期末押题：一元二次方程的解法重难点检测2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

沪教版八年级上册一元二次方程的解法 期末过关检测试卷 一、单选题 1．一元二次方程的解是（       ） A． B． C．， D．， 2．已知，则x的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 4．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 5．下列方程中，是一元二次方程的是（    ）. A． B． C． D． 6．设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 二、填空题 7．已知方程，则 ． 8．方程的解是 ． 9．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 ． 10．在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为 ． 11．把方程配方为的形式，则 ． 12． ． 13．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为 ． 14．我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得 ． 15．已知关于的一元二次方程：的一个根是2，则另一个根的值为 ． 16．当时，一元二次方程的一个根为 ；当时，一元二次方程的一个根为 ． 17．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是 ． 18．关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ． 三、解答题 19．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 20．解方程：： 21．用适当的方法解方程：． 22．用配方法解方程：． 23．用公式法解方程： 24．已知关于的一元二次方程．若为等腰角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 25．解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 26．解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 27．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D A C B 1．C 【分析】本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意不要两边同时约去，需要移项后运用因式分解法求解． 将方程移项为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：移项得： ， 因式分解得：， ∴ 或 ， ∴ ， ． 故选：C． 2．A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 通过因式分解法解一元二次方程，得出方程的解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 或， 解得：或． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方将二次方程转化为完全平方形式，需先使二次项系数为1，再计算一次项系数一半的平方并加至两边，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵原方程为， ∴ 两边除以2，得， ∴ 一次项系数一半为，其平方为， ∴ 两边加，得， 整理得． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即；，即； ， ， 故方程为 ， 故选：A 5．C 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断即可. 【详解】选项A不确定a是否等于零，如果a＝0，可知该方程不是一元二次方程； 选项B化简之后未知数的最高次数为1，也不符合条件； 选项D不是整式方程； 而选项C完全符合一元二次方程的定义.故选C. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 6．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：B． 7．4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握整体的思想是解题的关键．把看做一个整体，利用直接开平方的方法解方程得到或，再根据偶次方的非负性得到，则． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．或 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 通过直接开平方法解方程求解即可． 【详解】解：由方程，两边同时开平方，得 或， 即或． 故答案为：或． 9． 【分析】该题考查了一元二次方程的解，将根代入方程，得到关于的方程，解出的值，并确保二次项系数不为0． 【详解】解：因为方程有一个根为0， 所以代入，得：， 即， 解得：或． 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数，即． 因此． 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 11． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．把方程配方为，即可得到答案． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边都加上16得，， 配方得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12． 25 5 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握添加的常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．根据完全平方公式求解． 【详解】解：． 故答案为：25，5． 13．或 【分析】本题考查解一元二次方程，根据“同伴方程”的定义，两个方程有且只有一个相同的实数根．先求解方程的根，再分析方程 的根，再根据新定义进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得，； 方程的根为，． 由题意，，得或，得； 故的值为或； 故答案为：或． 14． 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（)，则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为)， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．1 【分析】先把代入原方程，求出的值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得：， 设方程的另一个根为，则， ， 则方程的另一个根为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根，根与系数的关系，解题的关键是理解根是能使等式成立的值． 16． 【分析】将x=1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a+b+c，由a+b+c=0得到方程左右两边相等，即x=1是方程的解；将x=-1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a-b+c，由a-b+c=0得到方程左右两边相等，即x=-1是方程的解． 【详解】解：将x=1代入ax2+bx+c=0的左边得：a×12+b×1+c=a+b+c， ∵a+b+c=0， ∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根． 将x=-1代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c， ∵a-b+c=0， ∴x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根． 故答案为1，-1． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 17．-2． 【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1=0，t2+t+m=0，把两方程相减得到（m-1）t=m-1，如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0，符合题意；如果m≠1，解方程求出t的值，再根据方程解的定义得出1+m+1=0，解得m的值即可． 【详解】设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t， 则t2+mt+1=0①， t2+t+m=0②， ①-②得（m-1）t=m-1， 如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0无解，不符合题意； 如果m≠1，那么t=1， 把t=1代入①，得1+m+1=0，解得m=-2． 故常数m的值为-2． 故答案为-2． 【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 18． 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 19．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程、平方差公式的应用，熟练掌握直接开平方法的步骤（将方程化为完全平方式，再开平方求解）是解题的关键． （1）先利用平方差公式化简方程，再通过直接开平方法求解； （2）先整理方程得到完全平方式，再通过直接开平方法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 20．， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 21．， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，灵活找到解法是解答关键. 先移项变形，再提取公因式，利用因式分解的方法来求解. 【详解】解：移项得 变形得 提取公因式得 或 ，. 22． ， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 配方，得， ∴， ∴，． 23．， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程． 先将方程整理成一元二次方程的标准形式，然后利用求根公式求解即可． 【详解】解：原方程为， 整理得， 则，，， ， ， 所以，． 24．或 【分析】本题考查一元二次方程与几何的应用，求出判别式的符号，推出是方程的一个解，代入方程求出的值，进而求出方程的另一个解，求出的周长即可． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴是方程的一个解， ∴， 解得，， 当时，，解得， ∴等腰三角形的三边为，周长为； 当时，，解得， ∴等腰三角形的三边为，周长为； 综上：的周长为或． 25．(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键； （1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴上述解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）解：原方程可变形为：， 方程中，，，，， ∴， ∴方程的解为, ． 26．(1)③，配方出错； (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）根据配方法的步骤，进行作答即可． 【详解】（1）解：第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）解：， 移项，得， 将二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 所以， 即． 27．(1) (2) (3) 【分析】（）根据完全平方公式解答即可； （）仿照（一）解答即可； （）仿照（二）解答即可； 本题考查了完全平方公式，配方法及因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ 即代数式的最小值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $