专题21.4 一元二次方程的求根公式（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题21.4 一元二次方程的求根公式 教学目标 1. 经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练. 2. 会用公式法一元二次方程. 3. 在推导一元二次方程的求根公式过程中，学会分类讨论思想． 教学重难点 1.重点 （1）利用配方法推导一元二次方程的求根公式； （2）公式法解一元二次方程，； （3）灵活运用适当的方法解一元二次方程。 2.难点 （1）公式法解一元二次方程的综合应用； （2）分类讨论思想； 知识点1 一元二次方程的求根公式 一、情境导入，初步认识 1.用配方法解方程： （1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0. 2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？ 二、思考探究，获取新知 1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去. 解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a≠0，所以方程两边同除以a得： x2+x= 配方，得：x2+x+（）2=+（）2 即（x+）2= ∵a≠0,∴4a2>0 ①当b2-4ac≥0时，≥0 ∴x+=± 即x= ∴x1=， x2=. ②(2)当b²-4ac<0时，这时，在实数范围内，ェ取任何数都不能使方程（x+）2=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根. 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： ①解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的实数根可以写成x=（b2-4ac≥0）的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． ②在求根公式中，如果b²-4ac=0,那么x1=x2=,即方程有两个相等的实数根(重根). 【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分. 2.确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号. 3.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】 在解一元二次方程时，把方程化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0),如果b²-4ac≥0,那么把a、b、c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b²-4ac<0,那么原方程没有实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法. 公式法适用所有的一元二次方程. 3、 一元二次方程的解法小结（非书面） 1.特殊的一元二次方程解法：①（直接）开平方法；依据：实数平方的非负性 ②因式分解法；依据：因式分解 2.一般的一元二次方程解法：③配方法；依据：完全平方公式 ④公式法；依据：配方法推导而来 配方法、公式法同途同归；因此，一般的，它们都适用所有的一元二次方程. 【即学即练】 1．用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 2．用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 3．用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（   ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．1，， 4．下列一元二次方程的根是的是（    ） A． B． C． D． 5．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 6．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（ ） A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 题型01公式法解一元二次方程 【典例1】．用公式法解下列方程： （1）；       （2）； （3）；       （4）． 【变式1】．用公式法解下列方程： （1）；          （2）； （3）；      （4）； （5）；       （6）． 题型02 求a、b、c 【典例1】．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】．用求根公式解一元二次方程时，，的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】．用公式法解一元二次方程时的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】．求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 题型03 求b2-4ac的值 【典例1】．用公式法解方程，其中求得的值是（    ）. A．16 B． C．32 D．64 【变式1】．方程中，的值为 ，根是 ． 题型04 辨析求根公式 【典例1】．用公式法解方程时，正确代入求根公式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．方程的根是（ ） A． B． C． D． 题型05 由求根公式还原一元二次方程 【典例1】．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 题型06 公式法的代数应用（Ⅰ） 【典例1】．已知代数式与的值互为相反数，则x的值为（    ） A．或4 B．或4 C．或4 D．或 【变式1】．若方程是一元二次方程，则方程的根是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【变式2】．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（    ） A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D． 【变式3】．已知（），则式子的值是 ． 题型07 用适当的方法解一元二次方程 【典例1】．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【变式1】．解方程 ①                                ② ③                              ④ ⑤                               ⑥ ⑦                               ⑧． 题型08 辨析用较简便的方法解一元二次方程 【典例1】．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【变式1】．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（      ）； A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法、配方法 C．配方法、因式分解法、配方法、公式法 D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法 【变式2】．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上． ①；②；③；④；⑤． (1)直接开平方法： ； (2)配方法： ； (3)公式法： ； (4)因式分解法： ． 【变式3】．下列方程，最适合用公式法求解的是（    ） A． B． C． D． 题型09 分析解答过程 【典例1】．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ∵，，（第一步）， ∴（第二步）， ∴（第三步）， ∴，（第四步）． 小明解答过程开始出错的步骤是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【变式1】．下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第 步开始出错． 题型10 比较根的大小 【典例1】．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是(    ) A．1+ B． C． D． 【变式1】．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（　　） A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间 【变式2】．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（　　） A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣ 【变式3】．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 题型11 公式法的代数应用（Ⅱ） 【典例1】．若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（　　） A． B． C． D． 题型12 公式法的几何应用 【典例1】．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 【变式1】．等腰两边的长是关于的方程的两个实数根，第三边的长为5，则的值为 ． 题型13 新定义、材料题 【典例1】．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 【变式1】．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”_______． （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 一、单选题 1．方程的两根是（   ） A． B． C． D． 2．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A． B． C． D． 4．用公式法解方程，得到（   ） A． B． C． D． 5．在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的求根公式是（    ） A． B． C． D． 7．解下列方程：（1）；（2）；（3），较适当的方法为（　　） A．（1）直接开平方法（2）公式法（3）配方法 B．（1）因式分解法（2）公式法（3）公式法 C．（1）直接开平方法（2）因式分解法（3）配方法 D．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法 8．利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得：， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得：， ∴， ∴， ∴，． A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁 10．定义新运算，对于两个不相等的实根a，b，我们规定符号表示a，b中较大值，如，因此，按照这样的规定，若，则x的值是（　　） A．或 B． C．1或 D．0或 二、填空题 11．方程的解是 ． 12．已知关于m的方程，那么 ． 13．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 ． 14．用公式法解方程时，其中求得的的值是 ． 15．若代数式的值与的值相等，则x的值为 ． 16．用公式法解方程，得 ． 17．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为 ． 18．整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为 ；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为 ． 三、解答题 19．用公式法解方程：． 20．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 22．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 23．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题： 下列方程的解法对不对？为什么？ 解：或． 解得或． 所以，． 同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等． 小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下： 取与的平均值，即将与相加再除以2． 那么原方程可化为 左边用平方差公式可化为． 再移项，开平方可得 请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导： 关于x的方程的求根公式（此时）． 24．阅读下面的材料： 解方程． 解：当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去）； 当时，，矛盾，舍去； 当时，原方程化为 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，原方程的根是． 请参照上面材料解方程． （1）； （2）． 25．综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①；    ②． (2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.4 一元二次方程的求根公式 教学目标 1. 经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练. 2. 会用公式法一元二次方程. 3. 在推导一元二次方程的求根公式过程中，学会分类讨论思想． 教学重难点 1.重点 （1）利用配方法推导一元二次方程的求根公式； （2）公式法解一元二次方程，； （3）灵活运用适当的方法解一元二次方程。 2.难点 （1）公式法解一元二次方程的综合应用； （2）分类讨论思想； 知识点1 一元二次方程的求根公式 一、情境导入，初步认识 1.用配方法解方程： （1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0. 2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？ 二、思考探究，获取新知 1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去. 解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a≠0，所以方程两边同除以a得： x2+x= 配方，得：x2+x+（）2=+（）2 即（x+）2= ∵a≠0,∴4a2>0 ①当b2-4ac≥0时，≥0 ∴x+=± 即x= ∴x1=， x2=. ②(2)当b²-4ac<0时，这时，在实数范围内，ェ取任何数都不能使方程（x+）2=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根. 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： ①解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的实数根可以写成x=（b2-4ac≥0）的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． ②在求根公式中，如果b²-4ac=0,那么x1=x2=,即方程有两个相等的实数根(重根). 【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分. 2.确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号. 3.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】 在解一元二次方程时，把方程化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0),如果b²-4ac≥0,那么把a、b、c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b²-4ac<0,那么原方程没有实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法. 公式法适用所有的一元二次方程. 3、 一元二次方程的解法小结（非书面） 1.特殊的一元二次方程解法：①（直接）开平方法；依据：实数平方的非负性 ②因式分解法；依据：因式分解 2.一般的一元二次方程解法：③配方法；依据：完全平方公式 ④公式法；依据：配方法推导而来 配方法、公式法同途同归；因此，一般的，它们都适用所有的一元二次方程. 【即学即练】 1．用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把代入求根公式计算即可； （2）把代入求根公式计算即可； （3）先把方程化为一般形式得：，再把代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：整理，得， ． 2．用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是将方程化为一般形式． （1）先把方程化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 进行计算即可． （2）通过移项化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式； （3）求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 【详解】（1）解：原方程可化为， ，，， ， ， ，； （2）， 移项，得； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 3．用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（   ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．1，， 【答案】C 【分析】本题考查公式法，先将原方程变形为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的公式法即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C 4．下列一元二次方程的根是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为．据此结合题意得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴该一元二次方程可以为， 故选：D． 5．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 6．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（ ） A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据各方程的特点逐一判别即可． 【详解】①，适合③直接开平方法； ②，适合公式法； ③，适合因式分解法； ④，适合因式分解法． 故选：D． 题型01公式法解一元二次方程 【典例1】．用公式法解下列方程： （1）；       （2）； （3）；       （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）方程无实数根 【分析】（1）直接利用公式法解方程即可； （2）直接利用公式法解方程即可； （3）直接利用公式法解方程即可； （4）先利用根的判别式进行求解，可以发现方程无解． 【详解】解：（1）由题意得：，，， ∴， ∴方程有两个不等的实数根 ∴． ∴，； （2）由题意得：，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， ∴； （3）方程化为， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，； （4）方程化为． ∴，，， ∴． ∴方程无实数根． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握公式法． 【变式1】．用公式法解下列方程： （1）；          （2）； （3）；      （4）； （5）；       （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）首先得出b2-4ac的值，进而利用求根公式得出答案； （2）方程整理后，得出b2-4ac的值，进而利用求根公式得出答案； （3）方程整理后，得出b2-4ac的值，进而利用求根公式得出答案； （4）方程整理成一般式，得出b2-4ac的值，进而利用求根公式得出答案； （5）方程整理成一般式，得出b2-4ac的值，进而利用求根公式得出答案； （6）方程整理成一般式，得出b2-4ac的值，即可得出答案． 【详解】解：（1）， ∵a=1，b=-6，c=1， ∴32＞0， ∴x=， ∴； （2）， 整理得：， ∵a=2，b=-1，c=-6， ∴49＞0， ∴x=， ∴； （3），   整理得：， ∵a=4，b=-4，c=1， ∴0， ∴x=， ∴； （4）， 整理得：，即， ∵a=1，b=-9，c=2， ∴73＞0， ∴x=， ∴； （5）， 整理得：，即， ∵a=1，b=3，c=-18， ∴81＞0， ∴x=， ∴； （6）， 整理得：，即， ∵a=1，b=0，c=-1， ∴4＞0， ∴x=， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法-公式法． 题型02 求a、b、c 【典例1】．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值 【详解】解：化为一般形式为： ，， 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式1】．用求根公式解一元二次方程时，，的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案． 【详解】解：， ， 则，，， 故选：C 【变式2】．用公式法解一元二次方程时的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案． 【详解】解：把原方程化为一般式为， ∴，，， 故选：A． 【变式3】．求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程求根公式，解题的关键是掌握求根公式．对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，而求根公式得， 故， 故选：C． 题型03 求b2-4ac的值 【典例1】．用公式法解方程，其中求得的值是（    ）. A．16 B． C．32 D．64 【答案】D 【分析】先将方程化为一般形式，然后计算即可. 【详解】解：方程整理得：， ∴，，， ∴， 故选D. 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【变式1】．方程中，的值为 ，根是 ． 【答案】 12 【分析】确定a、b、c的值后，直接计算△的值即可． 【详解】解：变形为： ， ∵a=2，b=2，c=-1， ∴△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=4+8=12>0， ∴x==， ∴ 故答案为：12，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式的公式△=b2-4ac是解题的关键． 题型04 辨析求根公式 【典例1】．用公式法解方程时，正确代入求根公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式解一元二次方程，根据，，代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】．方程的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ，，， ， ， ， ， 故选：B． 题型05 由求根公式还原一元二次方程 【典例1】．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 【变式1】．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可． 【详解】解：A. 的两根为，故选项A不符合题意； B. 的两根为，故选项B不符合题意； C. 的两根为，故选项C不符合题意； D. 的两根为，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键． 【变式2】．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 【变式3】．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个． 【详解】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式． 题型06 公式法的代数应用（Ⅰ） 【典例1】．已知代数式与的值互为相反数，则x的值为（    ） A．或4 B．或4 C．或4 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的定义，公式法解一元二次方程， 由相反数的定义得出，然后解一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解∶ 代数式与的值互为相反数， 则 整理得：， 解得：或， 故选：D． 【变式1】．若方程是一元二次方程，则方程的根是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于的式子，解出的值，代入原方程，求解一元二次方程即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， , 解得：， 即， ， ， 方程有两个不相等的实数根 ； 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的概念与解法，熟练掌握一元二次方程的概念与用公式法、因式分解法或配方法求解一元二次方程是解题的关键． 【变式2】．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（    ） A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D． 【答案】C 【分析】根据求根公式对照求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的求根公式是，， 又∵关于x的一元二次方程的两根分别为，， ∴= ∴ac=-1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键． 【变式3】．已知（），则式子的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的求根公式，本题属于基础题型，根据一元二次方程的求根公式即可求出答案． 【详解】解：由一元二次方程的求根公式可知：的其中一个解为， 故答案为：0． 题型07 用适当的方法解一元二次方程 【典例1】．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 方程利用配方法求解即可； 方程利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可； 方程整理后，利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （4）解：方程整理得：， ，，， ， ， 解得：，； （5）解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 【变式1】．解方程 ①                                ② ③                              ④ ⑤                               ⑥ ⑦                               ⑧． 【答案】①，；②, ；③，；④，；⑤；⑥，；⑦，；⑧， 【分析】考查一元二次方程的解法，要根据方程形式的不同灵活运用不同的方法来解方程：①直接开平方法；②、③、④用因式分解法；⑤⑥⑦⑧去括号，移项化为一般形式，进而求解． 常用的方法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法，根据题目选择合适的方法是解题的关键． 【详解】解：①， ∴， ∴，； ②， ∴， ∴或， ∴, ； ③，即， ∴，； ④，即 ∴，   ∴，； ⑤， ， ， ，   ∴； ⑥， ， ， ∴，； ⑦， ， ∴，； ⑧ ， ∴，． 题型08 辨析用较简便的方法解一元二次方程 【典例1】．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】D 【详解】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法. ④ 2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法. 所以选D. 【变式1】．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（      ）； A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法、配方法 C．配方法、因式分解法、配方法、公式法 D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法 【答案】D 【分析】对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便. 【详解】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便； 方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便； 方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便； 方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便. 故选D. 【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法. 【变式2】．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上． ①；②；③；④；⑤． (1)直接开平方法： ； (2)配方法： ； (3)公式法： ； (4)因式分解法： ． 【答案】 ① ④⑤ ③ ② 【分析】根据方程的特征逐一判断即可. 【详解】解: ① x-1= x=1. 故①用直接开平方法解更简单. ②原方程可变形为:； ∴此方程用因式分解法解更简单. ③ -5x+6=3 -5x+3=0 ∴此方程用公式法求解更好. ④ ∴此方程用配方法解更好. ⑤． =100 ∴此方程用配方法解更好. 故答案为:  (1). ①    (2). ④⑤    (3). ③    (4). ② 【点睛】本题考查了选择适当的解法求解一元二次方程. 【变式3】．下列方程，最适合用公式法求解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据方程的特点分别判断即可． 【详解】解：A、适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意； B、即适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意； C、适合用公式法求解，故本选项符合题意； D、即，适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型09 分析解答过程 【典例1】．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ∵，，（第一步）， ∴（第二步）， ∴（第三步）， ∴，（第四步）． 小明解答过程开始出错的步骤是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【分析】根据公式法，可得第三步为，即可解答． 【详解】解：根据公式法可得， 故第三步为， 所以第三步开始出错， 故选：C． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的解的公式是解题的关键． 【变式1】．下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第 步开始出错． 【答案】一 【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答． 【详解】解：原方程化为：， ∴． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键． 题型10 比较根的大小 【典例1】．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是(    ) A．1+ B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式法解方程求得方程的解，比较即可解答. 【详解】解：, a=1，b=-1，c=-1， △=1+4=5＞0， x=， ∵， ∴较大的实数根为. 故选B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法——公式法，正确利用公式法解方程是解本题的关键． 【变式1】．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（　　） A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先求出方程的解，再求出较大的实数根a的范围，最后即可得出答案． 【详解】解：解方程2x2﹣2x﹣1＝0得 ， ∵a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根， ∴a＝， ∵1＜＜2， ∴2＜＜3， 即1＜a＜． 故选：C 【点睛】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式2】．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（　　） A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣ 【答案】B 【分析】先求出方程的解，再求出方程的最小值，即可求出答案． 【详解】2x2-4x=， 8x2-16x-5=0， x=， ∵x1为一元二次方程2x2-4x=较小的根， ∴x1=， ∵5＜＜6， ∴-1＜x1＜0． 故选B． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小． 【变式3】．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 【答案】A 【详解】因为,且 a＜0,所以≥,故选A. 题型11 公式法的代数应用（Ⅱ） 【典例1】．若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、实数大小估算等知识，利用公式法解关于的方程是解题关键．将代入方程并整理，获得关于的方程，然后估计的大小即可． 【详解】解：将代入方程， 可得， 整理可得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即． 故选：B． 【变式1】．已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用二次根式有意义的条件可得出，然后分或两种情况解方程，可得出所有符合条件的整数的值，最后求和即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，原方程为， 解得：， 当时，， ∵ ∴， ∴，， ∵方程的根都是整数，且为整数， ∴或或或， ∴或或或， 又∵， ∴可取或或， 综上所述，满足条件的整数为：或或或， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的有意义的条件，一元二次方程的解法，整除性．运用了分类讨论的解题方法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 题型12 公式法的几何应用 【典例1】．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 【答案】-5或或 【分析】根据等腰三角形的定义，分a=2和a=3，分别代入方程，解之可得k值． 【详解】解：∵2，3，a分别是等腰三角形三边的长， 当a=2时，即x=2，代入， 得：， 解得：k=-5，或k=1（舍）， 当a=3时，即x=3，代入， 得：， 解得：k=，或k=， 故答案为：-5或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论． 【变式1】．等腰两边的长是关于的方程的两个实数根，第三边的长为5，则的值为 ． 【答案】4或5/5或4 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，先计算的值，再根据一元二次方程的求根公式“”求出方程的根，，，然后根据等腰三角形的性质可得或，解方程即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时，，的三边长为，，，是等腰三角形； 当时，，的三边长为，，，是等腰三角形； 即当或5时，是等腰三角形． 故答案为：4或5． 题型13 新定义、材料题 【典例1】．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据降次法，求出，再解一元二次方程，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∵，且， 解得：， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，解一元二次方程．理解并掌握降次法，是解题的关键． 【变式1】．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”_______． （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】（1）-10x2+3x+1=0；（2），互为倒数，证明见解析；（3）x5=0，x6=2022． 【分析】（1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可； （3）先根据“友好方程”的根的特点得出-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2020，将待求方程变形为（x-1）2-b（x-1）-2021=0，把x-1看做整体即可求解． 【详解】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0， 故答案为：-10x2+3x+1=0； （2）-10x2+3x+1=0， ， 解得，，， 根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 证明如下： ∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为， “友好方程”cx2+bx+a=0的两根为． ∴， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； （3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是， ∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021， 则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021， ∴该方程的解为x5=0，x6=2022． 利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022， 故答案为x5=0，x6=2022． 【点睛】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． 一、单选题 1．方程的两根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方程中，，， ， ∴． 故选：D． 2．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案． 【详解】解：，则，，， 故选：C 3．用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程-公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【详解】解：用公式法解方程时， 整理得：， 二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是， 故选：C． 4．用公式法解方程，得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：C． 5．在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 6．一元二次方程的求根公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，掌握求根公式成为解题的关键． 根据题意直接运用求根公式即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴该方程有两个实数根， ∴． 故选C． 7．解下列方程：（1）；（2）；（3），较适当的方法为（　　） A．（1）直接开平方法（2）公式法（3）配方法 B．（1）因式分解法（2）公式法（3）公式法 C．（1）直接开平方法（2）因式分解法（3）配方法 D．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程的方法逐个判断即可．本题考查了解一元二次方程，能熟记解一元二次方程的方法是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 【详解】解：（1）， 开平方得：，用直接开平方法比较简便； （2），用公式法比较简便； （3）， ，用因式分解法比较简便； 故选：D． 8．利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 9．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得：， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得：， ∴， ∴， ∴，． A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，分别利用因式分解，公式法与配方法解方程即可得到答案． 【详解】解：由方程两边不能都除以， ∴甲的解法错误； ∵， 移项得：， ∴， ∴或， ∴，． ∴乙的解法正确； ， 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． ∴丙的解法错误； ， 整理得 配方得：， ∴， ∴， ∴，． ∴丁的解法正确； 故选D 10．定义新运算，对于两个不相等的实根a，b，我们规定符号表示a，b中较大值，如，因此，按照这样的规定，若，则x的值是（　　） A．或 B． C．1或 D．0或 【答案】A 【分析】解：据题意得，等于a、b中较大的值，当时，；当时，，解出方程，即可． 【详解】解：由题意知，等于a、b中较大的值， ∴当时， ， ， 解出，， ∵，不合题意，舍去， 取； 当时，， ， 解得：，， ，不合题意，舍去， ； 综上所述：的值是或． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 二、填空题 11．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 故答案为：，． 12．已知关于m的方程，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法---公式法， 熟记公式是解答本题的关键．先求出的值，然后根据求解即可． 【详解】解：关于m的方程，即， ， ， 解得：， 故答案为：． 13．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，，，即可得到答案． 【详解】解：设关于的一元二次方程为， 一元二次方程的根为， ，，， 该一元二次方程可以为， 故答案为：． 14．用公式法解方程时，其中求得的的值是 ． 【答案】64 【分析】先将方程化为一般式，准确找出a、b、c的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 故答案为：64． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程根的判别式，解题的关键是将方程化为一般式，准确找出二次项系数，一次项系数，常数项． 15．若代数式的值与的值相等，则x的值为 ． 【答案】， 【分析】先列方程，再把方程化为一般式，然后利用公式法解方程． 【详解】解：根据题意得， 整理得， ， ， ，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 16．用公式法解方程，得 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是，一元二次方程的求根公式为：．先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴，． 17．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 18．整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为 ；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键．本题第一空参考示例中的方法，通过设未知数并建立方程来求解；第二空利用整体思想，将连分数设为变量，通过方程求解其值． 【详解】解：设，由题意可得： ，解得：， 即的分数形式为； 设， 根据题意，分母中的无限连分数与原式完全相同，因此分母即为， 于是方程可表示为：，解得：或（舍去）， 即此数的值为． 故答案为：；． 三、解答题 19．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数、、，再计算判别式，最后代入求根公式求解．本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键． 【详解】解： ，，， ， ∴， ∴，． 20．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， 原方程整理，得， ， ， ， ，； （3）， ， ， ， ，； （4）， 原方程整理，得． ， ， ， ，． 21．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意，先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程； （2）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解； （3）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解； （4）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1） 化为一般形式得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）， 系数化为整数得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 22．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的结构特点选择适当的方法解方程，（1）题用提公因式法求出方程的根．（2）（3）题把方程化成一般形式，用求根公式求出方程的根．（4）题把常数项移到右边，用配方法解方程． （1）把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根． （2）把方程化成一般形式，用求根公式求出方程的根． （3）用求根公式求出方程的根． （4）把常数项移到右边，用配方法解方程． 【详解】（1）解：， 原方程可变形为：， 即， 或． 解得，； （2）解：， 原方程可变形为：， ，，， ， ，． （3）解：， ，，， ， ，． （4）解：， 原方程可变形为， ， ． ， ，． 23．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题： 下列方程的解法对不对？为什么？ 解：或． 解得或． 所以，． 同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等． 小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下： 取与的平均值，即将与相加再除以2． 那么原方程可化为 左边用平方差公式可化为． 再移项，开平方可得 请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导： 关于x的方程的求根公式（此时）． 【答案】 【分析】根据小明同学的做法，将方程的常数项移至右边，二次项系数化为1，提取公因式，再将方程进行变形，利用平方差公式进行解答即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 取x与的平均值，即将x与相加再除以2，即 那么原方程可化为： 左边用平方差公式可化为： 再移项可得：   开平方可得： ． 【点睛】本题考查了新型定义题型解一元二次方程，读懂题干意思，获取正确的解题步骤是解题的关键． 24．阅读下面的材料： 解方程． 解：当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去）； 当时，，矛盾，舍去； 当时，原方程化为 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，原方程的根是． 请参照上面材料解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可． （2）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可． 【详解】（1）， 当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， ∴是原方程的解； 当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，原方程的根是； （2）， 当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去）； 当时，，矛盾，舍去； 当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）． 综上所述，原方程的根是． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把含绝对值的一元二次方程转化成一元一次方程． 25．综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①；    ②． (2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 【答案】(1)x2＋x−6＝0不是“邻根方程”；是“邻根方程” (2)m＝−1或−3 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”； （2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况． 【详解】（1）解：①解方程得：， ，， ， 不是“邻根方程”； ②， ，， ， 是“邻根方程”； （2）解： ， ，， 方程是常数）是“邻根方程”， 或， 或. 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$