继续重新摸． （1）求小宇第一次摸出的乒乓球代表喀什的概率； （2）请用列表或画树状图的方法求去西安旅游的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小宇第一次摸出的乒乓球代表喀什的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及去西安旅游的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能结果，其中小宇第一次摸出的乒乓球代表喀什的结果有1种， ∴小宇第一次摸出的乒乓球代表喀什的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 如果字母相同，则去这个字母表示的地方旅游，如果字母不同，则两人继续重新摸， 则只有、、、四种情况， 其中去西安旅游的结果有：，共1种， ∴去西安旅游的概率为． 23. 某校本学期开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_________名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角的大小是_________，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数是多少？ 【答案】（1）40；（2）54°，画图见解析；（3）75名 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据扇形统计图、条形统计图的性质分析，即可得到答案； （3）根据用样本评估总体的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，本次抽样测试的学生人数是名 故答案为：40； （2）表示A级的扇形圆心角的大小是： C级学生数为：名 条形统计图补充如下图： 故答案为：54°，画图见解析； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数是：名 ∴估计该校八年级优秀的人数大约是75名． 【点睛】本题考查了调查统计的知识；解题的关键是熟练掌握条形统计图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解． 24. 农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽．店内有甲，乙两种礼品，经调查发现，发现用8800元购进的甲礼品的数量是用4000元购进的乙礼品的2倍，且每个甲礼品的进价比乙礼品贵4元． （1）甲、乙两个礼品的进价是多少元？ （2）为满足消费者需求，该蛋糕店准备再次购进甲，乙两种礼品共200个，甲礼品的售价为70元，乙礼品的售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个甲礼品？ 【答案】（1）每个甲礼品的进价为44元，则每个乙礼品的进价为40元 （2）最少购进20个甲礼品 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式求解是解题的关键． （1）设每个甲礼品的进价为x元，则每个乙礼品的进价为元，根据用8800元购进的甲礼品的数量是用4000元购进的乙礼品的2倍建立方程求解即可； （2）设购进甲礼品m个，则购进乙礼品个，根据总利润不低于4120建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个甲礼品的进价为x元，则每个乙礼品的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个甲礼品的进价为44元，则每个乙礼品的进价为40元； 【小问2详解】 解：设购进甲礼品m个，则购进乙礼品个， 由题意得，， 解得， ∴最少购进20个甲礼品， 答；最少购进20个甲礼品． 25. 如图，一次函数（是常数）与反比例函数在第二象限的图像交于两点，与轴、轴分别交于点点，且． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）3． 【解析】 【分析】（1）先求得，，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，再将代入一次函数解析式中求得，再将代入反比例函数中求出k的值，即可得反比例函数的解析式． （2）根据求解即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及用待定系数法求函数解析式，解题时注意：函数图像过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式． 小问1详解】 解：一次函数图像与轴、轴分别交于点，点D，， ，， 把坐标代入得：， 解得：， 一次函数解析式为， 当时，， ， 是一次函数的图像与反比例函数的图像的交点， ， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， ． 26. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度． 【答案】（1）证明见解析（2）6 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线； （2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x） +（6-x） =25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长． 【详解】(1)证明：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC=∠CAO， ∴∠DAC=∠OCA， ∴PBOC， ∵CD⊥PA， ∴CD⊥OC，CO为O半径， ∴CD为O的切线； (2)过O作OF⊥AB，垂足为F， ∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC=FD，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6−x， ∵O的直径为10， ∴DF=OC=5， ∴AF=5−x， 在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA. 即(5−x) +(6−x) =25，化简得x−11x+18=0， 解得 . ∵CD=6−x大于0，故x=9舍去， ∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB=2AF=6． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握． 27. 【模型建立】（1）如图，四边形是正方形，当点在边上，在边上，时，用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上，在的延长线上时，其他条件与（）相同．用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）类似（1），通过旋转构造全等三角形，结合全等性质得线段相等； （3）将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，根据全等三角形的性质、勾股定理计算． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （2）结论：． 理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （3）将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28. 如图1，抛物线与x轴交于点，顶点为C，连接，D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交于点E，交抛物线于点F． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点D的坐标； （3）如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式，设，则，然后求出，即可得到点E和F的坐标，利用点F在抛物线上得到方程解题即可； （3）利用勾股定理的逆定理判断是等腰直角三角形，然后过点B作，使，连接，，则有，则可得到当，G，C三点共线时，取得最小值，然后解题即可． 【小问1详解】 解： 抛物线过点， 解得． ． 【小问2详解】 解：设，则， 由，得， 设直线的表达式为， 将点代入， 得， 解得． 直线的表达式为． 点在直线上， ， ． 将代入， 解得（不合适的值已舍去）， ． 【小问3详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，． 过点作，使，连接， ． ， ． 要使的值最小，则的值最小， 当三点共线时，取得最小值． 又， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为6． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质．掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $