海南省海口市第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2026届高三9月考试 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合，,则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 3．设为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A． B． C．1 D．2 7．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 8． 已知数列满足，且函数． 当时，函数恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．在正方体中，E，F分别为和的中点，下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的正切值为 D． 10．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 11．已知函数有两个零点，则下列说法正确的是（   ） A．不存在负数满足条件 B．的值可以取 C．的值可以取 D．的值关于单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前n项和为，，，则 ． 13．若向量、满足，，则 ． 14．已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值. 16．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 17．图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求证：； (2)棱上存在一点，当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的正弦值． 18．在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是． (1)求中国队以的比分获胜的概率； (2)设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求； (3)假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望． 19．已知函数且. (1)求函数的最大值； (2)若，求的值； (3)求证：（其中是自然对数的底数）. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三9月考试（答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D C A A B B BCD BC ABD 12． 13． 14． 14.【详解】由题意得，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 则，又时，，时，， 可知函数的图象如下图所示，令，，由方程有三个不等的实根，即有两个不等的实根， 即有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内，令，，则有两个不等的实根，设为，则，所以不妨令，则，，解得， 15．【详解】（1） ， …………3分 所以的最小正周期 …………4分 令，解得，对称轴方程为. ……6分 （2），， …………8分 当，即时，，取得最大值， …………12分 所以在区间上的最大值为，此时. …………13分 16．【详解】（1）设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得，解得， …………4分 所以抛物线的方程为 .…………5分 （2）由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点， 设直线：，，，…………6分 则，联立化简得，…………8分 所以，，， 又，则，所以联立方程，解得， …………12分 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长，得， 将，，代入上式，可得， 又，得. …………15分 17．【详解】（1）连接，交于点，因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，又平面， 所以平面，又平面，所以． …………5分 （2）因为是直二面角，且是二面角的平面角， 所以，又， 故分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图由题意，、、、． 则，，， …………8分 设，则， 则， 平面的一个法向量为，由题意，得. 所以，解得. …………11分 此时，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则. ∴， …………13分 则，∴， 所以二面角的正弦值为． …………15分 18．【详解】（1）设中国队以的比分获胜的事件为， 则. …………3分 （2）在韩国队先胜第一局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况： ①中国队连胜3局，此时的概率为：； …………5分 ②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局， 此时概率为：； …………8分 所以. …………9分 （3）由题意知， …………10分 则， ， ， …………15分 所以的分布列为： 3 4 5 则. …………17分 19．【详解】（1）函数的定义域为，求导得，…………1分 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， …………3分 所以函数在处取得最大值. …………4分 （2）函数的定义域为，求导得， ①当时，恒成立，在单调增，而，不符合题意； ②当时，由，得；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，………8分 由恒成立，得， 由（1）知，则，解得，所以. …………10分 （3）由（1）知，即，则，即， 因此，即，则（当且仅当时取等号），…………14分 取，得，则， 所以. …………17分 学科网（北京）股份有限公司 $