专题03 二次函数全章17大题型（期末复习专项训练）九年级数学上学期沪教版五四制

专题03 二次函数 题型1 列二次函数关系式 题型10 二次函数图象的平移（重点） 题型2 二次函数的识别 题型11 投球问题 题型3 根据二次函数的定义求参数（重点） 题型12 增长率问题 题型4 y=ax2的图象和性质 题型13 面积问题 题型5 y=ax2+k的图象和性质 题型14 特殊四边形（难点） 题型6 y=ax²+bx+c的图象与性质（常考点） 题型15 相似三角形问题 题型7 二次函数图象与各项系数符号 题型16 新定义、新考法（难点） 题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型17 角的和差倍问题 题型9 待定系数法求二次函数解析式（常考点） 题型1 列二次函数关系式（共3题） 例1（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键. 根据抛物线的最高点在y轴上，可知，，抛物线与x轴有两个交点，可知，据此写出答案即可. 【详解】解：∵抛物线的最高点在y轴上， ∴，，， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴这条抛物线的表达式可以是：. 故答案是：（答案不唯一） 【变式1-1】（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 【变式1-2】将二次函数化为的形式： ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】由于二次项系数为1，故运用配方法，即等式右边直接同时添加和减去一次项系数一半的平方，将原二次函数化为顶点式形式，通过位置的一一对应确定参数数值. 【详解】， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数解析式中一般式和顶点式之间的关系. 题型2 二次函数的识别（共4题） 例2（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 【变式2-1】（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别、正多边形的外角问题、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，判断是否为反比例函数，先结合正多边形的一个外角的大小（度）与它的边数的关系为，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴与之间是反比例函数关系； 故选B． 【变式2-2】（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 【变式2-3】（2025·上海金山·一模）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A．（其中是常数） B．（其中、、是常数） C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、当时，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不含二次项，不是二次函数，不符合题意． 故选C． 题型3 根据二次函数的定义求参数（共3题） 例3（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据题意形如的形式叫做y是x的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 【变式3-1】（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象，根据题意，抛物线的开口向下，可得，求出，即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3-2】（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 题型4 y=ax2的图象和性质（共3题） 例4（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 【变式4-1】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【知识点】y=ax²的图象和性质、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 【变式4-2】下列关于抛物线和抛物线的说法中，不正确的是(   ) A．对称轴都是y轴 B．在y轴左侧的部分都是上升的 C．开口方向相反 D．顶点都是原点 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：抛物线和抛物线， 它们的对称轴都是轴，故选项A不符合题意； 抛物线在轴左侧的部分是下降的，抛物线在轴左侧的部分都是上升的，故选项B符合题意； 它们的开口方向相反，故选项C不符合题意； 顶点都是原点，故选项D不符合题意； 故选：B． 题型5 y=ax2+k的图象和性质（共5题） 例5（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 【变式5-1】（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【答案】或 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据题意求出点P、的坐标，然后判断点R在x轴正半轴上或y轴负半轴上，分为两种情况求出点的坐标解题． 【详解】解：∵轴，， ∴，. ∴直线的表达式为. ∵， ∴R在x轴正半轴上或y轴负半轴上， ①R在x轴正半轴上， 设，Q到的距离为，可以表示出的坐标，. ∵，R在x轴上， ∴在x轴上， 可列方程，解得. 即， ②R在y轴负半轴上， ∵是抛物线N的顶点， ∴和R关于直线对称，在R的右侧， 又由R到直线的距离为1，可得的横坐标为，Q的横坐标为4， 即， 故答案为：或． 【变式5-2】（2025·上海徐汇·一模）一条抛物线如果只经过两个象限，请写出一个符合题意的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，根据题意写出一个只经过两个象限的抛物线表达式，即可求解． 【详解】解：只经过第一、二象限， 所以一条抛物线如果只经过两个象限，请写出一个符合题意的表达式：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-3】（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 找出二次函数的开口方向和对称轴，即可根据位置信息求解． 【详解】解：∵ ∴开口向上，有最小值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越小， ∵ ∴ 故答案为：． 【变式5-4】（2025·上海青浦·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口向上，对称轴为轴， ∴在对称轴右侧随的增大而增大，也就是右侧部分是上升的， 故答案为：上升． 题型6 y=ax²+bx+c的图象与性质（共6题） 例6（2025·上海崇明·一模）已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为和时的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式6-1】（2025·上海崇明·一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最高点得到抛物线开口向下，则，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：D 【变式6-2】（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 【变式6-3】（2025·上海徐汇·一模）已知二次函数的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在y轴右侧．当抛物线与x轴两交点的距离为9时，若这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线与轴两交点的距离为9，结合二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧，且抛物线与轴两交点的距离为9， ∴在对称轴的左侧随着的增大而减小，在对称轴的右侧随着的增大而增大，抛物线与轴每个交点到对称轴的距离都为， ∴抛物线与轴的左侧的交点对应的数大于， 若，不符合题意，故 若，则：抛物线与轴的一个交点范围为， ∴抛物线与轴的另一个交点的范围为：，则：，不符合题意；故 当时，则抛物线与轴的一个交点范围为， ∴存在抛物线与轴的另一个交点的范围为：，则：，不符合题意； 故只能是； 故选：D． 【变式6-4】（2025·上海宝山·一模）如果二次函数的图象开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数，当，函数图象开口向上；当时，函数图象开口向下，进行解答，即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-5】（2025·上海静安·一模）抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴， 解得，， 故答案为： ． 题型7 二次函数图象与各项系数符号（共6题） 例7（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 【变式7-1】（2025·上海普陀·一模）已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第 象限． 【答案】四 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数顶点坐标的表达式是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标为，代数分析即可． 【详解】解：∵的开口向上 ∴， ∵函数的顶点坐标为：， ∴， ∴顶点在第四象限； 故答案为：四． 【变式7-2】（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．根据抛物线在轴右侧的部分是下降的，确定其开口方向和对称轴所在位置，然后根据经过的点的坐标确定解析式即可． 【详解】解：抛物线在轴右侧的部分是下降的， 抛物线开口向下，且对称轴为轴或在轴的左侧， 设抛物线的解析式可以为， 抛物线经过， 抛物线的解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-3】（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得 函数开口向下，则，故A错误； 顶点在y轴右侧，则，故B正确； 图象与y轴交点在y轴正半轴，则，故C错误； 当时，，则，故D错误； 故选：B． 【变式7-4】（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由抛物线有最高点可知抛物线开口向下，于是可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线有最高点， 抛物线开口向下， ， 解得：， 即：的取值范围是， 故答案为：． 【变式7-5】（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A. ∵抛物线开口向下， ∴， ∴A成立，不符合题意； B. ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C. ∵抛物线交y轴正半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D. ∵抛物线过， ∴， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共4题） 例8（2025·上海嘉定·一模）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由表格可知点关于对称轴对称，然后问题可求解． 【详解】解：由表格可知点关于对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为直线； 故答案为． 【变式8-1】（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式8-2】（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为 ． 【答案】/0.6 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】根据得抛物线的对称轴为直线，，抛物线变形为，把代入得；把代入，得到，解答即可． 本题考查了抛物线的对称轴的意义，图象于点的关系，对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是抛物线图象上的点， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴抛物线变形为， 把代入得； 把代入，得， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)证明见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、判断三边能否构成直角三角形、已知抛物线上对称的两点求对称轴、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查二次函数的性质、两点距离公式、勾股定理逆定理等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由表格找出值相等的两个点，再根据对称关系求出对称轴和顶点坐标，进而在观察开口方向； （2）利用两点距离公式求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为， 根据表格可知，顶点坐标为， ∵顶点纵坐标比两侧数值小， ∴开口向上， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）证明：∵抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即为直角三角形． 题型9 待定系数法求二次函数解析式（共3题） 例9（2025·上海普陀·一模）已知二次函数的图像经过原点，那么 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元一次方程．因为二次函数的图像经过原点，把代入二次函数的解析式，可得关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：二次函数的图像经过原点， ， 解得：， 故答案为： ． 【变式9-1】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论． 本题考查了轴对称，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 【详解】解：设抛物线上一个点坐标为，其关于y轴的对称点为， 则，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【变式9-2】（2025·上海松江·一模）已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 【答案】向上 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向的确定方法是解题的关键． 根据题意，把点代入计算，得到解析式，根据二次项系数的正负确定图象开口即可． 【详解】解：抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴该抛物线的开口方向向上， 故答案为：向上 ． 题型10 二次函数图象的平移（共6题） 例10（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【答案】(1)，直线 (2)1或3 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； （2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或1． 【变式10-1】（2025·上海虹口·一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线有最高点，得到解析式的二次项系数小于，从而得到结果． 【详解】解：抛物线有最高点 抛物线图像的开口向下 故答案为：． 【变式10-2】（2025·上海崇明·一模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据抛物线的平移规律：“左加右减”的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 【变式10-3】（2025·上海嘉定·一模）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位，得到：， ∴新抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 【变式10-4】（2025·上海松江·一模）将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：； 故答案为：． 【变式10-5】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【答案】2 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 题型11 投球问题（共3小题） 例11（2025·上海浦东新·期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【答案】10 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， ∴铅球运行水平距离为10米时落到地面． 故答案为：10． 【变式11-1】小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 【变式11-2】如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【答案】(1)球的高度是米 (2)得分100分 (3)的绝对值变小，可以不变（答案不唯一），作图见解析，验证见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接令求解即可； （2）令，解一元二次方程求出方程的根即可判断得分； （3）的绝对值变小，可以不变，假设落地距离为米，保持，再计算说理，即可作图． 【详解】（1）解：当时，， ∴小普把球脱手时，球的高度是米； （2）解：当时，， 整理得， 解得，（舍）， ∵铅球扔出10米的得分为100分， ∴小普得分100分； （3）解：变小，可以不变（答案不唯一）， 假设落地距离为米，保持， 将代入， 则， 解得，此时 作图如图： 题型12 增长率问题（共3小题） 例12据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得2020年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为y万吨，由此即可得． 【详解】解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为， 2021年的蔬菜产量为， ∴， 故答案为： ． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握增长率问题是解题关键． 【变式12-1】某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写定义域） 【答案】y＝10(1+x)2 【分析】利用该厂九月份的产值=该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论． 【详解】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x， ∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元， ∴y＝10（1+x）2． 故答案为：y＝10（1+x）2． 【点睛】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键． 【变式12-2】某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解析式是 ． 【答案】或 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出五月份的营业额，再根据题意表示出六月份的营业额，即可列出方程求解． 【详解】解：设增长率为x，则 五月份的营业额为：， 六月份的营业额为：； 故答案为：或. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“”． 题型13 面积问题（共3小题） 例13（2024·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可． 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得， ∴函数关系式为：， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴解析式为， 过点D作轴交于点E， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 【变式13-1】如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【答案】(1)； (2)①；②的面积不变，的面积为2． 【分析】（1）先求得，，利用抛物线的对称性求得，设抛物线的表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①；②联立求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，作轴交直线于点，求得，利用三角形的面积公式，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则，解得； ∴，， ∵对称轴为直线，其与轴的另一交点为， ∴， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①根据题意设新抛物线的顶点坐标为，则新抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去）或， 当时，新抛物线的解析式为， 令，则， 解得或； ∴与轴的另一交点为； ∴； ②的面积不变， ∵新抛物线的解析式为， 联立得，整理得， 解得或； ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于点， 则点， ∴ ， ∴的面积不变，的面积为2． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，二次函数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【变式13-2】已知二次函数图像的最高点是A(1，4)，且经过点B(0，3)，与轴交于C、D两点(点C在点D的左侧).求△BCD的面积. 【答案】S△BCD=6. 【分析】首先利用B点求出二次函数解析式，令，即可得出CD=4，进而得出△BCD的面积. 【详解】 设所求的二次函数解析式为， 把B(0，3)代入得 解得：. 令，那么， 解得：. ∴CD=4. 在△BCD中，·CD·OB=. 【点睛】此题主要考查二次函数与三角形的综合应用，熟练掌握，即可解题. 题型14 特殊四边形（共3小题） 例14如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)如果以点P，N，B，O为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，对称轴：，顶点坐标 (2)2 (3)或 【分析】（1）把、的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式化成顶点式即可求得对称轴和顶点坐标； （2）分析可知，，若以点P，N，B，O为顶点的四边形为平行四边形，则有，用含的式子表达点和点的坐标，求出的长，建立等式求解即可； （3）根据题意画出图形，可得到，且，若以为顶点的三角形与相似，只需或，画出图形求解即可． 【详解】（1）把，分别代入， 得：， 解方程组得：， ∴抛物线的表达式为：， ∴对称轴：直线，顶点坐标； （2）设直线解析式为：， 把代入得：，解得， ∴直线解析式为：， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵点为顶点的四边形为平行四边形，并且， ∴， ∴， 解得； （3）∵在和中，，， ∴和相似有两种情况． ①当时， 此时为点关于对称轴的对称点， ∴， ②， 过点作轴，垂足为， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴解得（舍去）或， ∴． 综上可知，当以为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式14-1】已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A(4，0)，B(﹣1，3)两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，连接BC、BD． (1)求该抛物线的表达式以及对称轴； (2)点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标； (3)点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴为直线x＝2 (2)点E(1，1) (3)平行四边形的面积为或 【分析】（1）把A（4，0），B（﹣1，3）两点，代入即可求解； （2）根据二次函数的对称性可得点D（5，3），从而得到BD＝6，再求出直线BC解析式为y＝﹣x+2，然后根据BD∥OC，∠CED＝∠OBD，可得△OBC∽△EDB，从而得到BE＝2，再设点E（x，﹣x+2），即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直 ； （2）解：如图，连接BO， ∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，B（﹣1，3）， ∴点D（5，3）， ∴BD＝6， ∵点C（2，0），点B（﹣1，3）， ∴BC＝3， 设直线BC解析式为 ， 把点C（2，0），点B（﹣1，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+2， ∵BD∥OC， ∴∠DBE＝∠BCO， ∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE， ∴∠OBC＝∠BDE， ∴△OBC∽△EDB， ∴， ∴＝， ∴BE＝2， 设点E（x，﹣x+2）， ∴2＝， ∴x＝1或x＝﹣2（舍去）， ∴点E（1，1）； （3）解：当OA为边时， ∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴OA＝MN＝4，OA∥MN， ∴点N横坐标为6或﹣2， ∴点N的纵坐标为， ∴平行四边形的面积＝4×＝， 当OA为对角线， ∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴MN与OA互相平分， ∴， ∴Nx＝2， ∴点N（2，﹣）， ∴平行四边形的面积＝4×＝， 综上所述：平行四边形的面积为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与相似三角形，四边形的综合题，利用数形结合思想和分类讨论解答是解题的关键． 【变式14-2】已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6. （1）求这条抛物线的对称轴及表达式； （2）在y轴上取点E（0,2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF、EF，如果，求点F的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标. 【答案】（1），对称轴；（2）或；（3） 【分析】（1）先将抛物线表达式化为顶点式，得出对称轴x=1,再根据抛物线与x轴两交点的距离为6，可以得出A,B两点的坐标，进而可求出解析式. （2）利用S四边形OEFB=S△OEF+S△OBF列方程求解. （3）找出两等角所在的三角形，构造一组相似三角形求解. 【详解】解：（1）将化为一般式得， ， ∴这条抛物线的对称轴为x=1. 又抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6， ∴根据对称性可得A,B两点的坐标分别为A(-2，0),B(4，0). 将A点坐标代入解析式，可解得m=, ∴所求抛物线的解析式为. （2）设点F的坐标为（t, t2+t+4），如图1可知 S四边形OEFB=S△OEF+S△OBF =×2×t+×4×（t2+t+4）=10， 解得，t=1或t=2, ∴点F的坐标为或. （3）假设直线PF与y轴交于点H,抛物线与y轴交于点C,联结CF， 则根据题意得∠FHC=∠EBF, 由（2）得点F的坐标为(2,4)，又点C坐标为(0,4), ∴CF∥x轴， 过点F作FG⊥BE于点G， 有△CFH∽△GFB. 在△BEF中，根据已知点坐标可以求得BE=BF=2，EF=2， 根据面积法可求得FG=,∴BG= 设直线FP的解释式为y=kx+b,则OH=b, ∴CH=4-b, ∴ ∴解得b=. 将点F的坐标（2,4）代入FP的解析式可得，k=, 即FP的解析式为y=x+, 令y=0,可得P点坐标为（-1,0）. 【点睛】此题属于二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图像与性质是关键与基础，另外涉及面积问题注意运用割补法；对于角度相等的存在性问题一般通过转化为相似来解决. 题型15 相似三角形问题（共3小题） 例15（2024·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．      (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②存在， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解． （1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定义，求解即可； ②分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线是黄金抛物线， ， 所求抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）解：①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ； ②存在， 过点作，垂足为，   抛物线与轴交于点， 点的坐标为，   点的坐标为， ，   ， 点的坐标为，   ， ， ， ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 ①， 又，， ∴与全等，相似比为1，不合题意，舍去； ②， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为． 【变式15-1】已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出抛物线对称轴为直线，则，进而得到；求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，进而求出；利用勾股定理求出，，，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则；②时，则此时点F与点A重合，则与重合，可得；当时，则，如图所示，设直线交x轴于G，则，推出，得到，如图所示，取点，则，，，证明是等腰直角三角形，得到，则点F在直线上，同理可得直线的解析式为，在中，当时，，则，即可得到；综上所述，或． 【详解】（1）解：把代入中， 得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D是点C关于抛物线对称轴对称的点， ∴， ∵将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，且， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ②当时，则此时点F与点A重合，则与重合， ∴； 当时，则， 如图所示，设直线交x轴于G，则， ∴， ∴， ∴， 如图所示，取点，则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点F在直线上， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明直角三角形是解题的关键． 【变式15-2】在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 【答案】(1) (2)①    ②， 【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可； （2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：①过点E作于H， ∵射线平分，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴；    ②∵， ∴， 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型16 新定义、新考法（共4题） 例16（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、是常数，且），以原点为中心，旋转得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．当线段是线段、的比例中项时，的值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．先求抛物线 与 轴交点，平移后得 、 坐标；再求 的中心对称抛物线 与 轴交点，平移后得 、 坐标；然后表示 、、 的长度，最后根据 列方程求解 ． 【详解】解：抛物线 ， 当 时，， 解得 ，， 所以与 轴交点为 和 ． 将 向左平移 个单位，与 轴交点从左到右依次为 、， 所以 ，． 抛物线 的顶点为 ，关于原点对称点为 ， 所以 ． 当 时，， 解得 ，， 所以与 轴交点为 和 ． 将 向右平移 个单位，与 轴交点从左到右依次为 、， 所以 ，． 则 ， ， ． 由 ，得 ． 当 时，即 ，方程为 ， 整理得 ，即 ， 解得 ，均满足 ． 当 时，方程为 ， 整理得 ，即 ， 判别式 ，无实数解． 故 ， 故答案为：． 【变式16-1】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先求出抛物线与轴交点，平移后得到、坐标；再根据中心对称求出解析式，进而得到与轴交点，平移后得到、坐标；然后表示出、、的长度，最后根据列方程求解 ． 【详解】当时，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，． ， 抛物线的顶点坐标为， 点关于原点的对称点为， 抛物线的“中心对称抛物线”的解析式为， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，， ，，． ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移、中心对称变换，以及抛物线与轴交点问题，熟练掌握抛物线的平移规律、中心对称性质及利用交点求线段长度的方法是解题的关键． 【变式16-2】（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)①该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；② 【知识点】二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，解直角三角形，求一次函数解析式等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）将变形为顶点式，可得顶点P的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点D的坐标． （2）①过点作轴，垂足为点H．设，得新抛物线解析式，进而可得．再根据推出，列式求出m的值，进而即可求解；②设，根据平移方式得出，再将代入求出c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴点D的坐标为； （2）解：①过点作轴，垂足为点H． 顶点落在线段的延长线上，直线的解析式为， ∴设． ∴新抛物线的解析式为， ∴． ∵x轴轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位． ②被y轴平分，， 设， 原抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位得到新抛物线， ∴， ∵点A在原抛物线上， ∴， 解得，(舍)． ∴． 【变式16-3】（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①  ② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键． （1）函数关系式化为，然后计算解题； （2）先求出点的横坐标为：，点的横坐标为：，①过点B作轴于点E，即可得到，然后代入计算即可； ②由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为，过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N，易证，得到，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 令，解得，， 当 时，，当时，， 即点、的坐标分别为； （2）解：由抛物线的表达式可得点的横坐标为：，点的横坐标为：， ①如果，如图，过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； ②当 时，如图， 由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为， 过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 化简得， 解得或， ∴． 题型17 角的和差倍问题（共3题） 例17 （2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)点坐标为 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （3）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （3）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 【变式17-1】（2025·上海虹口·一模）如图．在平面直角坐标系中．已知抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧）．与轴交于点．连接，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合）．点关于轴的对称点恰好在直线上． 求点的坐标； 点是抛物线上一点且在对称轴左侧．连接．如果，求点的坐标． 【答案】(1)，点； (2)；点． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和二次函数的性质，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （）设点，则点P关于轴的对称点，将点的坐标代入即可求解； 在中，，，故设，，，则，求出，所以，从而求出则点即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，点， ∴， ∵， ∴， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴点； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为 ∴把点的坐标代入得，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点关于x轴的对称点， 将点(的坐标代入得， 解得：（舍去），， ∴点 设交抛物线对称轴于点，过点作于点， 由点的坐标得，同上理可得直线的表达式为：，即， 由点的坐标得：， ∵，即， ∴， 在中，，， 故设，则，，， ∴， ∴， ∴点， 由点的坐标得，直线的表达式为， 联立上式和抛物线的表达式得， 解得：（舍去）或， ∴点． 【变式17-2】（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先由对称轴求出的值，再把点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为，当的图象的对称轴右边图象过点时，有，解得：；当的图象的对称轴左边图象过点时，有，解得：，从而可知； ②如图1所示，作，设，新抛物线可设为，故，证明，再利用三线合一性质说明，当时，即时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据，解出的值即可得解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为． （2）解：抛物线表达式为， 故，． ①当点在轴上时，新抛物线的解析式可设为， 当的图象的对称轴右边图象过点时，有， 解得：，（舍去）； 当的图象的对称轴左边图象过点时，有， 解得：，（舍去）． 故的取值范围为； ②如图1所示，作， 设，且点为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线， 则新抛物线可设为，又点横坐标为2， 则，故， ， ， ，从而知为中垂线， ，由三线合一性质可得：， 当时，即时，满足题意． 故， ， 即，故， 故． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． 试卷第1页，共3页 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数 题型1 列二次函数关系式 题型10 二次函数图象的平移（重点） 题型2 二次函数的识别 题型11 投球问题 题型3 根据二次函数的定义求参数（重点） 题型12 增长率问题 题型4 y=ax2的图象和性质 题型13 面积问题 题型5 y=ax2+k的图象和性质 题型14 特殊四边形（难点） 题型6 y=ax²+bx+c的图象与性质（常考点） 题型15 相似三角形问题 题型7 二次函数图象与各项系数符号 题型16 新定义、新考法（难点） 题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型17 角的和差倍问题 题型9 待定系数法求二次函数解析式（常考点） 题型1 列二次函数关系式（共3题） 例1（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ． 【变式1-1】（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【变式1-2】将二次函数化为的形式： ． 题型2 二次函数的识别（共4题） 例2（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【变式2-2】（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·上海金山·一模）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A．（其中是常数） B．（其中、、是常数） C． D． 题型3 根据二次函数的定义求参数（共3题） 例3（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【变式3-2】（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 题型4 y=ax2的图象和性质（共3题） 例4（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【变式4-2】下列关于抛物线和抛物线的说法中，不正确的是(   ) A．对称轴都是y轴 B．在y轴左侧的部分都是上升的 C．开口方向相反 D．顶点都是原点 题型5 y=ax2+k的图象和性质（共5题） 例5（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【变式5-2】（2025·上海徐汇·一模）一条抛物线如果只经过两个象限，请写出一个符合题意的表达式： ． 【变式5-3】（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”） 【变式5-4】（2025·上海青浦·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 题型6 y=ax²+bx+c的图象与性质（共6题） 例6（2025·上海崇明·一模）已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 【变式6-1】（2025·上海崇明·一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·上海徐汇·一模）已知二次函数的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在y轴右侧．当抛物线与x轴两交点的距离为9时，若这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2025·上海宝山·一模）如果二次函数的图象开口向下，那么的取值范围是 ． 【变式6-5】（2025·上海静安·一模）抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 题型7 二次函数图象与各项系数符号（共6题） 例7（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式7-1】（2025·上海普陀·一模）已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第 象限． 【变式7-2】（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 【变式7-3】（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【变式7-5】（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共4题） 例8（2025·上海嘉定·一模）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【变式8-1】（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【变式8-2】（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为 ． 【变式8-3】（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 题型9 待定系数法求二次函数解析式（共3题） 例9（2025·上海普陀·一模）已知二次函数的图像经过原点，那么 ． 【变式9-1】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 【变式9-2】（2025·上海松江·一模）已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 题型10 二次函数图象的平移（共6题） 例10（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【变式10-1】（2025·上海虹口·一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【变式10-2】（2025·上海崇明·一模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 【变式10-3】（2025·上海嘉定·一模）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ． 【变式10-4】（2025·上海松江·一模）将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是 ． 【变式10-5】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 题型11 投球问题（共3小题） 例11（2025·上海浦东新·期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【变式11-1】小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 【变式11-2】如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 题型12 增长率问题（共3小题） 例12据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为 ． 【变式12-1】某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写定义域） 【变式12-2】某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解析式是 ． 题型13 面积问题（共3小题） 例13（2024·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【变式13-1】如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【变式13-2】已知二次函数图像的最高点是A(1，4)，且经过点B(0，3)，与轴交于C、D两点(点C在点D的左侧).求△BCD的面积. 题型14 特殊四边形（共3小题） 例14如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)如果以点P，N，B，O为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【变式14-1】已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A(4，0)，B(﹣1，3)两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，连接BC、BD． (1)求该抛物线的表达式以及对称轴； (2)点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标； (3)点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积． 【变式14-2】已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6. （1）求这条抛物线的对称轴及表达式； （2）在y轴上取点E（0,2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF、EF，如果，求点F的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标. 题型15 相似三角形问题（共3小题） 例15（2024·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．      (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 【变式15-2】在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 题型16 新定义、新考法（共4题） 例16（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、是常数，且），以原点为中心，旋转得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．当线段是线段、的比例中项时，的值为 ． 【变式16-1】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 【变式16-2】（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【变式16-3】（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 题型17 角的和差倍问题（共3题） 例17 （2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【变式17-1】（2025·上海虹口·一模）如图．在平面直角坐标系中．已知抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧）．与轴交于点．连接，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合）．点关于轴的对称点恰好在直线上． 求点的坐标； 点是抛物线上一点且在对称轴左侧．连接．如果，求点的坐标． 【变式17-2】（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $