精品解析：江苏省苏州中学校2025-2026学年高三上学期第十七周周练数学试卷

高三数学第十七周周练 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题卡上. 第I卷（选择题，共50分） 一、单项选择题：本部分共8小题，在每小题所给出的四个选项中，仅有一项符合题意.每小题4分，共32分. 1. 复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，再由复数的几何意义即可判断结果. 【详解】由可得， 则对应的点位于第一象限. 故选：A. 2. 已知集合，，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题对进行分类讨论，根据不同的值验证是否满足集合元素互异性即可. 【详解】由得：， ①若 时， ，此时，，满足 ，符合题意； ②若 时， 集合，不满足集合元素互异性，故舍去； ③若 时，则有 ，解得  或 ， 当 时，， ，满足 ，符合题意； 当 时，集合，不满足集合元素互异性，故舍去. 综上，实数 的取值集合为 . 故选：B 3. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充要条件的判定方法，结合直线与平面平行的定义即可判断. 【详解】由直线平面，易知直线与平面没有公共点，故直线与平面内的任意直线都没有公共点，故充分性成立； 又由直线与平面内的任意直线都没有公共点，即直线与平面没有任何公共点，则直线平面，故必要性成立. 故“直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的充要条件. 故选：C. 4. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，求出圆锥的高，从而求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的高为，因为底面半径，由体积，解得， 圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积为. 故选：B 5. 已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】应用平均数、方差的求法，用表示出，即可得. 【详解】由，则， 设的平均数为， 所以. 所以， 而， 因为互不相等， 所以. 故选：C. 6. 定义在R上的函数是周期为的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性和周期性求值. 【详解】函数是周期为的偶函数，当时，， 则. 故选：B. 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的性质以及化同底对数即可判断大小. 【详解】因为，，，，所以， 比较和，，，所以， 再比较，，，，所以， 故. 故选：C 8. 已知三棱柱的所有棱长均为，，则异面直线，间的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将异面直线距离问题转换为两平行平面的距离问题，构造并证明，再由距离的定义求出最大值. 【详解】 线段中点为，连接，，连接. 三棱柱的所有棱长均为，所以四边形是菱形，故. 因为，，平面，且与相交于点，所以平面. 因为平面，所以. 因为是等边中边上的中线，所以. 又因为平面，且与相交于点，所以平面. 因为平面，所以.即. 由勾股定理得，. 平面，平面，且平面平面，所以异面直线与的距离，即平面与平面的距离.设该距离为. 过作平面，垂足为，故. 所以异面直线与的距离最大值为. 故选：C 二、多项选择题：本部分共3小题，在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选、不选不得分，共18分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是单调递增函数 C. 的图象关于点对称 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确；根据导数的运算法则，求得，可判定B正确；根据，可判定C错误；根据题意，得到，求得，结合函数单调性，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，可得的定义域为，关于原点对称， ，， 所以， 即，所以为奇函数，所以A正确； 对于B，由， 因此在上单调递增，所以B正确； 对于C，由，可得的图象不关于点对称，所以C错误； 对于D，由，可得， 即，所以， 因为在上单调递增，所以，因此，所以D正确． 故选：ABD． 10. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（ ） A. B. 当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C. 一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D. 若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法和条件概率进行逐项分析即可判断. 【详解】对于，当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72， 则 ，解得，所以选项A正确； 对于，发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收有两种情况： 第一种情况是第一次发送1接收为1，第二次发送1接收为0，其概率为； 第二种情况是第一次发送1接收为0，第二次发送1接收为1，其概率为。 根据互斥事件概率加法公式，恰有一次被正确接收的概率为， 所以选项B错误； 对于, 一次发信后被接收为信号“1”有两种情况： 第一种情况是发送0收为1其概率为； 第二种情况是发送1收为1其概率为， 根据互斥事件概率加法公式， 一次发信后被接收为信号“1的概率为， 所以选项C正确； 对于，设事件表示“一次发信后被接收为信号1，事件表示“接收正确”。 由前面计算可知，表示发送1接收为1概率， 即，根据条件概率公式可得， 所以选项D正确. 故选：． 11. 已知动点序列与圆，设表示到圆上的点的最短距离．则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，的面积满足 D. 当时，记，则满足 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，得到点到圆上的点的距离为，结合二次函数的性质，可判定A错误；当时，得到，可判定B正确；求得的面积的表达式，结合数列单调性的判定方法，可判定C错误；当时，得到，并结合数列的求和公式，可判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心，半径为，且， 对于A，点到圆上的点的最短距离为，可得，所以A错误； 对于B，当时，可得，所以，所以B正确； 对于C，， 整理得， 因为函数单调递减，可得， 又因为，所以，所以数列单调递增，所以C错误； 对于D，当时，，故， 所以， 可得，所以D正确． 故选：BD． 第II卷（非选择题，共100分） 三、填空题：本部分共3小题，每小题5分，共15分. 12. 3名学生和2名老师随机排成一行，2名老师不相邻，则不同排法的种数为_______． 【答案】72 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题列式求解. 【详解】先排3名学生，有种方法，再把2名老师插入间隙中，有种方法， 所以不同排法的种数为. 故答案为：72 13. 若实数满足，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法结合函数的性质化简已知等式求出的关系，再利用基本不等式求出的最小值. 【详解】令，，则，， 由题知，则， 所以， ， 所以 令，则，， 则，当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 14. 已知函数若，则_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据分段函数的定义，分情况讨论的取值范围，再进一步求出的值. 【详解】设，则， 当时，，由，可得； 当时，，由，两边同时立方可得； 当时： 若，，根据对数的定义可得​； 若，，由，两边同时立方得，但，不满足这个条件，舍去；  当时： 若，，根据对数定义可得； 若，，两边同时立方得；  综上，或或. 故答案为：或或. 四、解答题：本部分共6小题，共85分.作答时，应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤. 15. 在锐角三角形中，设角所对的边分别为，已知且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理求得，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，根据为锐角三角形，求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，可得， 由（1）知，可得， 得， 因为为锐角三角形，可得 ，即，解得， 所以，可得，所以 即，所以的取值范围为． 16. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点在棱上． （1）若为的中点，证明：； （2）若两条异面直线所成角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明： 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）2 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，得到，结合条件证明平面，得证； （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，利用夹角公式列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 设， 则． 设异面直线与所成角为， 则 ， 整理得，解得或（舍去）， 所以，所以. 17. 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1）根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 认为是否喜欢体育运动与性别有关联 （2） X 0 1 2 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据时间分组统计表，完成列联表，根据参考公式计算，对照附表作出相应判断. （2）根据(1)中的列联表，求出分层随机抽样抽取的8人中的男女人数，并求出随机变量X的可能取值及对应的概率，写出相应分布列，求得数学期望. 【小问1详解】 列联表如下： 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 零假设为：是否喜欢体育运动与性别无关联． 根据列联表可得， 所以，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联． 【小问2详解】 从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人， 则男生抽取人数为，女生抽取人数为． X的所有可能取值为0，1，2，其中，，. 则X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望． 18. 已知是曲线与轴的交点，点，在曲线上，且点异于点，直线与相交于点，直线与相交于点． （1）若点的坐标为，求曲线的焦点坐标； （2）若为坐标原点，直线与相交于点，直线与相交于点．求证：，，成等比数列． 【答案】（1）与． （2） 设点，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立解得， 同理，， ． 因此，． 另一方面，，得． ． 因此，即成等比数列． 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入曲线方程即可求得的值，从而求得，即可得到焦点坐标. （2）设，，，由坐标写出直线，方程，联立方程组求得交点横坐标，并证明，由此得到点横坐标.然后由直线方程求得点的横坐标，即可证明，即可得证，，成等比数列． 【小问1详解】 将点的坐标代入曲线方程得， 得， 故， 因此曲线的焦点坐标为与． 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）求曲线经过点的切线方程； （2）若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设切点为，求得切线方程为，将坐标代入，求得，进而得到切线方程； （2）把不等式转化为恒成立，令，求得为增函数，结合，，得到，使得，得到，求得，得出的单调性和最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 设切点为，则切线方程为， 将坐标代入，可得，即， 可得，所以，所以切线方程为． 【小问2详解】 解：因为函数，， 由不等式，可得，所以恒成立， 令，则， 令，，所以在为增函数， 因为，，故，使得， 即，可得，所以， 又由函数，可得，所以在单调递增， 所以，即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，所以， 所以实数的取值范围为． 20. 已知数列满足，其中，． （1）若，证明：对任意的正整数，都有成立． （2）若， （ⅰ）试探究是否存在满足条件的，使得，若存在则求出一组的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）取为的小数部分，其中，，求的值． 【答案】（1） 因为且，可得， 两式相减，可得，即 又因为，所以，则， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，故， 又由 ， 所以，即对任意的正整数，都有成立. （2）（ⅰ） 由，，， 代入可得， ，所以，所以不存在满足条件的； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，两式相减，求得，得到为等比数列，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可求解； （2）根据题意，得到，（ⅰ）求得，即可得到结论；（ⅱ）由（i）得到，求得与的小数部分相等，证得是周期数列且周期为，得到，不妨设，求得，结合数列的周期性，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，可得． （ⅰ）略 （ⅱ）由（i）可得， 当时，，，所以的情况与相同； 当时，设，则，， ，故的小数部分与的小数部分相等， 所以与的小数部分相等． 又由，故，所以是周期数列且周期为， ， 不妨设，则，，，则， 因此， 当时，而，故， 所以数列是周期数列，周期为， 不妨设，则，，， 因此，．同上可得， 综上所述，无论与如何选取，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学第十七周周练 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题卡上. 第I卷（选择题，共50分） 一、单项选择题：本部分共8小题，在每小题所给出的四个选项中，仅有一项符合题意.每小题4分，共32分. 1. 复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 6. 定义在R上的函数是周期为的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱柱的所有棱长均为，，则异面直线，间的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本部分共3小题，在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选、不选不得分，共18分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是单调递增函数 C. 的图象关于点对称 D. 若，则 10. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（ ） A. B. 当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C. 一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D. 若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 11. 已知动点序列与圆，设表示到圆上的点的最短距离．则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，的面积满足 D. 当时，记，则满足 第II卷（非选择题，共100分） 三、填空题：本部分共3小题，每小题5分，共15分. 12. 3名学生和2名老师随机排成一行，2名老师不相邻，则不同排法的种数为_______． 13. 若实数满足，则的最小值为_______． 14. 已知函数若，则_______． 四、解答题：本部分共6小题，共85分.作答时，应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤. 15. 在锐角三角形中，设角所对的边分别为，已知且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 16. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点在棱上． （1）若为的中点，证明：； （2）若两条异面直线所成角的余弦值为，求的值． 17. 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1）根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知是曲线与轴的交点，点，在曲线上，且点异于点，直线与相交于点，直线与相交于点． （1）若点的坐标为，求曲线的焦点坐标； （2）若为坐标原点，直线与相交于点，直线与相交于点．求证：，，成等比数列． 19. 已知函数． （1）求曲线经过点的切线方程； （2）若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知数列满足，其中，． （1）若，证明：对任意的正整数，都有成立． （2）若， （ⅰ）试探究是否存在满足条件的，使得，若存在则求出一组的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）取为的小数部分，其中，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $