期末重点专题专训01 因式分解（诊讲评提闭环专训） 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

期末重点专题专训01因式分解（诊讲评提闭环专训）数学 华师大版八年级上册 (解析篇) 一、诊断卷 1、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.X(x+1)=x2+x B.(x-5)=x2-10x+25 C.3x2+1=x2(3+支) D.x2-4=(X+2)(x-2) 【参考答案】D 2、下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是() A.x2+y2 B.-x2+y2 C.4x-4y2 D.-x2-y2 【参考答案】B 3、下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是() A.x2+2x-1 B.x2+x+ C.x2+2x+4 D.x2-6x+9 【参考答案】D 4、若x2+x+2=(x+2(x-),则m-n的值是() A.6 B.4 C.2 D.-6 【参考答案】B 5、观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来 分解因式的公式，这个公式是() 长ak一b) A.-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.(a+b)2=+2ab+b2 D.￥+2ab+b2=(a+b)2 试卷第1页，共3页 【参考答案】D 6、设三角形的三边a、b、c满足产一b一c4一2仔c2=0,则这个三角形的形 状是() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形D.无法确定 【参考答案】A 解：at-b4-c4-2bc2 =a4-(b+c4+2b2c2) =a4-（b2+c2)2 =(a2+b2+c2(a2-b2-c2 .'at-b4-c4-2b2c2=0 ∴.(a2++c2a2-b2-c2)=0 .a、b、c是三角形的三边 ∴.a2+b2+c2≠0，a2-b2-c2=0 .a2=b2+c2 ∴.这个三角形是直角三角形 7、已知a-b=-3,代数式2a2-4ab+2b2-1的值为 A.-13 B.17 C.11 D.-19 【参考答案】17 解：2a2-4ab+2b2-1=2a2-2ab+b2）-1=2(a-b)2-1 将a-b=-3代入，得：2(-3)2-1=2×9-1=18-1=17 8、因式分解 (1)8m2-12mm 解：（1)8m2-12mn =4m2m-3n (2)a2(x-y)+b2(y-x (2)a2(x-y)+b2(y-x 试卷第1页，共3页 =a2(x-y)-b2(x-y) =(x-y(a2-b2） =(x-y)(a+b)(a-b) (3)-x2+4x2-4x (3)-x2+4x2-4x =-x(x2-4x+4) =-x(x-2)2 (4)x2+3x-18 (4)x2+3x-18 =x2+(6-3x+6×-3 =(x+6)(x-3 (⑤x++2到+号 (5)x+1x+2+号 =x2+3x+2+ 4 =+3+号 9、(2025八年级上·全国·专题练习)设n为整数，用因式分解说明 (2m+1)2-25的值能被4整除. 解：(2m+1)2-25 =(2m+1+5)(2m+1-5) =(2+6)(2-4) =4(n+3)(n-2), :n为整数， n+3和n-2均为整数 :(2m+1)-25的值能被4整除 试卷第1页，共3页 10、(24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习)在学习完“因式分解”这章内 容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①x2-xy+6x-6y; ②25-x2-9-6x. 下面是晶晶和小舒的解法： 小舒：25-x2-9-6x 晶晶：x2-xy+6x-6y =52-(x2+6x+32)（分成两组) =(x2-y)+(6x-6y)(分成两组) =52-(x+3)2（直接运用公式》 =x(x-y)+6(x-y(直接提公因式) =(5+x+3)(5-x-3) =(x-y)川x+6 =(8+x)(2-x 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：a2+b2-16-2ab; (2)已知ABC的三边a,b,c满足a2-b2-ac+bc=0,ABC是什么三角形？ 解：(1)解：原式=a2+b2-2ab-16 =(a-b2-42 =(a-b+4)(a-b-4: (2）.'a2-b2-ac+bc=0, ∴.(a+b)(a-b)-c(a-b)=0, ∴.(a+b-c)川a-b)=0. a+b-c>0, ∴.a-b=0, 即a=b, ∴.△ABC是等腰三角形. 二、例题示范 例题示范1： 试卷第1页，共3页 【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中 的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影 部分面积，可以得到乘法公式 (用含a,b的等式表示) 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (1)己知4m2=12+n2,2m+n=4,则2m-n的值为 (2)计算：20242-2025×2023： 【拓展】计算：1002-992+982-972+…+4-32+22-12. d- 斗bK← b 图① 图② 例题示范2：因式分解 (1)n2(m-2)+4(2-m): (2)x2+42-16x2. 解：(1)解：n2(m-2)+42-m =n2(m-2）-4m-2】 =(m-2(n2-4) =(m-2)(n-2)(n+2); (2)解：x2+4-16x2 =(x2+4)}2-(4x) =(x2+4-4x)x2+4+4x =(x-22(x+22. (3)x2+3x-18 (3)x2+3x-18 =x2+(6-3)x+6×-3) 试卷第1页，共3页 =(x+6(x-3); (4)2x2-3x+1 (4)2x2-3x+1 =(2x-1(x-1 (5)因式分解：(x2-3x)2-2x2-3x)-8. 解：(5)原式=(x2-3x)2-2(x2-3x)+1-9 =(x2-3x-1)2-32 =(x2-3x-1+3)(x2-3x-1-3) =(x2-3x+2x2-3x-4) =(&-1x-2Xx-4x+) 例题示范3：阅读材料：若m2-2mn+2n2-4n+4=0,求m,n的值. 解：：m2-2mn+2n2-4n+4=0, .m2-2mn+n2)+n2-4n+4=0, ∴.(m-n)2+(n-2=0, (m-nm2=0,(n-22=0, n=2,m=2. 根据你的观察，探究下面的问题： (1)a2+b2+6a-2b+10=0,则a= b= (2)已知x2+2y2-2y+8y+16=0,求y的值； (3)己知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2-4a-8b+18=0,求 a,b的值。 解：(1)解：.a2+b2+6a-2b+10=0 .a2+6a+9+b2-2b+1=0 ∴.(a+32+(b-1)2=0 .(a+3)2=0,(b-1)2=0 试卷第1页，共3页 ∴.a=-3,b=1 故答案为：-3,1 (2)解：.x2+2y2-2y+8y+16=0 ∴.x2-2xy+y2）+y2+8y+16=0 ∴.(x-y)+y+4)2=0, .(x-y)2=0,(y+4)2=0, ∴y=-4,x=-4, .x灯y=16; (3)解：.2a2+b2-4a-8b+18=0, .(2a2-4a+2+(b2-8b+6)=0, .2(a-1)+(b-4)2=0, .2(a-12=0,(b-4)2=0, .a=1,b=4。 例题示范4：(25-26八年级上·全国·课后作业)317-3可以被20和25之间 的整数整除，求这个数、 解：317-3 =3×(316-1) =3×(38+1)×(3-1) =3×(38+1)×(3+1)×(3-1) =3×(38+1)×(3+1)×(32+1)×(32-1). :3×(32-1)=3×8=24,24是317-3的因数，且是20和25之间的整数， .这个数是24 例题示范5：先分解因式，再求值： (1)a(b-1)+c(1-b)-b+1,其中a=1,b=2,c=3. (2)(2x-1)2(3x+2)+(2x-1)(3x+2)2-x(1-2x)(3x+2),其中 试卷第1页，共3页 x=1 解：(1)解：原式=(b-1)(a-c-1). 当a=1,b=2,c=3时， 原式=(2-1)×(1-3-1)=-3. (2)解：原式=(2x-1)(3x+2)(2x-1+3x+2+x) =(2x-1)(3x+2)(6x+1). 当x=1时，原式=1×5×7=35. 例题示范6：有一种因式分解的方法叫分组分解法.具体做法如下：把 2-2ab+b-c2分解因式 解：原式=（￥-2ab+b2)-c2 =(a-b)2-c2 =(a-b+c)(a-b-c) 请阅读理解上面解法后，解决下列问题： (1)分解因式： ①1--+2mn: ②x-3a2+3a-9: (2)已知m+n=7,m-n=1,求m-2+2m-2n的值. 解：(1)①解：1-m2-n2+2mm =1-（m2+n2-21mn =1-(m-n)2 =(1+m-n1-m+n)月 ②解：a3-3a2+3a-9 =(a3-3a2)+(3a-9) =aa-3)+3a-3) =(a2+3a-3): (2)解：m2-n2+2m-2m =(m2-n2)+2m-n) 试卷第1页，共3页 =(m+n(m-n+2m-n) =(m-n(m+n+2) :m+n=7,m-n=1, (m-nm+n+2=1×(7+2=9 ÷m2-n2+2m-2的值为9。 例题示范7：运用添项法分解因式：-4am-n2+4n. 解：原式=a2-4am+4m2-4m2-n2+4m =(a2-4am+4m2)-(4m2+n2-4mn) =(a-2m)2-(2m-n)2 =(a-2m+2m-n)(a-2m-2m+n) =(a-n)(a-4m+n)。 例题示范8：阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分 通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代 数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题. 例：分解因式x2+4x-5, 解： x2+4x-5=x2+4x+22-2-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x- 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：+2a-3; (2)已知△ABC的三边长a,b,c,且满足+b-6a-8b+25=0,求边c 的取值范围 解：(1)解：a2+2a-3 =a2+2a+1-1-3 =(a+)2-4 =(a+1+2Xa+1-2 =(a+3a-1) 试卷第1页，共3页 (2)解：a2+b-6a-8b+25=0 ∴(a2-6a+9)+(b2-8b+16=0 ∴(a-3+b-4=0 .a-3=0,b-4=0 .a=3,b=4 .4-3<c<4+3 :边c的取值范围为1<c<7 三、评估卷 1、把x2-4x+c分解因式得(x-5)(x+1),则常数c的值为(） A.4 B.-4 C.5 D.-5 【参考答案】D 2、多项式x2+x-6可因式分解成(x+a)(x+b),其中a,b均为整数，则(a+b)25的 值为() A.-1 B.1 C.-2025 D.2025 解：，x2+x-6=x+3)x-2 ∴.a=3,b=-2或a=-2,b=3 .a+b=1 .(a+b2025=12025=1 3、下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是(). A.-a2+b2B.-x2-y2C.49x2-z2 D.16m2-25 【参考答案】B 4、计算：(-2)2024-（-2)2023，结果正确的是（). A.-2 B.2 C.3×22023 D.-22023 解：(-2)2024-(-2)2023 =22024-（-22023) =22024+22023 =2×2023+1×22023 试卷第1页，共3页 期末重点专题专训01 因式分解（诊讲评提闭环专训）数学华师大版八年级上册 一、诊断卷 1、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2、下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3、下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4、若，则的值是(   ) A． B． C． D． 5、观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是（       ） A． B． C． D． 6、设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 7、已知，代数式的值为 A． B．17 C．11 D． 8、因式分解 (1) (2) （3） (4) (5) 9、（2025八年级上·全国·专题练习）设n为整数，用因式分解说明的值能被4整除． 10、（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①； ②． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 二、例题示范 例题示范1： 【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 例题示范2：因式分解 (1)； (2)． 解：（1）解： ； （2）解： ． (3) （3） ； (4) （4） （5）因式分解：． 解：（5）原式 例题示范3：阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， (2)已知 ，求的值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求， 的值。 解：（1）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：，1 （2）解：∵ ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，。 例题示范4：（25-26八年级上·全国·课后作业）可以被20和25之间的整数整除，求这个数． 解： ． ，24是的因数，且是20和25之间的整数， ∴这个数是24 例题示范5：先分解因式，再求值： (1)，其中，，． (2)，其中． 解：（1）解：原式． 当，，时， 原式． （2）解：原式 ． 当时，原式． 例题示范6：有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式 解：原式 请阅读理解上面解法后，解决下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)已知，，求的值． 解：（1）①解： ； ②解： ； （2）解： ，， 的值为9。 例题示范7：运用添项法分解因式：． 解：原式 。 例题示范8：阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例：分解因式． 解：． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围． 解：（1）解： （2）解： ∴ ∴， ， 边的取值范围为 三、评估卷 1、把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 2、多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（    ） A． B．1 C．-2025 D．2025 3、下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 4、计算：，结果正确的是（    ）． A． B．2 C． D． 5、将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 6、多项式能用完全平方式分解因式，则的值为 。 7、已知，，则 ． 8、因式分解： （1） （2） （3） （4） (6) （6） 9、（25-26八年级上·全国·单元测试）能被整除吗？试说明理由． 10、常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：； (3)已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 11、（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 四、提升卷 1、下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2、已知，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3、通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（   ） A． B． C． D． 4、若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 5、如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（   ） A．260 B．290 C．360 D．390 6、已知：关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k等于 ． 7、已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ． 8、若，则的值为 9、已知（为任意有理数），的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 10、阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 问题： (1)该同学没有完成因式分解，请你直接写出最后的结果__________； (2)请你结合以上的思想方法对多项式进行因式分解； (3)若，求的值． 11、我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，，比较M和N的大小，先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为，所以。 (1)图1所示是边长为的正方形边长增加得到的正方形，此正方形的面积为；图2所示是边长为的正方形一边增加，另一边减小，得到的长方形，此长方形的面积为．请用作差法比较与的大小． (2)已知，，请用作差法比较M与N的大小． 12、【阅读材料】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：（1）求的最小值． 解：， ，， 当时，即当时，有最小值，最小值为1． 再如：求的最大值． 原式， ，， 当时，有最大值，最大值为11． 【问题解决】 (1)当______时，代数式有最小值； (2)用“配方法”求代数式的最大值； (3)已知，则______ (4)如图，王叔叔准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $