专题04 导数题型全归纳（题型专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题04 导数题型全归纳目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【解答题破译】 题型01 导数与函数的单调性、极值、最值 题型02 导数与函数的零点 题型03 导数与不等式证明 题型04 导数与三角函数问题 题型05 隐零点问题 题型06 极值点偏移与拐点偏移 题型07 切割线放缩 题型08 必要性探路 题型09 端点值问题 题型10 函数与导数创新问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 导数与函数的单调性、极值、最值 【例1-1】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于－1，求的取值范围； 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. 【例1-2】已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若，求的极值. 【答案】(1) (2)极大值为0，极小值为. 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式直线方程化简即可得解； （2）利用导数法求出单调区间，然后按照极值的定义求解即可. 【详解】（1）当时， ，则， 所以，又切点，所以切线方程为，即. （2）当时，，则， 当时，或，当时，或，当时，， 列表如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，的极大值为， 当时，的极小值为. 1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 2、导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 3、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 4、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 5、若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性 . 【变式1-1】已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 【变式1-2】已知函数． (1)求的极值； (2)求证：． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）求导可得，分析的单调性和符号，进而可得的单调性和极值； （2）构造函数，求导分析单调性和符号，进而分析证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， 且， 因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，又， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值. （2）， 令， 则在上恒成立， 可知为上的增函数，且， 当时，，则； 当时，，则． 当时，． 综上所述：，即． 【变式1-3】已知，其中． (1)当时，求证：是函数的极小值点； (2)求在上的最小值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导函数研究单调性，结合增函数加增函数是增函数得到函数的单调性，通过观察得到，再讨论单调性结合极值的概念进行求解即可； （2）直接求导后，分类讨论出函数的单调性，求出极值和端点的函数值进行比较即可． 【详解】（1）当时，，函数的定义域为，则， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增，∵， ∴当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增， ∴是函数的极小值点． （2），则， 当时，，∴函数单调递增， 当时，，∴函数单调递减， 当时，，∴函数单调递增， 当时，，∴函数单调递减， ，，， ∴在上的最小值为． 题型02 导数与函数的零点 【例2-1】已知函数. (1)若是的极值点，求的值，并说明是极大值点还是极小值点； (2)当时，有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，极小值点 (2) 【分析】（1）求导数，代入极值点即可求得，然后利用导函数得到导数的单调区间，结合解析，得到函数的单调区间，即可判断极值点； （2）分离常数可得，令，求导，作出函数的图象，由题意结合图象可解. 【详解】（1）， 由题意可知，即， ∴， 令，则， ∵时，∴令，则， ∴当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， ∵当时，，即且 ∴当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 故是函数的极小值点. （2）令，可得，令， 则有两个零点，等价于与图象有两个交点， ， 令得，即在上单调递增， 令得，即在上单调递减． 且时，时，， 故的大致图象为： 要使得与图象有两个交点，则. 【例2-2】已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调性区间； (3)若函数，有2个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程. （2）根据导函数正负得出函数的单调性即可； （3）先根据的零点个数得出有两个解，即得有两个交点，再结合函数的单调性及值域即可求参. 【详解】（1）因为， 所以切线斜率为， 又因为， 所以切线方程为，即； （2）因为， 所以当在上单调递减； 当在上单调递增； 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为； （3）因为函数有2个零点，所以有两个解， 转化为函数图象与直线有两个交点， 由（2）知，的单调递减区间为，的单调递增区间为； 所以， 又因为时，时 ， 且；， 所以当时，函数图象与直线有两个交点， 即函数有2个零点时，. 解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种： (1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解. (2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题. (3)将f(x)＝0进行参变分离，转化为a＝g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”. 【变式2-1】已知函数 为实数. (1)讨论 的单调性； (2)若函数 有 3 个零点，且 ，求 的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)1. 【分析】（1）求导后因式分解得，再对分和讨论即可； （2）首先分析或时都不合题意，然后再分析的情况，从而有，再构造新函数求导分析得到的范围，最后分析边界值满足题意即可. 【详解】（1）． 当时，令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，令． ①时，， 或时，时，， 在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在上单调递增； ③当时，， 或时，时，， 在上单调递增，在单调递减． 综上：当时，在单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减． （2）由（1）知，当或时，至多2个零点，不合题意； 当时，在上单调递增,在上单调递减. 而， 在上至多1个零点，在上无零点，不合题意； 在单调递增，在上单调递减． 因为，所以需． 令, 在上单调递减. . 又当时，， 根据函数在上的连续性以及零点存在性定理知在上分别有一个零点． 综上，的最小值为1． 【变式2-2】已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)当时， （i）证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）对函数求导，求出函数在切点处的函数值和导数值，根据切线方程即可求出参数. （2）（i）对函数两次求导，判断单调性，根据零点存在定理确定极小值和零点；（ii）构造新函数，进行化简，求导，判断单调性，进而证之. 【详解】（1）已知，则， 对求导得，则. 因为曲线在点处的切线方程为，所以切线斜率为1， 即，所以，解得. （2）（i）由（1）知，令，对求导得. 则在上单调递增， . 根据零点存在定理，存在，使得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； . 根据零点存在定理，存在，使得； 当时，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在上存在唯一极小值点. ， 根据零点存在定理，存在，使得. 所以在上存在唯一零点. （ii）令， 对求导得， 因为，，所以. 所以，即在上单调递增， 因为是极小值，在上单调递增， 所以，即. 因为在上单调递增，所以. 综上，. 【变式2-3】已知函数在处取得极值. (1)求实数、的值； (2)证明：在上有两个零点，且两个零点的和小于. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得出，，即可求得实数、的值； （2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得在上有两个零点、，推导出，可得出，由，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）由，得. 由题意，得，，解得，， 经检验，符合题意. （2）由（1），得， 令，， 因为当时，， 所以， 所以在上单调递增. 又，， 所以存在唯一的，使得， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 又，，， 所以存在，， 使得，所以有两个零点. 因为， 又，所以， 所以. 因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以. 题型03导数与不等式证明 【例3-1】已知函数． (1)若，，求a的取值范围． (2)当时，． ①判断函数在内的零点个数； ②证明：． 【答案】(1) (2)①答案见解析；②证明见解析 【分析】（1）对不等式进行化简变形，构造新函数，然后求导判断单调性，从而得到，然构造新函数，求导判断单调性求出最值即可求出的范围. （2）①对函数两次求导，根据三种情况分别讨论函数的零点个数；②结合①中的结论可得到，然后令对不等式进行化简即可证明. 【详解】（1）因为，，所以对恒成立． 因为，所以． 由，可得，即，其中，． 令，， 因为，所以在上单调递增． 不等式等价于，所以，所以． 令，则，当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以a的取值范围是． （2）①因为，所以． 令，则． a.当时，因为，所以，，所以恒成立， 此时，在内无零点． b.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，所以单调递增．， 此时，在内无零点． c.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，，所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，所以． 因为，所以在区间内有1个零点， 所以当时，在内的零点个数为0， 当时，在内的零点个数为1． ②证明：由①知，当且时，，所以， 即． 令，则， 所以，，…，， 所以． 【例3-2】已知函数，， (1)讨论函数的单调性： (2)若不等式在上恒成立，求实数的所有取值构成的集合； (3)当时，定义数列满足：，，，证明：，. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性； （2）根据题意可知，根据端点效应可得，并把代入检验即可； （3）根据的单调性和符合分析可得，设，分析可知原题意等价于，构造，，利用导数证明即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， ①当，，可知在上单调递增； ②当，令，解得， 当，，可知在上单调递增; 当，，可知在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为不等式在上恒成立，且， 则，解得， 若，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意； 综上所述：实数的所有取值构成的集合为. （3）当时，由（1）可知在上单调递增， 且，则等价于；等价于； 因为，且， 则，可得， 且，所以， 以此类推可得：，. 设，则， 要证，即为， 等价于，两边乘以， 整理为， 令，， 则，， 令，， 可知在上单调递增，则，即， 可知在上单调递增，可得， 即，所以，. 在进行放缩的时候，转化的本质就是把曲线转化为直线进行简化运算，即用直线代替曲线，在切点处曲线可以近似的用直线代替，但是随着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放缩的精度越来越粗糙，所以有时采用曲线来代替直线. 切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质. 【变式3-1】已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接求导，分析函数的单调性即可； （2）求导可得，设，进而分、、三种情况分析求解即可； （3）由（2）可知，取，，，进而得到，，令，可得，进而结合裂项相消法求证即可. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由，， 则， 设，则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递减， 则，符合题意； 当时，，则在上单调递减， 所以，则， 所以在上单调递减， 则，符合题意； 当时，， （i）当时，，则在上单调递增， 所以，则， 所以在上单调递增，则，不符合题意； （ii）当时，若，则， 所以，则在上单调递减， 所以，则， 所以在上单调递减，则，符合题意； （iii）当时，令，其中， 所以当时，单调递增，则，即， 所以在上单调递增，则，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. （3）由（2）可知，取，得，，则， 所以，， 令，有， 所以， 则，得证. 【变式3-2】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程． (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义和点斜式方程求解； （2）（i）求导，根据有两个极值点得到对应方程有两个根，根据根的判别式和韦达定理建立不等式，求出取值范围； （ii）根据（i）求出函数的极小值点，根据韦达定理进行变形得到，令，，构造函数，利用导数判断单调性，得出结论. 【详解】（1）若，则， 所以， 故所求的切线方程为． （2）（i）． 设为的两个极值点，则是方程的两个实数根，即方程的两个正实数根． 所以解得， 即的取值范围是． （ii）根据（i）可知，当或时，，单调递增，当时，单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，即． 又， 所以． 设，由可知． 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，，即． 【变式3-3】已知函数. (1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (2)若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值； (3)求证：. 【答案】(1)有且仅有1个零点，理由见解析 (2)3 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理判断零点个数； （2）先利用当时不等式成立，得，然后利用导数法证明在区间上恒成立； （3）先由（2）得，于是，利用累加法证明左边；再令，利用导数法研究单调性，求得，于是，利用累加法证明右边，即可证明. 【详解】（1）在区间上的零点个数为1，理由如下： ，当时，， 故在区间上单调递增，又因为， 故在区间上有且仅有1个零点. （2）当时，，于是， 下面证明：在区间上恒成立. 令， 则， 由（1）可知在区间恒成立， 于是在区间上单调递增，所以， 综上，正整数的最小值为3. （3）先证明左边： 由（2）知，在区间上恒成立，即， 于是 ， 累加得： . 再证明右边： 令，则， 由于时，，故存在唯一的，使得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以， 累加得：， 综上，. 题型04 导数与三角函数问题 【例4-1】已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)证明：当时，； (3)求函数的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求出在点处的导函数值，写出切线方程即可. （2）根据函数单调性与导函数的关系，通过单调性，说明不等式恒成立. （3）根据导数说明函数单调性，进而根据函数奇偶性，以及函数单调性，说明函数的最小值，求出结果. 【详解】（1）， 在点处的切线的斜率， 在点处的切线的方程为. （2）设，， ， 因为，恒成立， 在上单调递减； ，即，即， 所以当时，； （3）的定义域是，对于，都有， 且，为偶函数； ，由，得 由（2）知，当时，， 在上单调递增； 因为为偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增 当时，. 【例4-2】已知函数，为的导函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)当时，，求的取值范围； (3)求证：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）设，，求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （3）令，，分，两种情况讨论求证即可. 【详解】（1）由，则， 所以，又， 所以的图象在点处的切线方程为， 即. （2）设，， 所以. 令，， 则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得唯一的极小值，即为最小值. 即，即， 因为当时，， 所以，即的取值范围为. （3）令，， 则， 由（2）知，在上单调递增， 所以当时，， 此时，即在上单调递减， 所以，即，所以. 当时，，，. 所以，即. 所以，即. 综上所述，当时，. (1)三角函数在各个象限符号的变化及周期性, 研究三角函数的零点问题,常用逐个区间分析法. 分段讨论 ①以为端点分区间讨论; ②以三角函数的最值点为端点分段讨论. (2) 根据三角函数的有界性,常利用 及 这两个结论进行放缩. 利用当 时, 进行放缩变形, 实现 “超越式”到 “非超越式” 的转化. 注：①正弦函数:当时,. ②余弦函数:. ③正切函数:当时,. ④数值域:. (3)分离函数:将含有三角函数的式子放到一起. (4)分离参数:转化为函数值域问题. (5)半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率. (6)对一个较复杂的三角函数式,先观察式中几部分之间的联系, 利用换元可使得式子简化, 同时实现了“超越式”到“非超越式”的转化, 换元时须注意新变量的取值范围. 一、利用导数研究三角函数的性质 三角函数的性质主要包含周期性、单调性、奇偶性等,解题时要能够充分利用导数与0的大小来研究函数的性质 【变式4-1】已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若在上恰有2个零点，求m的取值范围； (3)若，是的极值点，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）依题意，将在上恰有2个零点问题转化成与的图象有2个不同的交点问题，求导研究函数在上的单调性，作出其图象数形结合即可求得参数的范围. （3）对求导，根据题设可得，由代入化简并放缩得到，令，求导判断其单调性，得到，即得，则得证. 【详解】（1）当时，，则， ，则， 所以在处的切线方程为，即． （2）因为在上恰有2个零点，所以在上恰有2个解． 当时，在上单调递增，不符合题意，故， 所以在上恰有2个解， 故可得与的图象有2个不同的交点． 令，则， 所以当时，，可得； 当时，，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为， 作出的大致图象如图所示． 由图知，函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点 等价于，解得， 即实数m的取值范围为． （3）因为，所以． 因为是的极值点，所以． 要证，即证． 因为 ． 令，则，由解得， 则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即得证， 故． 【变式4-2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且在上单调递增，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）先确定是上的增函数.再由在上恒成立，得到，即可求解； （3）将问题转化成，构造函数，确定其在上单调递增.进而转化成恒成立，进而可求证. 【详解】（1）当时，，则， ，则， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）令， 则， 因为，所以， 所以恒成立， 所以是上的增函数. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以只需，又， 故. （3）令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证. 令， 则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕. 题型05 隐零点问题 【例5-1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恰有两个零点，记其中一个零点为，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得到，再通过，讨论讨论符号即可求解； （2）由（1）通过函数零点个数确定，，再通过，确定，进而将转换成，构造函数，求导确定单调性即可求证. 【详解】（1），定义域为， ， 当时，，此时在单调递减； 当时，令， 时，在单调递增， 时，，在单调递减， 综上，当时，在单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． （2）由（1）知若在单调递减，至多有一个零点，不合题意． 若，当时，，当时，， 若有两个零点，则，即， ， 要证，即证，即证， ， 即证，即， 令， ， 在单调递减， ，即得证． 【例5-2】已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)当时，，求a的范围； (3)令，证明：当时有极大值，且． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求函数的导数，解导数为零的方程，分区间判断导数的正负，确定函数的单调区间. （2）构造函数，通过多次求导分析函数的单调性，结合端点值分情况讨论，得出参数的取值范围. （3）求的导数，利用导数的单调性与零点存在定理确定极大值点，结合已有结论与构造函数证明不等式. 【详解】（1），，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 在上的单调增区间为，单调减区间为，． （2）令，， ，，，， ，时为增函数， 若，则，由，则， 在单调递增，由，则时， 在单调递增，有，则时， 在单调递增，有，则时， 即在成立， 若，则在有解，即， 在时单调递减，则 在时单调递减，则 在时单调递减，则不成立， ∴综上所述． （3）， ， 在时为减函数，，， ∴存在使得， ∴当时，；当时，； 在单调递增，在单调递减，是的一个极大值点， 由（2）有在恒成立，即① 由则，则需证在恒成立， 令，则，在单调递增，单调递减， ，则②在恒成立， ∴由①②得时， ． 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 【变式5-1】已知函数，. (1)证明：当时，单调递增； (2)证明：当时，有唯一零点； (3)若，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对，求导，当时，所以在上单调递增 （2）令，利用导函数证明在上单调递增，取函数的极限当时， ；当时， ；所以有唯一零点；所以当时，有唯一零点； （3）当时，在上单调递增，所以，与题意矛盾，故，由前面（2）中导函数单调递增而且有一个零点，判断出函数在区间上单调递减；在区间上单调递增；因为，，则，再构造函数，则 ，计算出的值. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以， 所以在上单调递增. （2）由（1）得，，， 令 则， 所以在上单调递增. 当，且时， ，，所以； 当时， ，，所以； 所以有唯一零点. 所以当时，有唯一零点 （3）易得， 由（1）可知当时，在上单调递增， 所以，与题意矛盾， 所以. 由（2）可知当时，有唯一零点. 在区间上，则单调递减； 在区间上，则单调递增； 所以， 所以只需. 因为， 所以， 所以. 令，， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以， 所以. 【变式5-2】已知函数的图像在处的切线的斜率为3． (1)求的值； (2)，且对恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，根据题意，得到，列出方程，求得的值. （2）根据题意，转化为对恒成立，令函数，求得，再令，求得单调递增，结合，得到，且，进而得到，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为函数在处的切线的斜率为，可得， 即，解得. （2）解：由（1）知：函数， 因为对恒成立，可得对恒成立， 令，可得， 再令，可得， 所以在上单调递增， 因为， 所以在上有唯一的实数根，满足，且， 当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增， 所以， 因为且，所以的最大值为. 【变式5-3】已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)讨论函数的零点个数； (3)对任意的恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3) 【分析】（1）求导后分类讨论与的大小关系，由此可分析出的单调区间； （2）将问题转为“讨论与的图象交点个数”，根据条件作出的图象，由此可分析出的零点个数； （3）先分离参数将问题转化为，然后构造函数，利用导数结合隐零点的分析方法求解出，则的取值范围可知. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得或， 当时，，所以在上单调递增； 当时，则，若，，则在上单调递增， 若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增； 当时，则，若，，则在上单调递增， 若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增； 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）的零点个数即为方程解的个数， 则的零点个数即为与的图象交点个数； 令，则，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，时，，且时，恒成立， 作出的图象如下图所示，    当，即时，与的图象无交点，所以无零点， 当或，即或时，与的图象有个交点， 所以有个零点， 当，即时，与的图象有个交点， 所以有个零点； 综上所述，当时，无零点； 当或时，有个零点； 当时，有个零点. （3）因为对任意恒成立，所以对任意恒成立， 所以，令，， 令，所以，所以， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在唯一零点且， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， 令，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，且，所以，所以， 所以，所以， 即的取值范围是. 题型06 极值点偏移与拐点偏移 【例6-1】已知函数．若关于的方程在内有两个根，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用导数求出函数在内的单调性，再利用极值点偏移推理得证. 【详解】函数，求导得， 而， ，则 当时，，则； 当时，，，则， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 由方程在内有两个根，得， 要证，只需证，而， 则只需证，又，就证， 令，求导得则 ， 由，得，则， 因此，函数在上单调递增，即， 而，则，即，所以. 【例6-2】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且，所以，解得． （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得，两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com] （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.[来源:Zxxk.Com] （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 【变式6-1】已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】求函数导数，由函数存在极值点得到，，代入需要证明的不等式中并分离常数得到不等式，再由得到的代数式，从而建立不等式，通过换元后构造函数，并求导数，从而得到函数的单调性，从而知道的最值，然后证明不等式成立. 【详解】． 因为有两个不同的极值点，所以，. 欲证，即证，又， 所以原式等价于①． 由， 得②． 由①②知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即. 【变式6-2】设，曲线在处的切线方程为． (1)求k，b的值； (2)证明：； (3)若存在两根，，且，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）构造函数，求导数，结合函数单调性与导数的关系即可证明结论； （3）先判断的范围，继而将证明转化为证明．从而设，求导数，利用函数的单调性即可证明. 【详解】（1）由题意得，所以，即， 因为，所以点在切线上，即，所以． （2）由（1）知，切线的方程为，所以要证，即证． 设，则， 当时，此时单调递增： 当时，此时单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立．所以． （3）因为，当时，此时单调递减； 当时，此时单调递增，则的极小值为， 且，且小于0，，；且； 因为存在两根且，所以，且． 要证明：，即证．因为在上单调递减， 所以只要证，结合，即证． 设，则， 当时，，则，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 故，所以． 【变式6-3】已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1)的零点为0；在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析的单调性，可得到在上有唯一零点.利用的单调性得到及的解，从而得到判断的单调性； （2）（i）构造新函数，通过分析新函数的单调性，结合的单调性证得，即； （ii）构造新函数，根据新函数的单调性分析，结合的单调性证得，即． 【详解】（1）由函数，得. 所以. 因为恒成立，且在上单调递增. 因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0. 所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 题型07 切割线放缩 【例7-1】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)（i）求在处的切线方程和在处的切线方程； （ii）若方程有两个不同的实根，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）在处的切线为，在处的切线为；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性； （2）（i）根据导数的几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程； （ii）根据单调性可确定，利用（i）中切线对函数进行放缩，可证得与交点的横坐标、与交点的横坐标分别满足、，由此可证得结论. 【详解】（1）由题意知：定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由（1）得：，，又， 在处的切线方程为：，即； 在处的切线方程为：，即. （ii）由（1）知：在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 不妨令，为方程的两根，； 设，， ，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即在上恒成立； 设与交点的横坐标为，则， 又，，； 设，， ，在上单调递减， ，即在上恒成立； 设与交点的横坐标为，则， 又，，； ，， . 【例7-2】已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若存在两个非负零点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数的值，求出切线的斜率，求出切点坐标，然后求解曲线的方程即可； （2）结合（1）的结论和题意可知，只需证明当时，，且，然后分别证明和即可求证. 【详解】（1）由题可知， 因为，所以，在处的切线方程为． （2）存在两个非负零点，设， 由（1）可知在处的切线方程为， 注意到， 所以，在处的切线方程为． 下证：当时，，且． （i）要证，即证，只需证．① 设，故在上单调递增， 故，即恒成立． 要证①，只需证． 当时上式成立；当时，即证， 此时，由于，故， 于是，当时，． （ii）要证，只需证， 即证． 设， 则． 设， 则． 当时，， 当时，，故． 于是恒成立，故在上单调递减． 从而，即恒成立，故在上单调递增， 从而，于是． 设的零点为的零点为， 则． 因为，所以， 因为，所以， 又， 所以， 所以． 1.函数的凹凸性 (1)下凸函数(凹函数)：如图1，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的上方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的下方，我们称f(x)为下凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≥0的函数f(x)为下凸函数. (2)上凸函数(凸函数)：如图2，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的下方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的上方，我们称f(x)为上凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≤0的函数f(x)为上凸函数. 2.切线、割线不等式 (1)对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≥f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当x∈(x1，x2)时，f(x)<(x-x1)+f(x1). (2)对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≤f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当x∈(x1，x2)时，f(x)>(x-x1)+f(x1). 3.剪刀模型 已知函数f(x)为定义域上的下凸函数(或上凸函数)，且图象与y=m交于A，B两点，其横坐标为x1，x2，我们可以利用下凸函数(或上凸函数)的切线与y=m的交点将x1，x2的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理. 如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出交点横坐标的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计. 切割线放缩主要应用在交点横坐标和、交点横坐标差问题中，切割线放缩体现了函数中的化曲为直的思想. 【变式7-1】已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若在定义域上有两解，求证： ①； ②. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出； （2）①令，方程在定义域上有两解，等价转化在上有两个不同的根， 再判断出函数的单调性，求出最值，由直线与函数在上的图象有两个交点，即可证出； ②根据①，再利用“切线夹”原理放缩即可证出． 【详解】（1）因为，所以，即在处的切线方程为． （2）①易得，，因为， 设， 所以，所以在定义域上有两解等价于在上有两个不同的根， 即直线与函数在上的图象有两个交点. 因为，易知当时，，当时， 设，，而，， 所以存在唯一的，使得，即， 故当时，，单调递增，时，，单调递减， 综上可知，当时，，单调递增，时，，单调递减，，所以. 设，， 当，， 设，，则， 当时，，当时，， 故在为增函数，在为减函数， 故，故，， 故，. 当，显然，故时，恒成立. 故， 即方程在定义域上有两解时，，原命题得证. ②由①知，设， 所以，所以在定义域上有两解等价于在上有两个不同的根， 不妨设，且，所以， 设，，所以，所以，， 即，又，所以，，，即， 所以，原不等式得证. 【变式7-2】已知函数，. (1)若，求t的取值范围； (2)若，. （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）若方程有两个不同的实根，，且，，证明：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由题设恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得范围； （2）（i）应用导数几何意义求切线方程；（ii）利用导数研究函数的根得、，且，，即可证. 【详解】（1）由题设恒成立， 设，则， 设，，则，则在上单调递增， ∴，故， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ∴，则； （2）（ⅰ）当时，， ∴，又，， ∴在处的切线方程为，即； （ⅱ）由（ⅰ）知，，则时，时， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∵有两个不同实根，，且， ∴， 设，，则， 令，解得，令，解得， ∴在上单调递减，在上单调递增，， ∴在上恒成立， 设与直线的交点横坐标为，则，即， ∵，， ∴在处的切线方程为， 设与直线的交点的横坐标为，同理可证： ∵， ∴ ∴. 题型08 必要性探路 【例8-1】已知函数． (1)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）a的取值范围是；（2）a的取值范围是． 【解析】（1）由已知，令，又，得． 由题设可得，令，其中， 则直线与函数的图象在上有两个交点， 因为，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为，且， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以函数在上有且仅有2个零点， 故实数a的取值范围是； （2）当时，由已知函数的定义域为， 又恒成立，即在时恒成立， 当时，恒成立，即，又，则， 下面证明：当时，在时恒成立. 由（1）得当时，， 要证明，只需证明对任意的恒成立， 令，则， 由，得， ①当，即时在上恒成立，则在上单调递增， 于是； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 于是， 令，则，则在上单调递增． 于是，所以恒成立， 所以时，不等式恒成立，因此a的取值范围是． 【例8-2】已知函数． （1）求函数在上的最小值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）0；（2）． 【解析】（1）因为， 当且仅当时，，所以在上是增函数， 所以在上的最小值为． （2）根据题意得：， 设， 则． ①当时，当时，由（1）知， 而，所以不恒成立． ②当时，，当时，，当且仅当时，， 所以在上是减函数，所以，即不恒成立． ③当时，， 当时，，当且仅当时，， 所以在上是增函数，所以，即不恒成立. ④当时，，， 当时，，在上是增函数； 当时，，在上是减函数． 所以，即恒成立．综上所述，实数的值为. 【变式8-1】已知函数． (1)当时，讨论在区间上的单调性； (2)若，求的值． 【答案】（1）在区间上的单调递增；（2）的值为1. 【解析】（1）当时， ． 因为，所以． 所以在区间上的单调递增． （2）， 当时，，所以存在，当时， 则在区间上单调递减， 所以当时，，不满足题意 当时，，所以存在，当时， 则在区间上单调递增， 所以当时，，不满足题意，所以． 下面证明时， 由（1）知，在区间上的单调递增， 所以当时， 所以只要证明. 令 令， 则 ①当时，，得 所以，所以， 所以在区间上单调递增 且， 所以，使得. 且当时，；当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增 且， 所以当时，所以在区间上单调递减， 所以当时， ②当时， 因为，所以，所以 所以在区间上单调递减， 且， 所以，使得， 当时，；当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且 所以当时，，综上，的值为1. 题型09 端点值问题 【例9-1】已知函数． （1）当求曲线在处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）的取值范围是，． 【解析】（1）当时，，，， （1），又（1）， 曲线在，（1）处的切线方程为：，即． （2）令，则， 当时，恒成立，即在上单调递增，（1）， ①当时，（1），故（a）在上单调递增，且（1），此时符合题意； ②当时，由（1）及在上单调递增，知， 使得，即，不符合题意，综上，的取值范围是，． 【例9-2】已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是，． 【解析】（1）定义域为，． （ⅰ）当时，对，，函数的单调递增区间是， （ⅱ）当时，时，；当，时，， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是，． （2）函数． （ⅰ）当时，由重要不等式知，， 在，上递增，所以恒成立，符合题意． （ⅱ）当时，因为，，故，在，上递增． 又，存在，使得，从而函数在上递减，在，上递增， 又，不恒成立，不满足题意．综上（ⅰ），（ⅱ）知实数的取值范围是，． 恒成立问题中，我们常常会见到类似的命题：“对于任意的或都有恒成立”（中包含参数），这里的端点往往是使结论成立的临界条件，这种观察区间端点值解决问题的方法，称之为端点效应． 1．适用类型：①不便于参变分离；②参变分离后的函数形式较为复杂； 2．解题步骤： ①移项，将所有变量移到一边，使不等式右边为0； ②计算端点处的函数值，验证端点处的函数值是否为0，若为0，则可继续处理，否则此题不适用于端点分析法. ③若端点处函数值为0，则此时应有f′(a)求出参数取值范围；若端点处函数值为0，且f′(a)，则此时应有求出参数取值范围； ④需证明必要性：求出参数取值范围后，应满足任意的或或 注：区间端点处的函数值恰好是不等式成立的临界值是这类问题的显著特征！ 【变式9-1】已知函数 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当时，若，，求实数m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）m的取值范围是，． 【解析】（1）． 当时，，易知f(x)在R上单调递减． 当时，令，可得；令，可得且， ∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增． 当时，令，可得且；令，可得， ∴在和上单调增，在上单调递减． （2）当时，由，得 即， 令，则 ∵，且，∴存在，使得当时，， ∴，即． 下面证明当时，对恒成立． ∵，且， ∴ 设，∴，可知F(x)在上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， ∴，∴，∴， ∴ 综上，实数m的取值范围为． 【变式9-2】已知函数． (1)若，，求证：有且仅有一个零点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：由题意得，当时，， 故． （i）当时，，记， 则，单调递增，， 所以，即当时，无零点． （ii）当时，，， 即当时，无零点． （iii）当时，． 因为，所以，即单调递增． 又因为，， 所以当时，存在唯一零点．综上，当时，有且仅有一个零点． （2）易知，因此恒成立，则在0的左侧邻域内，是减函数，有，则． 因为， 所以，得是对任意成立的必要条件． 下面证明充分性． 当时，，等价于． 令，，即证． （i）当时，，，即成立． （ii）当时，记，则． 由，得，所以，即单调递增， ，即，，则， 时，，单调递减，时，，单调递增， 因此是的最小值，即，所以恒成立， 所以．综上，． 题型10 函数与导数创新问题 【例10-1】已知函数，的导函数为，其中，若对于任意的，都有，则称函数，满足“性质”. (1)设，求曲线在点处切线的方程； (2)设，，若函数，满足“性质”，求的取值范围； (3)如果正数满足：对于任意满足“性质”的函数，，都有，求的取值集合. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）求出函数的导函数，依题意在上恒成立，分，，，三种情况讨论，求出参数的取值范围，即可得解； （3）首先说明时函数，都不具有性质，当时说明对任意的且都成立，两边取对数得恒成立，即可求出参数的值. 【详解】（1）因为，则，所以， 所以曲线在点处切线的方程为，即； （2）因为，所以， 因为函数，满足“性质”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 当时，此时，不符合题意； 当时， 函数开口向上，当时， 则，不符合题意； 当时，此时由，解得， 所以当时恒成立，即符合题意； 当时，即在上恒成立， 即在上恒成立， 若在上恒成立， 令，则，解得， 所以当时恒成立， 综上所述，的取值范围为. （3）①当时，在上是增函数. 由于，满足性质， 即，与在上是增函数矛盾， 故时函数，都不具有性质. ②当时，若函数，具有性质，则不等式 即对任意恒成立，整理得. 当时，，不满足； 说明对任意的且都成立， 两边取对数得恒成立. 令，则，说明是的极大值点. 而，所以解得. 当时，， 当时，则在上严格增， 当时，则在上严格减， 所以恒成立. 所以的取值集合为. 【例10-2】已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． (1)判断是否为“卓越函数”？ (2)已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； (3)已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【分析】（1）结合定义，找出使得的即可得； （2）结合定义计算可得，构造函数计算即可得； （3）结合定义，构造函数，可得其单调性，则可得，再构造函数，结合导数分类讨论其单调性，结合零点存在性定理得其零点个数即可得解. 【详解】（1）， 则， 则当时，有， 故不是“卓越函数”； （2）， 则， 故在上恒成立， 即有在上恒成立， 令，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故； （3）由为“卓越函数”，则定义域为， 且对任意，有， 则，有则， 设函数，则， ， 故在上单调递增，故， 即存在唯一正实数，使得， 令，，， 当时，，故在上单调递增， 又时，，时，， 故存在唯一正实数，使得，符合题意； 当时，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又时，，时，， 故当时，有唯一正实数解， 由关于的函数在上单调递增， 且当时，有， 故当时，有唯一正实数解； 综上所述：实数的取值范围为或. 【变式10-1】若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． (1)若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； (2)求曲线所有切线的方程； (3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用斜率坐标求出斜率，在应用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数在点处的切线方程，在应用切线的定义求解即可； （3）根据，求得导数，从而求得在点处的切线方程，构造新函数，则有3个零点，应用导数进行讨论即可. 【详解】（1）曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为， 所以. （2），所以. 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即. 设， 因为切线为切线，所以有且仅有1个根， 所以解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为. （3），所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 【变式10-2】在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数.已知曲线. (1)当时，求曲线在点处的曲率； (2)已知曲线在不同的两点处的曲率均为0. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）利用函数在点处的曲率的定义求解. （2）（i）分析可知有两个不同的解，参变量分离可知有两个不同的解，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）由题意得，结合分析将所证不等式等价变形为即证，构造函数，结合函数的单调性求得值域得，结合，令，多次求导得函数的单调性，则有，最后利用的单调性可证得结论. 【详解】（1）. 则. 当时，. 则，所以. （2）（i）依题意即（※）有两个不同的解. 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， .又或时，， 所以时方程（※）有两解.的取值范围为. （ii）由（i）知可设，且， .欲证. 即证， 构造函数. ，在上单调递减，. 即，而， 令. ，通分化简得， 欲证，即证.即证. 令在上单调递减. .即证得在上单调递增，， 对于时，恒成立. 又当时，单调递增，， .即证得. 1．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【详解】（1）依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 2．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，求的取值范围； (3)设有两个零点分别为，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）结合（1）的分析，确定满足的条件，当时，列式从而求得的取值范围； （3）根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围，再将问题转化为，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 且，， 所以， 解得，所以的取值范围． （3）有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在与上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. 因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 所以. 3．已知函数. (1)若，求的值； (2)已知数列满足，且. （i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值. 参考数据：，，. 【答案】(1)1 (2)（i）证明见解析，；（ii）2 【分析】（1）分析函数定义域与单调性，利用的最小值满足非负的条件，确定的值. （2） (i)对数列递推式取倒数变形，构造等比数列，进而求出数列的通项公式. (ii)将前项积取对数转化为和，结合第(1)问的结论放缩求和，估计出积的范围，从而确定的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 由题意可得. 若，则单调递增，当时，，不符合题意； 若，则，令，解得， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时为最小值， 若，则有，不满足题意， 若，则，故. （2）（i）因为， 所以，即， 又，故是以首项为，公比为的等比数列， 故，得， 经检验时同样成立，故. （ii）由，且，可得， 则即， 而， 又， 由（1）可得，则，当且仅当等号成立， 故， 故 ， 故，所以，则，故最小值为2. 4．已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导并化简，令，则或，然后对进行分类讨论，从而得到的单调性； （2）先说明当时，恒成立的必要条件为，再说明是时，恒成立的充分条件，即可得到的取值范围. 【详解】（1） 函数定义域为 ， 当时，=， 令，则或，因为，所以 ①当即时，在区间，内，在区间内； 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减. ②当即时，恒成立，在区间内单调递增； ③当即时，在区间，内，在区间内 ， 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减. （2） 由题知，令， 则，因当时，恒成立，且， 则必有，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设; 综上，a的取值范围为. 5．已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【答案】(1)是压缩函数. (2) (3)证明过程详见解析. 【分析】（1）根据压缩函数的定义，判断对于任意，是否都有成立. （2）根据压缩函数的定义，得到关于的不等式，进而求出的取值范围. （3）结合压缩函数的定义，分充分性和必要性进行证明.在充分性证明时，先证明函数连续，再用反证法假设函数不单调，借助极值点附近函数值与极值的大小比较，推出矛盾即证. 【详解】（1）已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数. （2）因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得； 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上，的取值范围为. （3）（必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有. 证明：若在上单调， ①若在上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若在上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证. （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即的图象在上连续不断. 下面用反证法证明. 假设在上不是单调函数，又的图象连续不断， 则存在实数，使得在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即在上是单调函数，充分性得证. 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有. 6．已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再求出导函数的零点并判断单调性即可得极值点. （2）（i）利用导数求出函数的极值点，再求出并利用等比数列的定义推理得证；（ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【详解】（1）函数， 求导得， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以. （2）（i）函数，求导得 ，其中， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 则函数在上递增， 在上递减， 又，则， ，， 且，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，则只需证，即证，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 7．已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，证明：在上恒成立； (3)存在，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，单调递增；当时，单调递减； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）若，，求导分析可得的单调性； （2）令，求导并利用单调性证明即可； （3）令，则，原不等式可转化为存在使得成立，根据符号进行参变分离，然后构造函数，，求导后分析其单调性即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，所以， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； （2）当时，， 要证，即证在上恒成立； 令，，则在上单调递减， 因为，，所以存在唯一的，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以在上恒成立，即在上恒成立； （3）令，则，则，因为存在，不等式成立， 即存在使得不等式成立， 当时，不等式不成立； 当时，，成立； 令，，则，， 因为，，故； 令，，则， 所以在上单调递增，所以，即， 又当时，，所以， 所以当时，， 所以在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且； 故，即实数的取值范围为. 8．已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合导数，分及进行讨论即可得； （2）将不等式化简后可令，可得在上单调递增，结合导数正负与单调性的关系求导后参变分离计算即可得. 【详解】（1），， 则当时，，故在上单调递减， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题意可得， 整理得，令， 即对任意的，，当时，都有， 即在上单调递增， ， 则对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 由在上单调递增，则， 故. 9．已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，根据，求得，结合函数的单调性和极值点定义，即可求解； （2）由（1）中，函数的单调性，求得的极值，画出函数的图象，转化为函数与的图象有三个公共点，即可图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为在处取极值，可得，解得， 当时，， 当或时，；当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 故满足在处取极值，所以. （2）解：由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以，， 由于当时，，时，， 时，，当时，， 画出函数的图象，如图所示， 又因为方程有3个实数根时，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得， 所以恰有3个零点时，实数的取值范围为. 10．设函数且. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)证明：“”是“”的充分不必要条件； (3)若不存在零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先判断充分性，当时，等价于，设，，，利用导数分析函数的单调性，进而判断即可，再举例判断必要性即可求证； （3）求导得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 故， 则函数在点处的切线方程为. （2）当时，，故等价于. 设，，，则， 令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 故，即充分性成立； 当时，满足，但，， 显然不满足，即必要性不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. （3）由，则. 若，即，此时或恒成立，则在上单调， 当时，，此时，所以，所以； 当时，，此时，所以，所以. 综上所述，， 所以由零点存在定理可知，当时，在区间上存在一个零点，不符合题意，当时，在区间上存在一个零点，不符合题意. 若，即，令，解得，即， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 若，则存在零点，不符合题意； 若，则为的零点，不符合题意； 故，即，又， 故，即，则. ①当时，等价于，故. 由（2）可知，当时，单调递增，且，此时的取值范围是； ②当时，等价于，故. 由（2）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 故此时的取值范围是. 综上所述，的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数题型全归纳目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【解答题破译】 题型01 导数与函数的单调性、极值、最值 题型02 导数与函数的零点 题型03 导数与不等式证明 题型04 导数与三角函数问题 题型05 隐零点问题 题型06 极值点偏移与拐点偏移 题型07 切割线放缩 题型08 必要性探路 题型09 端点值问题 题型10 函数与导数创新问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 导数与函数的单调性、极值、最值 【例1-1】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于－1，求的取值范围； 【例1-2】已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若，求的极值. 1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 2、导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 3、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 4、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 5、若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性 . 【变式1-1】已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【变式1-2】已知函数． (1)求的极值； (2)求证：． 【变式1-3】已知，其中． (1)当时，求证：是函数的极小值点； (2)求在上的最小值； 题型02 导数与函数的零点 【例2-1】已知函数. (1)若是的极值点，求的值，并说明是极大值点还是极小值点； (2)当时，有两个零点，求实数的取值范围. 【例2-2】已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调性区间； (3)若函数，有2个零点，求a的取值范围. 解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种： (1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解. (2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题. (3)将f(x)＝0进行参变分离，转化为a＝g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”. 【变式2-1】已知函数 为实数. (1)讨论 的单调性； (2)若函数 有 3 个零点，且 ，求 的最小值. 【变式2-2】已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)当时， （i）证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点； （ii）证明：. 【变式2-3】已知函数在处取得极值. (1)求实数、的值； (2)证明：在上有两个零点，且两个零点的和小于. 题型03导数与不等式证明 【例3-1】已知函数． (1)若，，求a的取值范围． (2)当时，． ①判断函数在内的零点个数； ②证明：． 【例3-2】已知函数，， (1)讨论函数的单调性： (2)若不等式在上恒成立，求实数的所有取值构成的集合； (3)当时，定义数列满足：，，，证明：，. 在进行放缩的时候，转化的本质就是把曲线转化为直线进行简化运算，即用直线代替曲线，在切点处曲线可以近似的用直线代替，但是随着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放缩的精度越来越粗糙，所以有时采用曲线来代替直线. 切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质. 【变式3-1】已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：. 【变式3-2】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程． (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 【变式3-3】已知函数. (1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (2)若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值； (3)求证：. 题型04 导数与三角函数问题 【例4-1】已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)证明：当时，； (3)求函数的最小值. 【例4-2】已知函数，为的导函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)当时，，求的取值范围； (3)求证：当时，. (1)三角函数在各个象限符号的变化及周期性, 研究三角函数的零点问题,常用逐个区间分析法. 分段讨论 ①以为端点分区间讨论; ②以三角函数的最值点为端点分段讨论. (2) 根据三角函数的有界性,常利用 及 这两个结论进行放缩. 利用当 时, 进行放缩变形, 实现 “超越式”到 “非超越式” 的转化. 注：①正弦函数:当时,. ②余弦函数:. ③正切函数:当时,. ④数值域:. (3)分离函数:将含有三角函数的式子放到一起. (4)分离参数:转化为函数值域问题. (5)半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率. (6)对一个较复杂的三角函数式,先观察式中几部分之间的联系, 利用换元可使得式子简化, 同时实现了“超越式”到“非超越式”的转化, 换元时须注意新变量的取值范围. 一、利用导数研究三角函数的性质 三角函数的性质主要包含周期性、单调性、奇偶性等,解题时要能够充分利用导数与0的大小来研究函数的性质 【变式4-1】已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若在上恰有2个零点，求m的取值范围； (3)若，是的极值点，求证：． 【变式4-2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且在上单调递增，求的取值范围； (3)证明：当时，. 题型05 隐零点问题 【例5-1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恰有两个零点，记其中一个零点为，证明：． 【例5-2】已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)当时，，求a的范围； (3)令，证明：当时有极大值，且． 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 【变式5-1】已知函数，. (1)证明：当时，单调递增； (2)证明：当时，有唯一零点； (3)若，，求的值. 【变式5-2】已知函数的图像在处的切线的斜率为3． (1)求的值； (2)，且对恒成立，求的最大值． 【变式5-3】已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)讨论函数的零点个数； (3)对任意的恒成立，求的取值范围； 题型06 极值点偏移与拐点偏移 【例6-1】已知函数．若关于的方程在内有两个根，证明：． 【例6-2】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com] （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.[来源:Zxxk.Com] （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 【变式6-1】已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【变式6-2】设，曲线在处的切线方程为． (1)求k，b的值； (2)证明：； (3)若存在两根，，且，证明：． 【变式6-3】已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 题型07 切割线放缩 【例7-1】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)（i）求在处的切线方程和在处的切线方程； （ii）若方程有两个不同的实根，证明：. 【例7-2】已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若存在两个非负零点，求证：． 1.函数的凹凸性 (1)下凸函数(凹函数)：如图1，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的上方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的下方，我们称f(x)为下凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≥0的函数f(x)为下凸函数. (2)上凸函数(凸函数)：如图2，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的下方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的上方，我们称f(x)为上凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≤0的函数f(x)为上凸函数. 2.切线、割线不等式 (1)对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≥f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当x∈(x1，x2)时，f(x)<(x-x1)+f(x1). (2)对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)≤f'(x0)(x-x0)+f(x0)，当x∈(x1，x2)时，f(x)>(x-x1)+f(x1). 3.剪刀模型 已知函数f(x)为定义域上的下凸函数(或上凸函数)，且图象与y=m交于A，B两点，其横坐标为x1，x2，我们可以利用下凸函数(或上凸函数)的切线与y=m的交点将x1，x2的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理. 如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出交点横坐标的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计. 切割线放缩主要应用在交点横坐标和、交点横坐标差问题中，切割线放缩体现了函数中的化曲为直的思想. 【变式7-1】已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若在定义域上有两解，求证： ①； ②. 【变式7-2】已知函数，. (1)若，求t的取值范围； (2)若，. （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）若方程有两个不同的实根，，且，，证明：. 题型08 必要性探路 【例8-1】已知函数． (1)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【例8-2】已知函数． （1）求函数在上的最小值； （2）若，求实数的值． 【变式8-1】已知函数． (1)当时，讨论在区间上的单调性； (2)若，求的值． 题型09 端点值问题 【例9-1】已知函数． （1）当求曲线在处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围． 【例9-2】已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 恒成立问题中，我们常常会见到类似的命题：“对于任意的或都有恒成立”（中包含参数），这里的端点往往是使结论成立的临界条件，这种观察区间端点值解决问题的方法，称之为端点效应． 1．适用类型：①不便于参变分离；②参变分离后的函数形式较为复杂； 2．解题步骤： ①移项，将所有变量移到一边，使不等式右边为0； ②计算端点处的函数值，验证端点处的函数值是否为0，若为0，则可继续处理，否则此题不适用于端点分析法. ③若端点处函数值为0，则此时应有f′(a)求出参数取值范围；若端点处函数值为0，且f′(a)，则此时应有求出参数取值范围； ④需证明必要性：求出参数取值范围后，应满足任意的或或 注：区间端点处的函数值恰好是不等式成立的临界值是这类问题的显著特征！ 【变式9-1】已知函数 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当时，若，，求实数m的取值范围． 【变式9-2】已知函数． (1)若，，求证：有且仅有一个零点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 题型10 函数与导数创新问题 【例10-1】已知函数，的导函数为，其中，若对于任意的，都有，则称函数，满足“性质”. (1)设，求曲线在点处切线的方程； (2)设，，若函数，满足“性质”，求的取值范围； (3)如果正数满足：对于任意满足“性质”的函数，，都有，求的取值集合. 【例10-2】已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． (1)判断是否为“卓越函数”？ (2)已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； (3)已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 【变式10-1】若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． (1)若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； (2)求曲线所有切线的方程； (3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【变式10-2】在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数.已知曲线. (1)当时，求曲线在点处的曲率； (2)已知曲线在不同的两点处的曲率均为0. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 1．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值． 2．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，求的取值范围； (3)设有两个零点分别为，求证：. 3．已知函数. (1)若，求的值； (2)已知数列满足，且. （i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值. 参考数据：，，. 4．已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 5．已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 6．已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 7．已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，证明：在上恒成立； (3)存在，不等式成立，求实数的取值范围. 8．已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 9．已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围. 10．设函数且. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)证明：“”是“”的充分不必要条件； (3)若不存在零点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $