专题01 相似三角形与向量全章14大题型（期末复习专项训练）九年级数学上学期沪教版五四制

专题01 相似三角形与向量 题型1 相似图形 题型8 相似三角形的判定综合（重点） 题型2 比例的性质（常考点） 题型9 利用相似三角形的性质求解 题型3 比例线段 题型10 相似三角形实际应用 题型4 成比例线段 题型11 相似三角形的判定与性质综合（难点） 题型5 黄金分割 题型12 重心的有关性质 题型6 由平行判断成比例的线段 题型13 实数与向量相乘 题型7 由平行截线求相关线段的长或比值 题型14 向量的线性运算（常考点） 题型1 相似图形（共3题） 例1（2025·上海宝山区一模）下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【变式1-1】（2025·上海虹口区一模）下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形 【变式1-2】（2025·上海徐汇区一模）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 题型2 比例的性质（共6题） 例2（2025·上海崇明区一模）如果，那么的值为 ． 【变式2-1】（2025·上海宝山区一模）已知，那么的值是 ． 【变式2-2】（2025·上海杨浦区一模）如果，那么 ． 【变式2-3】（2025·上海金山区一模）已知、是不等于0的实数，，那么 ． 【变式2-4】（2025·上海松江区一模）已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 【变式2-5】（2025·上海徐汇区一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 题型3 比例线段（共3题） 例3（2025·上海宝山区一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【变式3-1】（2025·上海长宁区一模）已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 【变式3-2】（2025·上海虹口区一模）已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ． 题型4 成比例线段（共4题） 例4（2025·上海青浦区一模）线段厘米，厘米，线段和的比例中项 厘米． 【变式4-1】（2025·上海黄浦区一模）已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·上海奉贤区一模）如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为 ． 【变式4-3】（2025·上海金山区一模）第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为 千米． 题型5 黄金分割（共3题） 例5（2025·上海徐汇区一模）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【变式5-1】（2025·上海闵行区一模）形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（    ） A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点 C．是边上的高 D．是的平分线 【变式5-2】（2025·上海松江区一模）已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么 ． 题型6 由平行判断成比例的线段（共3题） 例6（2025·上海闵行区一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·上海松江区一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为 ． 【变式6-2】（2025·上海松江区一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 题型7 由平行截线求相关线段的长或比值（共8题） 例7（2025·上海长宁区一模）如图，，如果，，，那么的长是 ． 【变式7-1】（2025·上海虹口区一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 【变式7-2】（2025·上海崇明区一模）如图，，，，那么的长等于 ． 【变式7-3】（2025·上海杨浦区一模）已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么 ． 【变式7-4】（2025·上海徐汇区一模）如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    【变式7-5】（2025·上海嘉定区一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-6】（2025·上海松江区一模）如图，已知直线、、分别与直线交于点，与直线交于点，如果，，．那么 ． 【变式7-7】（2025·上海青浦区一模）如图，，如果，那么 ． 题型8 相似三角形的判定综合（共4题） 例8（2025·上海徐汇区一模）定义一个三角形中一内角的平分线和该角对边上高，以及这条边围成的新三角形是它的“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中，（  ）正确． A．两个都 B．仅原命题 C．仅原命题的逆命题 D．没有一个 【变式8-1】（2025·上海嘉定区一模）下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【变式8-2】（2025·上海闵行区一模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·上海松江区一模）已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 题型9 利用相似三角形的性质求解（共8题） 例9（2025·上海崇明区一模）如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 【变式9-1】（2025·上海虹口区一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【变式9-2】（2025·上海徐汇区一模）两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为 ． 【变式9-3】（2025·上海静安区一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍，那么它的周长扩大为原来的 倍． 【变式9-4】（2025·上海长宁区一模）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 【变式9-5】（2025·上海长宁区一模）如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 【变式9-6】（2025·上海杨浦区一模）如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 【变式9-7】（2025·上海杨浦区一模）对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A．各个内角的大小始终保持不变 B．各条边的长度始终保持不变 C．三角形的面积始终保持不变 D．三角形的周长始终保持不变 题型10 相似三角形实际应用（共3题） 例10（2025·上海静安区一模）泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折 【变式10-1】（2025·上海嘉定区一模）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是 厘米． 【变式10-2】（2025·上海金山区一模）（洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为 ． 题型11 相似三角形的判定与性质综合（共11题） 例11（2025·上海闵行区一模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ． 【变式11-1】（2025·上海宝山区一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 ． 【变式11-2】（2025·上海宝山区一模）如图，是四边形内一点，点分别在线段上，，，，，，，那么的长是 ． 【变式11-3】（2025·上海静安区一模）在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    【变式11-4】（2025·上海长宁区一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【变式11-5】（2025·上海静安区一模）已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 【变式11-6】（2025·上海宝山区一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【变式11-7】（2025·上海静安区一模）如图，在与中，，．求证：． 以下是小明同学证明本题的过程： 证明：如图，在、上分别截取，，连接． 在与中，      ① ∴． ∵，又，     ② ∴．               ∴．            ③ ∴， ∴． ④ (1)有同学认为小明的证明过程不正确，那么你认为他是从第 部分开始出现 问题（填①或②或③或④）．请简述小明出错的原因； (2)小红认为：本题可以用添加辅助线——平行线，构造熟悉的基本图形解决．请你用小红的思路完成本题的证明过程． 【变式11-8】（2025·上海宝山区一模）如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 【变式11-9】（2025·上海虹口区一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式11-10】（2025·上海崇明区一模）如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求证：． 题型12 重心的有关性质（共5题） 例12（2025·上海崇明区一模）如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么 ． 【变式12-1】（2025·上海嘉定区一模）如图，将一块含角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心逆时针旋转．如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为 平方厘米． 【变式12-2】（2025·上海松江区一模）如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为 ． 【变式12-3】（2025·上海青浦区一模）已知点是的重心，点在边上，如果，那么 ． 【变式12-4】（2024·上海杨浦区一模）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ． 题型13 实数与向量相乘（共3题） 例13（2025·上海崇明区一模）已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 【变式13-1】（2025·上海嘉定区一模）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果和都是单位向量，那么 C． D．如果，那么 【变式13-2】（2025·上海奉贤区一模）已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是 ． 题型14 向量的线性运算（共9题） 例14（2025·上海宝山区一模）计算：＝ ． 【变式14-1】（2025·上海宝山区一模）如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2025·上海静安区一模）已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 【变式14-3】（2025·上海静安区一模）如图，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为 ． 【变式14-4】（2025·上海长宁区一模）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【变式14-5】（2025·上海普陀区一模）如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【变式14-5】如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 【变式14-6】（2025·上海闵行区一模）已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，． (1)_____，_____（结果用含向量、的式子表示） (2)由（1）可知与是_____向量． (3)如果，那么_____． 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形与向量 题型1 相似图形 题型8 相似三角形的判定综合（重点） 题型2 比例的性质（常考点） 题型9 利用相似三角形的性质求解 题型3 比例线段 题型10 相似三角形实际应用 题型4 成比例线段 题型11 相似三角形的判定与性质综合（难点） 题型5 黄金分割 题型12 重心的有关性质 题型6 由平行判断成比例的线段 题型13 实数与向量相乘 题型7 由平行截线求相关线段的长或比值 题型14 向量的线性运算（常考点） 题型1 相似图形（共3题） 例1（2025·上海宝山区一模）下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【知识点】相似图形 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（2025·上海虹口区一模）下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【知识点】相似图形 【分析】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义解答即可． 【详解】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意； B、两个正方形一定相似，符合题意； C、两个三角形不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意， 故选：B． 【变式1-2】（2025·上海徐汇区一模）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】本题考查的是相似图形 的概念，掌握各个角对应相等，各边对应成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．任意两个矩形各个角对应相等，但各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意； B．任意两个菱形的各边对应成比例，但各个角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意； C．任意两个等腰三角形的各个角不一定对应相等，各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意； D．任意两个正方形各个角对应相等，各边对应成比例，故一定相似，符合题意． 故选：D． 题型2 比例的性质（共6题） 例2（2025·上海崇明区一模）如果，那么的值为 ． 【答案】2 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：2． 【变式2-1】（2025·上海宝山区一模）已知，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（2025·上海杨浦区一模）如果，那么 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的基本性质，可分别设出x和y，再代入进行计算即可得出结果．解题的关键：已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（2025·上海金山区一模）已知、是不等于0的实数，，那么 ． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：. 【变式2-4】（2025·上海松江区一模）已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例， （1）根据题意得出，再结合即可解决问题； （2）在等式两边都减去，再进行变形即可解决问题； 解题的关键是掌握比例的基本性质：比例的内项之积与外项之积相等．也考查了恒等变形． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴，； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-5】（2025·上海徐汇区一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 题型3 比例线段（共3题） 例3（2025·上海宝山区一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 【变式3-1】（2025·上海长宁区一模）已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的定义：如果、，三个量成连比例，即，叫做和的比例中项．（内项要相等时才称为比例中项），比例中项又称“等比中项”或“几何中项”，即可． 【详解】解：∵线段，，线段是线段、的比例中项， ∴， ∴，（舍）， ∴线段的值为． 故答案为：． 【变式3-2】（2025·上海虹口区一模）已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段，根据题意可得，代入数值求解即可． 【详解】解：线段是线段的比例中项，， （负值舍去） 故答案为：． 题型4 成比例线段（共4题） 例4（2025·上海青浦区一模）线段厘米，厘米，线段和的比例中项 厘米． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段．根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可． 【详解】∵线段和的比例中项为， ， 即， ， 故答案为． 【变式4-1】（2025·上海黄浦区一模）已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型． 【详解】解：解：∵线段c是线段a和b的比例中项， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（2025·上海奉贤区一模）如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，则， ∵是与的比例中项， ∴， 整理，得 解得 ∴，（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（2025·上海金山区一模）第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为 千米． 【答案】52 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握“”是解题的关键，注意单位的统一． 设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，根据“比例尺图上距离实际距离”列出比例式，由此即可得出小海家与国家会展中心（上海）的实际距离． 【详解】解：设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，依题意得： ， ， 厘米千米， 故答案为：52． 题型5 黄金分割（共3题） 例5（2025·上海徐汇区一模）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【变式5-1】（2025·上海闵行区一模）形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（    ） A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点 C．是边上的高 D．是的平分线 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割，三角形的中线，三角形的面积，角平分线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、点D是边的黄金分割点，而的黄金分割点有两个，所以与面积的比值不唯一，故A符合题意； B、∵点D是边的中点， ∴， ∴与面积的比值为1， 故B不符合题意； C、∵是边上的高， ∴与面积的比值为， 故C不符合题意； D、∵是的平分线， ∴与面积的比值为， 故D不符合题意； 故选：A． 【变式5-2】（2025·上海松江区一模）已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么 ． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了比例的性质，黄金分割点的计算，掌握线段成比例的计算方法，黄金分割点的计算是解题的关键． 根据黄金分割点的计算可得，代入计算即可求解． 【详解】解：线段，是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型6 由平行判断成比例的线段（共3题） 例6（2025·上海闵行区一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-1】（2025·上海松江区一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为 ． 【答案】16 【知识点】根据正方形的性质求线段长、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 设正方形的边长为，得到根据平行线分线段成比例定理得到，求得，，根据三角形的面积公式列方程得到，于是得到正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 正方形的面积． 故答案为：16． 【变式6-2】（2025·上海松江区一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作线段(尺规作图)、成比例线段、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 题型7 由平行截线求相关线段的长或比值（共8题） 例7（2025·上海长宁区一模）如图，，如果，，，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得：， ． 故答案为：． 【变式7-1】（2025·上海虹口区一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式计算即可，灵活运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（2025·上海崇明区一模）如图，，，，那么的长等于 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式7-3】（2025·上海杨浦区一模）已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么 ． 【答案】6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：当时， 故答案为∶6． 【变式7-4】（2025·上海徐汇区一模）如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    【答案】4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据可得，根据，求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：4． 【变式7-5】（2025·上海嘉定区一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 【变式7-6】（2025·上海松江区一模）如图，已知直线、、分别与直线交于点，与直线交于点，如果，，．那么 ． 【答案】4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线截线段成比例的计算方法，找准线段的比是解题的关键． 根据，，得到，由，得，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：4 ． 【变式7-7】（2025·上海青浦区一模）如图，，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型8 相似三角形的判定综合（共4题） 例8（2025·上海徐汇区一模）定义一个三角形中一内角的平分线和该角对边上高，以及这条边围成的新三角形是它的“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中，（  ）正确． A．两个都 B．仅原命题 C．仅原命题的逆命题 D．没有一个 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了命题与定理的知识，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定，根据“内拐三角形”的定义分别画出图形，再判断原命题和逆命题的真假即可． 【详解】解：如图1情况，若、相似，的“内拐三角形”为、的“内拐三角形”为， 则，， ∴， 又∵， ∴； 如图3情况，也可同理得出此结论． 即：原命题为真命题． 逆命题：若两三角形的内拐三角形相似，则它们相似； 如图2，在直线上取一点，将沿翻折后与直线交于点， 此时、的内拐三角形都是，但、不相似， 因此逆命题为假命题． 综上所述，原命题为真命题，逆命题为假命题，即仅原命题正确． 故选：B． 【变式8-1】（2025·上海嘉定区一模）下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、根据两角相等的两个三角形相似，可以得到有一个内角为的两个直角三角形一定相似，符合题意； C、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形不一定相似，比如一个的角是顶角，一个的角为底角，不符合题意； 故选B． 【变式8-2】（2025·上海闵行区一模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 【变式8-3】（2025·上海松江区一模）已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】C 【知识点】判断命题真假、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 如图所示，在中，是边上的中线，如图所示，延长至点，使得，连接，可得，同理，延长至点，使得，连接，，可证，由此可证，可判定①；如图所示，在中，，是边上的高，由此可判定②；由此即可求解． 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； 如图所示，在中，是边上的中线，， 如图所示，延长至点，使得，连接， ∴， ∴， ∴， 同理，延长至点，使得，连接， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故①是真命题； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 如图所示，在中，，是边上的高， ∴，但与不相似，故②是假命题； 综上所述，①是真命题，②是假命题， 故选：C ． 题型9 利用相似三角形的性质求解（共8题） 例9（2025·上海崇明区一模）如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 【答案】24 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，利用相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键．先证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在矩形中，，是高线， , 令交于点， ， ， 解得，， 故答案为：24． 【变式9-1】（2025·上海虹口区一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 此题考查了相似三角形的性质． 【详解】解：∵，且和的最长边分别是5和， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】（2025·上海徐汇区一模）两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形对应周长的比等于相似比， ∴对应周长的比为， 故答案为：． 【变式9-3】（2025·上海静安区一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍，那么它的周长扩大为原来的 倍． 【答案】3 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据题意，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍， ∴相似比为， ∴周长扩大为原来的3倍， 故答案为：3 ． 【变式9-4】（2025·上海长宁区一模）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 【变式9-5】（2025·上海长宁区一模）如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，可证，得到，由此即可求解． 【详解】解：的边长为，将的三边长都扩大为原来的3倍，假设为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扩大为原来的9倍， 故选：B ． 【变式9-6】（2025·上海杨浦区一模）如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得出答案． 【详解】解：由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方， 它们的面积比是：， 故答案为：． 【变式9-7】（2025·上海杨浦区一模）对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A．各个内角的大小始终保持不变 B．各条边的长度始终保持不变 C．三角形的面积始终保持不变 D．三角形的周长始终保持不变 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 题型10 相似三角形实际应用（共3题） 例10（2025·上海静安区一模）泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解．根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断． 【详解】解：根据题意画出如下图形：可以得到，则， 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度， ∴这种测量原理，就是我们所学的图形相似．    故选：A． 【变式10-1】（2025·上海嘉定区一模）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是 厘米． 【答案】18 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，然后根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴的长度是18厘米， 故答案为∶18． 【变式10-2】（2025·上海金山区一模）（洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为 ． 【答案】12 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 过点O作于点C，延长交于点，再证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点O作于点C，延长交于点，如图， ， 依题意得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：12． 题型11 相似三角形的判定与性质综合（共11题） 例11（2025·上海闵行区一模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点作于点，交于点，先判断出得，由相似三角形的性质得，结合等腰三角形的性质，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，则，，，整理得，，化简得 ，设，，可得，即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， ，， ， ， ， ，与相似， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， 则， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键． 【变式11-1】（2025·上海宝山区一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了正方形的性质． 设正方形的边长为，则，证明，则利用相似三角形的性质得到，即，然后解方程即可得到答案．灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∴， ∴，即， 解得x， 即正方形的边长为． 故答案为：． 【变式11-2】（2025·上海宝山区一模）如图，是四边形内一点，点分别在线段上，，，，，，，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，推导出进而证明是解题的关键． 由，证明，得，由，证明，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式11-3】（2025·上海静安区一模）在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    【答案】72 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质得到的值是解题的关键． 根据题意可证，得到，由题意设，则，由此列式得，解得，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∴矩形的面积是， 故答案为：72 ． 【变式11-4】（2025·上海长宁区一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得即可证明结论； （2）先证明可得，结合可得，即，则，最后结合点是中点即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵   ∴， ∴，   ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，   ∴， ∵，， ∴ ∴   ∴ ∴ ∵点是中点， ∴， ∴． 【变式11-5】（2025·上海静安区一模）已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、黄金分割 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据为等边三角形，，得到,由，得到,,由，得到,结合，得到，由相似三角形的判定方法即可求解； （2）根据题意可得为等边三角形，即，由为等边三角形，得到，根据，得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵为等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴为等边三角形，即， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点． 【变式11-6】（2025·上海宝山区一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【答案】探究：证明见解析；运用： 【知识点】利用矩形的性质证明、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质是解题的关键． 【探究】连接，证明，得出，，则可得出答案；【运用】由矩形的性质得出，证出，由结论“四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形四边形，则可得出答案． 【详解】【探究】证明：连接，如图所示： ∵四边形与四边形相似， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 【运用】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形四边形， ∴． 【变式11-7】（2025·上海静安区一模）如图，在与中，，．求证：． 以下是小明同学证明本题的过程： 证明：如图，在、上分别截取，，连接． 在与中，      ① ∴． ∵，又，     ② ∴．               ∴．            ③ ∴， ∴． ④ (1)有同学认为小明的证明过程不正确，那么你认为他是从第 部分开始出现 问题（填①或②或③或④）．请简述小明出错的原因； (2)小红认为：本题可以用添加辅助线——平行线，构造熟悉的基本图形解决．请你用小红的思路完成本题的证明过程． 【答案】(1)③，错误原因见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质； （1）由三角形一边的平行线的判定方法错误可得答案； （2）如图，在上截取，过点G作交于点H．证明，证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：第③步出现错误；错用三角形一边的平行线的判定定理； （2）证明：如图，在上截取，过点G作交于点H． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 在与中，，，       ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式11-8】（2025·上海宝山区一模）如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 【答案】(1)；理由见解答过程； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）补充的条件是，先证明，进而依据“”判定和全等即可得出； （2）连接，证明和相似得，，则，再根据得和相似，则，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后求出，，证明和相似得，则，由此可得的长． 【详解】（1）解：当时，,理由如下： ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，，,， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：连接GF，如图所示： ∵，, ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【变式11-9】（2025·上海虹口区一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识： （1）由，证明， 得，所以，则； （2）由相似三角形的性质得，推导出，由， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则 【详解】（1） （2） ， ， 【变式11-10】（2025·上海崇明区一模）如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边： （1）先证明得到，再由三角形中线的定义得到，据此可证明结论； （2）先由相似三角形的性质得到，再证明，得到，导角证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 又是边上中线， ， ， 又， ； （2）证明：，   ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ． 题型12 重心的有关性质（共5题） 例12（2025·上海崇明区一模）如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么 ． 【答案】18 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接并延长交于点E，连接并延长交于点H，由重心的性质得，根据中线的性质可得，证明得，设，代入可求出，进而可求出． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接并延长交于点H， ∵点是重心， ∴是中线，， ∴，，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 【变式12-1】（2025·上海嘉定区一模）如图，将一块含角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心逆时针旋转．如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为 平方厘米． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，重心的性质，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的面积，旋转的性质，重心的性质，推出，且相似比为，利用的面积减去三个小三角形的面积求出重叠部分的面积即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴， ∵为重心， ∴， ∵绕点旋转180度， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴重叠部分的面积为：； 故答案为：． 【变式12-2】（2025·上海松江区一模）如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，重心的性质，连接并延长交于点，平行线分线段成比例，得到，证明，利用相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∴的周长与的周长之比为； 故答案为：． 【变式12-3】（2025·上海青浦区一模）已知点是的重心，点在边上，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查三角形的重心的概念、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．连接并延长交于点E，由点G是的重心，可得，，再由，可得，最后由相似三角形性质可得答案． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵点G是的重心， ，， ， ， ， ， 故答案为： 【变式12-4】（2024·上海杨浦区一模）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接，延长交于点，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点，并延长至，使得，延长交于点，连接 ∵点是重心， ∴分别为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型13 实数与向量相乘（共3题） 例13（2025·上海崇明区一模）已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 【答案】 【知识点】实数与向量相乘 【分析】本题考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模．根据长度为5，得到，再根据与单位向量方向相反即可求解． 【详解】解：∵与单位向量方向相反，且长度为5， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式13-1】（2025·上海嘉定区一模）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果和都是单位向量，那么 C． D．如果，那么 【答案】D 【知识点】实数与向量相乘、向量的相关概念 【分析】本题考查命题与定理，平面向量，解答本题的关键是掌握平面向量的基本概念和性质． 由平面向量的基本概念和性质，即可判断． 【详解】解：A、两向量的模相等，方向不一定相同，故A选项不符合题意； B、两单位向量的方向可能不同，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、如果，那么，正确，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式13-2】（2025·上海奉贤区一模）已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是 ． 【答案】 【知识点】实数与向量相乘 【分析】本题考查了实数与向量相乘，熟练掌握向量的定义、表示方法及运算法则是解题的关键． 根据向量的表示方法进行解答即可． 【详解】解：∵的长度为，向量是单位向量， ∴， 又∵向量与的方向相反， ∴， 故答案为：． 题型14 向量的线性运算（共9题） 例14（2025·上海宝山区一模）计算：＝ ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查了向量的线性计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据向量的线性计算，即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式14-1】（2025·上海宝山区一模）如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、向量的线性运算 【分析】本题考查平面向量的线性运算、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，注意向量的方向是解答的关键．如图，过点A作交于点H．证明，求出，再根据求解． 【详解】解：如图，过点A作交于点H． 在等腰梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 【变式14-2】（2025·上海静安区一模）已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 【答案】C 【知识点】实数与向量相乘、向量的线性运算 【分析】本题考查了向量平行的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据向量平行的判定，向量模的理解进行判定即可求解． 【详解】解：A、，则，能判定，不符合题意； B、，则，能判定，不符合题意； C、模相等，不一定平行，故不能判定，符合题意； D、，则， ∴，能判定，不符合题意； 故选：C ． 【变式14-3】（2025·上海静安区一模）如图，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题主要考查了平面向量，根据平行线分线段成比例得出，，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果． 【详解】解：∵．， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式14-4】（2025·上海长宁区一模）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【答案】(1)， (2) 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查了三角形的重心，平面向量，相似三角形的性质与判定，掌握三角形的重心是解题的关键． （1）根据三角形的重心，再证明，得出比例式，即可求解； （2）先求出，即可得到． 【详解】（1）解：中线、交于点， 点为重心， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：， ， ，， ， 故答案为：． 【变式14-5】（2025·上海普陀区一模）如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【答案】(1) (2)， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由题意可得∽，则，即，再证明∽，即可求解； （2）由题意得，，则；由题意得，，则，，进而求解． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴，， ∴∽， ∴则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴则， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式14-5】如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线分线段成比例性质可得，再由可得，从而得出，再证，可得，再由平行线的判定即可得出结论； （2）由得出，可得出，再由可得．进而可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 又， ． 【变式14-6】（2025·上海闵行区一模）已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，． (1)_____，_____（结果用含向量、的式子表示） (2)由（1）可知与是_____向量． (3)如果，那么_____． 【答案】(1)； (2)平行 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平面向量，掌握平面向量是解题的关键． （1），； （2）根据，，得出与是平行向量； （3）根据，得出，从而得到，根据，求出，从而得到． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴与是平行向量， 故答案为：平行； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $