期末重点专题专训03 勾股定理四基评估（诊讲评提闭环专训） 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

期末重点专题专训03 勾股定理四基评估（诊讲评提闭环专训）数学华师大版八年级上册 （解析篇） 一、诊断卷 1.下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15 【参考答案】D 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6 【参考答案】D 3、（2022·辽宁·丹东市第五中学七年级期末）如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【参考答案】C 解：因为大正方形的面积是，小正方形的面积是， 所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， 所以，， 所以， 所以． 4、（2023·广西南宁·统考二模）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为．若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【参考答案】C 解：则题意得，， ∴， 梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端向下滑动x米， 则，， 由勾股定理得，    5、如图，在△ABC中，点P在△ABC内部，AB＝AC＝13，BP⊥CP于点P，BP＝8，CP＝6，求阴影部分的面积为 　 　 ． 【解答】过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵BP⊥CP，∴∠CPB＝90°， ∵BP＝8，CP＝6，∴BC10， ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BDBC＝5， 在Rt△ABD中，AB＝13， ∴AD12， ∴阴影部分的面积＝△ABC的面积－△BPC的面积BC•ADBP•CP 10×128×6＝60－24＝36，故答案为：36． 6、如图，这是边长为1的3×3的正方形网格，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边BC上的高是 　 　 ． 解：设BC边上的高为h，由勾股定理得：BC， ∵S△ABCBC•h＝3×2－22×13×1，∴•h， ∴h，即BC边上的高为， 7、如图，已知长方体的长、宽、高分别是4、3、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ． 7、 解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是7和1， 则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是4和4， 所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是3和5， 所以走的最短线段； ∵， ∴三种情况比较而言，第二种情况最短． 故答案为： ． 8、如图，在△ABC中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 8、解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8，15； （2）设，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 9、如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°． 9、解：证明：连接AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=∠D=90°， ∵正方形ABCD的边长是4，BE=CE，DF=3CF． ∴BE=CE=2，CF=1，DF=3， 由勾股定理得， AE 2=AB 2+BE2=42+22=20， EF2=CE2+CF2=22+12=5， AF2=AD2+DF2=42+32=25， 又∵AE2+EF2=AF2， ∴△AEF是直角三角形，即∠AEF=90°． 10、如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴； （2）由（1）， ∴， 设，∵，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ∴，， ∴． 二、例题示范 例题示范1：下列四个说法： ①如果a，b，c为一组勾股数，那么仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是8、15，那么斜边必是17； ③如果一个三角形的三边是12、25、20，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，那么． 其中正确的是（     ） A． ①② B．①③ C．②④ D．①④ 【参考答案】D 例题示范2：如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【参考答案】A 解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在△ABC中， ，， ， 是直角三角形． 例题示范3：如图，在△ABC中的垂直平分线分别交于点D，E，且．(1)求证：；(2)若，求的长． 解：（1）证明：连接； ∵是的垂直平分线∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∵，且∴即 ∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理）即 （2）解：设的长为x；∵∴；∵∴ 在中，由勾股定理得： 即；展开得： 化简得：,即；∴；∴的长为． 例题示范4：（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　） A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm 解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为10cm， 则AD＝105（cm）． 又因为CD＝AB＝12cm， 所以AC（cm） 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm． 三、评估卷 1、勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5， C．7，24，25 D．0.6，0.8，0.9 【参考答案】C 2、如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【参考答案】B 3、（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D． 解：∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10， ∴BC＝6， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴CD＝AD， ∴AB＝BD+AD＝BD+CD＝8， 设CD＝x，则BD＝8﹣x， 在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2， 即x2＝62+（8﹣x）2， 解得x＝6.25． ∴BD＝8﹣6.25＝1.75． 4、（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　） A、cm B．4cm C．cm D．5cm 解：如图， 它运动的最短路程AB（cm）． 5、已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边长是 【参考答案】12或13 解：分两种情况： ①当5和12为直角边长时， 由勾股定理得：斜边长； ②12为斜边长时，斜边长为12； 故答案为：12或13． 6、如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 　 　 ． 解：设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x， ∵两个空白三角形均为直角三角形，∴a2＋b2＝x2，x2＋c2＝d2，∴d2＝a2＋b2＋c2， ∵A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，∴d2＝a2＋b2＋c2＝6＋8＋5＝19， 即正方形D的面积为19． 7、 在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 　 　米． 解：设树的高度为x米． ∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15， ∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x， 在Rt△ACD中根据勾股定理得， CD2+AC2＝AD2， x2+100＝（20﹣x）2， x＝7.5， 故答案为：7.5． 8、如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　 　 m． 【解答】如图，过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，∴BDBC（m）， 在Rt△ABD中，AD＝1.2，∴AB＝AC1.3（m）， ∴绳长为1.3×2＝2.6（m） 9、（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 解：（1）根据勾股定理： 梯子距离地面的高度为：24米； （2）梯子下滑了4米， 即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20， 根据勾股定理得：25， 解得CC′＝8． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 10、如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB． （1）求CD的长； （2）求AD的长； （3）求证：△ABC是直角三角形． 解：（1）解：在Rt△BCD中，DC； （2）解：在Rt△CDA中 AD； （3）证明：∵BC2＝9，AC2＝16， （BD+AD）2＝25， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 11、如图，在△ABC中，点为边上一点，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若点在的平分线上，求的长． 解：（1）解：在△ABC中，， ， ， ， 设，则， 在Rt中，， ， ； （2） 解：过点作于点， ， 平分， ， 在与中， ， （）， ， ， 设，则， 在中，， ， . 四、提升卷 1、（2023春·福建·八年级期中）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（   ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【参考答案】C 解：如图所示： 米，米， ， 小鸟至少要飞米， 2、（2023·河北衡水·校联考二模）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（    ）    A．小时 B．2小时 C．小时 D．4小时 【参考答案】C 解：， 连接，    中， 巡航船前去救助，沿直线方向用时最少， 3、如图，在中，，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．则点D到边的距离为（    ）   A．3 B．6 C． D． 【参考答案】D 4、如图，△ABC的三边BC＝17，CA＝18，AB＝19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD＋CE＋AF＝27，则BD＋BF的长是（　　） A．18 B．10＋6 C．19 D．17 温馨提示：连接PA、PB、PC， 【参考答案】A． 5、如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【参考答案】B 6、如图在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则B到直线AC的距离为（　　） A． B． C． D． 解：在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，BD为AB边上的高， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：，故选B． 7、 （2023·贵州贵阳·统考二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD=6m），踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（    ）    A．m B．m C．6m D．m 【参考答案】A 解：设绳索的长是m，则m ∵m，m, ∴（m） ∵ ∴ ∴ ∴m 故选：A． 8、（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知，点D到地面的垂直距离．则点B到地面的垂直距离是_____________．      解：在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9、（2022春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（　　）cm． A．15 B． C．12 D．18 解：如图所示，将圆柱沿过A的母线剪开， 由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使AF+CF最小， 故先作出A关于杯口所在直线的对称点A'，连接A'C与杯口的交点即为F，此时AF+CF＝A'F+CF＝A'C， 根据两点之间线段最短，即可得到此时AF+CF最小，并且最小值为A'C的长度， 如图所示，延长过C的母线，过A'作A'D垂直于此母线于D， 由题意可知，A'D＝18÷2＝9（cm）， CD＝12﹣4+4＝12（cm）， 由勾股定理得：A'C15（cm）， 故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm， 故选：A． 10、如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在处，设，当落在的内部时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【参考答案】D 11、著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a＋b）（a＋b）a2＋abb2， 也可以表示为ababc2， ∴ababc2a2＋abb2， 即a2＋b2＝c2； （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB－BH＝（x－0.6）千米， 在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2＝CH2＋AH2， ∴x2＝0.82＋（x－0.6）2， 解得x≈0.83， 即CA≈0.83千米， ∴CA－CH≈0.83－0.8≈0.03（千米）， 答：新路CH比原路CA少约0.03千米； （3）∵AH＝x， ∴BH＝AB－AH＝21－x， ∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21， 根据勾股定理： 在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2， ∴CA2－AH2＝CB2－BH2， 即102－x2＝172－（21－x）2， 解得：x＝6， ∴AH＝6， ∴CH8． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重点专题专训03 勾股定理四基评估（诊讲评提闭环专训）数学华师大版八年级上册 一、诊断卷 1.下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6 3、（2022·辽宁·丹东市第五中学七年级期末）如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A． B． C． D． 4、（2023·广西南宁·统考二模）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为．若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（    ）    A． B． C． D． 5、如图，在△ABC中，点P在△ABC内部，AB＝AC＝13，BP⊥CP于点P，BP＝8，CP＝6，求阴影部分的面积为 　 　 ． 6、如图，这是边长为1的3×3的正方形网格，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边BC上的高是 　 　 ． 7、如图，已知长方体的长、宽、高分别是4、3、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ． 8、如图，在△ABC中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 9、如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°． 10、如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 二、例题示范 例题示范1：下列四个说法： ①如果a，b，c为一组勾股数，那么仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是8、15，那么斜边必是17； ③如果一个三角形的三边是12、25、20，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，那么． 其中正确的是（     ） A． ①② B．①③ C．②④ D．①④ 【参考答案】D 例题示范2：如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【参考答案】A 解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在△ABC中， ，， ， 是直角三角形． 例题示范3：如图，在△ABC中的垂直平分线分别交于点D，E，且．(1)求证：；(2)若，求的长． 解：（1）证明：连接； ∵是的垂直平分线∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∵，且∴即 ∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理）即 （2） 解：设的长为x； ∵∴； ∵∴ 在中， 由勾股定理得： 即； 展开得： 化简得：,即； ∴； ∴的长为． 例题示范4：（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　） A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm 解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为10cm， 则AD＝105（cm）． 又因为CD＝AB＝12cm， 所以AC（cm） 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm． 三、评估卷 1、勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5， C．7，24，25 D．0.6，0.8，0.9 2、如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（   ） A．10 B． C． D． 3、（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D． 4、（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　） A、cm B．4cm C．cm D．5cm 5、已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边长是 6、如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 　 　 ． 7、 在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 　 　米． 8、如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　 　 m． 9、（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 10、如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB． （1）求CD的长； （2）求AD的长； （3）求证：△ABC是直角三角形． 11、如图，在△ABC中，点为边上一点，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若点在的平分线上，求的长。 四、提升卷 1、（2023春·福建·八年级期中）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（   ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 2、（2023·河北衡水·校联考二模）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（    ）    A．小时 B．2小时 C．小时 D．4小时 3、如图，在中，，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．则点D到边的距离为（    ）   A．3 B．6 C． D． 4、如图，△ABC的三边BC＝17，CA＝18，AB＝19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD＋CE＋AF＝27，则BD＋BF的长是（　　） A．18 B．10＋6 C．19 D．17 5、如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 6、如图在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则B到直线AC的距离为（　　） A． B． C． D． 7、 （2023·贵州贵阳·统考二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD=6m），踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（    ）    A．m B．m C．6m D．m 8、（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知，点D到地面的垂直距离．则点B到地面的垂直距离是_____________．      9、（2022春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（　　）cm． A．15 B． C．12 D．18 10、如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在处，设，当落在的内部时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11、著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 学科网（北京）股份有限公司 $