精品解析：山东省烟台市某重点高中宏志班清北班2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

高一上学期宏志部清北班12月月考 数学试题 命题人：万皙婷 林志超 审核人：数学组全体成员 2024.11 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置； 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 2. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象得到函数为奇函数，再结合当时，，利用排除法即可得到答案. 【详解】由图知，函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数. 对选项C，，所以为偶函数，故C错误. 由图知，当时，. 对选项B，，当时，，与图象不符，故B错误. 对选项D，当时，， 当时，，与图象不符，故D错误. 故选：A 3. 若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 4. 已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，根据题意分析可得在定义域内为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，分和两种情况讨论，结合函数性质解不等式. 【详解】构建，则， 故在定义域内为偶函数， ∵任意的，，满足，则在上单调递增， 故在上单调递减， 对于不等式，则有： 当时，可得，即， ∵在上单调递增，且， ∴的解集为； 当时，可得，即， ∵在上单调递减，且， ∴的解集为； 综上所述：不等式的解集为. 故选：A. 5. 若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性，利用导数分析易得当时，在上单调递增，因此可得在上恒成立，且，进而求解即可. 【详解】因为， 当时，， 则， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 当时，， 由题意知，在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 又由，得到， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于，利用导数分析得当时，的单调性，从而确定在上的单调性，从而得解. 6. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角平方和关系以及余弦的差角公式即可平方相加得解. 【详解】由于，， 故两式平方相加可得得：； 所以，即． 故选：C． 7. 已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件分析即可得出C选项， 根据的图象关于直线对称，以及已知条件以及奇偶性即可判断A选项，根据已知条件取可以推出B选项，在取根据推理的表达式以及函数奇偶性即可得出选项D. 【详解】由， 则， 又， 所以， 所以， 故C选项不正确； 因为的图象关于直线对称， 所以， 又， 所以， 所以， 所以，即， 由， 所以， 所以函数为偶函数， 由， 所以， 又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以函数为偶函数， 故A选项正确； 因为， 令，则， 所以， 由， 所以， 所以， 取时， 所以， 所以不成立， 故B选项不正确； 由， 令，则， 又， 所以， 即，所以， 故D选项正确. 故选：AD. 8. 雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，借助图象证得当时，，从而判断得；构造单位圆A，利用三角函数线证得，从而判断得，由此得解. 【详解】，， 令，两函数图象如图所示， 因为均单调递增，且， 结合图象可知当时，，即， 故，故； 如图，单位圆A中，于，设，， 则的长度，，， 则由图易得，，即， 所以，故； 综上，. 故选：B. 【点睛】方法点睛： （1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小； （2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A. 在这场月考中，数学选择做完应控制在35分钟之内，则时针转动了 B. 若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若在单调递减，则 D. 设角为锐角（单位为弧度），则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用任意角、象限角、函数的单调性及三角函数线依次判断各选项即可. 【详解】对于A，时针在35分钟之内转动了，A错误； 对于B，由是第三象限角，得， 则，因此为第二象限或第四象限角，B正确； 对于C，函数的开口向上，对称轴为，在上单调递减， 而函数在上单调递减，则函数为增函数， 且，， 因此，，解得，C错误； 对于D，锐角的终边为射线，在单位圆上，，过作轴于，如图， 则，的弧长为，由图知，D正确. 故选：BD 10. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若方程有5个不同的实根，则 D. 若方程有5个不同的实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误. 【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，令，则， 所以且，故，A错； 由，而从过程中对应从， 注意端点值取不到，所以，B对； 由，可得或， 由图知，对应有2个不同解，故对应必有3个不同解，所以，C对； 由图，当时原方程无解； 当时，，此时原方程只有1个解，不符； 当时，且，此时原方程有1或2或3个解，不符； 令，得或或， 当时，或或， 若，原方程无解； 若，原方程有2个解； 若，原方程有1个解， 故原方程共有3个不同解，不符； 当时，或或，原方程共有4个解，不符； 当时，或或， 若，原方程有2个解； 若，原方程有2个解； 若，原方程有1个解， 故原方程共5个不同解，符合； 当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符； 当时，，原方程只有1个解，不符； 综上，满足题设，D对. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论的范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 【答案】16 【解析】 【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意得， 即， 故， 因为， 所以， 故， 所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准. 故答案为：16 12. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 13. 设方程的根为，方程的根为，则的值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】设函数与的交点为，函数与的交点为，由反函数的性质得到， 再由方程根的定义得到，，再将其代入所求式计算即得. 【详解】由方程的根为，设函数与的交点为； 由方程的根为，设函数与的交点为； 又因为函数与函数互为反函数，所以两者图象关于对称， 而且直线与直线互相垂直， 则点与关于对称，则 得到； 由题意得到，则，； 所以. 故答案为：7 14. 若、、、均为正实数，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】从最后两项开始，逐次使用基本不等式，可求得所求代数式的最小值. 【详解】原式 ， 当且仅当时， 即当时，等号成立， 故的最小值为， 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 四、解答题：本题共6小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围. （2）命题：，命题：，且是的必要非充分条件，求实数的取值范围； 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式求集合A，解一元二次不等式求集合B，根据交集为空列不等式求参数范围； （2）由题意，列不等式组求的范围. 【小问1详解】 由， ， 因为，则或，可得或. 【小问2详解】 由题设，则（等号不能同时成立），可得. 16. 依据《普通高中数学课程教育标准》描述，学习高中数学要培养运算和几何直观能力． （1）【数学运算】． 【数学运算与几何直观】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点． （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据对数的换底公式和运算法则对各项分别化简，再进行计算； （2）由题意可得，进而利用诱导公式化简、求解； （3）由题意可得：，进而可知，根据同角三角关系结合三角恒等变换分析求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 由于锐角的终边与单位圆相交于点，， 【小问3详解】 由（2）知，，且为锐角，可得， 根据三角函数的定义可得：， ，即，且， 可得， ， 即的值为. 17. 2023年10月13日，中国花卉人的盛会—CFIC2023中花大会在无锡隆重开幕，“万物生花·惊艳绽放”，人在花中走，犹如画中游.某企业非常重视花卉苗木产业的培育和发展，决定对企业的某花卉进行一次评估，已知该花卉单棵售价为15元，年销售10万棵. （1）据市场调查，若该花卉单棵售价每提高1元，销售量将相应减少5000棵，要使销售的总收入不低于原收入，问：该花卉单棵售价最多定为多少元？ （2）为了扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业计划对该花卉进行种植技术革新和营销策略改革，预计在2024年投入（）万元作为技改费和宣传费用，单棵花卉的售价定为元，预估单棵种植成本为元，其销售量的函数关系近似为万棵，另每年需额外支出固定成本万元，试问：该企业投入多少万元技改费和宣传费时，可获得最高利润，最高利润多少万元（利润=销售额-成本-技改费和宣传费）. 【答案】（1）元； （2）投入3万元技改费和宣传费时，可获得最高利润，最高利润为112.2万元. 【解析】 【分析】（1）根据条件得到售价提高后的总收入，再建立不等式求解即可； （2）先根据利润公式得到等式，再根据均值不等式取到最大值，最后验证能否取到即可. 【小问1详解】 依题意，设单棵花卉售价为（）元， 则销售量为万棵， 从而有，即，解得， 所以单棵花卉的售价最多为（元）. 【小问2详解】 依题意，设企业的年利润为万元， 则， 即 ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即（万元）， 所以当时，年利润有最大值112.2万元. 即当该企业投入3万元技改费和宣传费时，可获得最高利润112.2万元. 【点睛】 关键点睛：解决应用题最值问题需要善于发现均值不等式并且熟练应用，最后要考虑能否取等的情况. 18. 已知函数． （1）若在上为增函数，求的取值范围； （2）已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； （3）已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的单调性结合条件可列，从而解得的取值范围. （2）由，，可得，从而知的解析式，再由正弦函数的零点，分析即可； （3）原问题可转化为的值域是值域的子集，再根据正余弦函数的图象与性质，分别求得与在对应定义域内的值域，列出关于a的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 因在区间上单调递增， 令，则, 故在区间上单调递增， 故由题意知，则， 于是，解得，故的取值范围为. 【小问2详解】 由题意知， 因为是的一个零点，所以， 即，解得，或， 解得，，或，， 又，所以， 所以， 若在上恰好有6个零点等价于与恰好有6个交点， 令，由，则， 即，与恰好有6个交点， 而从开始从左到右的解依次为, 所以，故n的最大值为. 【小问3详解】 由（2）知， 若对任意，存在，使得成立， 则的值域是值域的子集， 当时，，所以， 即， 当时，，所以， 即， 因为的值域是值域的子集，所以 所以实数a的取值范围为. 19. 已知函数，函数，函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围； （3）定义在I上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是I上的有界函数，其中M称为函数在I的上界．讨论函数在上是否存在上界？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ， （ⅰ）当， 则在上单调递减， ∴， ①若，即时，存在上界， ②若，即时，存在上界； （ⅱ）当时， ①若时，在上单调递增，，存在上界； ②若时，在上单调递增，，故不存在上界； ③若时，在上单调递增，在上单调递增，，故不存在上界； ④若，在上单调递增，，故不存在上界； ⑤若在上单调递增，，而，故存在上界． 综上所述，当时，存在上界， 当时，不存在上界， 当时，存在上界， 当时，存在上界， 当时，存在上界． 【解析】 【分析】（1）判定为上单调递增的奇函数，解不等式即可； （2）由题意可得和的值域需要存在交集，分类讨论a的范围求的值域即可； （3）化简得，分类讨论的取值范围，再由定义计算即可. 【小问1详解】 因为，则，解得， 而，所以为奇函数， 且时递减，可得在递减，且的值域为， 不等式，即为，则， 即，即为，解得， 则原不等式的解集为． 【小问2详解】 函数， 若存在，使得成立， 当的值域为， 当时，在递减，可得的值域为， 由题意可得和的值域需要存在交集，即有，即； 若，则在递增，可得的值域为， 可得和的值域不存在交集，故不符合题意． 综上可得a的范围是． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题第一问解题关键在于确定的单调性与奇偶性，再利用性质解不等式；第二问关键在于将双变量的能成立问题转化为两个函数值域有交集，讨论计算的值域即可；第三问关键在于分类讨论的正负来确定在上的单调性，再比较两端的最值绝对值大小，讨论比较详细，容易遗漏而错，题目较难. 20. 已知集合，称为的第 个分量.对于的元素，定义 与的两种乘法分别为： 给定函数，定义上的一种变换. （1）设，求和； （2）设，对于，设，对任意且，定义 ①当时，求证：中为0的分量个数不可能是2个； ②若的任一分量都只能取或，设的第1个分量为，求的最小正周期的最小值，并求出此时所有的. 【答案】（1），； （2）①证明： 当时，，， 故， 即， 同理， 类似的求法，有： ， 若中为0的分量个数是2个， 不妨设， 则， 两式相加后有，故，矛盾． 故中为0的分量个数不可能是2个． ②，或. 【解析】 【分析】（1）根据定义计算可得相应的计算结果. （2）①利用反证法结合分量的特征可证明该结论. ②先求出，找出一般规律后可求出，结合解析式的形式可得到何时的最小正周期有最小值. 【详解】（1）， ， 故， ． （2）①略； ②：由①的计算可知： ， ； 类似地，有： ， ； 也就是： 而 ， ， 也就是： ， ， 依次类推则有的第一个分量为：， 故，其中或， 当的符号交替出现时，的最小正周期有最小值， 此时或 ， 最小正周期的最小值为， 对应的或. 【点睛】方法点睛：本题为与三角函数有关的新定义题，解决此类问题关键是弄清楚新运算的性质与三角函数中三角变换公式之间的联系，从而得到一般规律，注意本题中，因此我们可由有限归纳法来总结规律. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期宏志部清北班12月月考 数学试题 命题人：万皙婷 林志超 审核人：数学组全体成员 2024.11 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置； 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 8. 雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A. 在这场月考中，数学选择做完应控制在35分钟之内，则时针转动了 B. 若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若在单调递减，则 D. 设角为锐角（单位为弧度），则 10. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若方程有5个不同的实根，则 D. 若方程有5个不同的实根，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 12. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 13. 设方程的根为，方程的根为，则的值为_________． 14. 若、、、均为正实数，则的最小值为______. 四、解答题：本题共6小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围. （2）命题：，命题：，且是的必要非充分条件，求实数的取值范围； 16. 依据《普通高中数学课程教育标准》描述，学习高中数学要培养运算和几何直观能力． （1）【数学运算】． 【数学运算与几何直观】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点． （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，且，求的值． 17. 2023年10月13日，中国花卉人的盛会—CFIC2023中花大会在无锡隆重开幕，“万物生花·惊艳绽放”，人在花中走，犹如画中游.某企业非常重视花卉苗木产业的培育和发展，决定对企业的某花卉进行一次评估，已知该花卉单棵售价为15元，年销售10万棵. （1）据市场调查，若该花卉单棵售价每提高1元，销售量将相应减少5000棵，要使销售的总收入不低于原收入，问：该花卉单棵售价最多定为多少元？ （2）为了扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业计划对该花卉进行种植技术革新和营销策略改革，预计在2024年投入（）万元作为技改费和宣传费用，单棵花卉的售价定为元，预估单棵种植成本为元，其销售量的函数关系近似为万棵，另每年需额外支出固定成本万元，试问：该企业投入多少万元技改费和宣传费时，可获得最高利润，最高利润多少万元（利润=销售额-成本-技改费和宣传费）. 18. 已知函数． （1）若在上为增函数，求的取值范围； （2）已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； （3）已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 19. 已知函数，函数，函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围； （3）定义在I上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是I上的有界函数，其中M称为函数在I的上界．讨论函数在上是否存在上界？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由． 20. 已知集合，称为的第 个分量.对于的元素，定义 与的两种乘法分别为： 给定函数，定义上的一种变换. （1）设，求和； （2）设，对于，设，对任意且，定义 ①当时，求证：中为0的分量个数不可能是2个； ②若的任一分量都只能取或，设的第1个分量为，求的最小正周期的最小值，并求出此时所有的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $