浙江省杭州第四中学2025-2026学年高三上学期第四次月考数学试题

杭州第四中学2025学年第一学期高三年级第四次月考 数学参考答案 [选择题] 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D A A D B ABD ABC 题号 11 答案 ABD [填空题] 12． 13． 14． [解答题] 15．（1）因为服从正态分布，所以，． 因为，所以， 所以． 因此，进入面试的人数约为159． （2）由题意可知，的可能取值为， 则； ； ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以． 16．（1）因为各项不为0的数列满足（，）， 两边同时取倒数，可得，所以， ，，解得， 数列为等差数列，且公差为3，首项为 （2）由（1）可得，， 对任意恒成立，对任意恒成立， 令， 当时，；当时，； 当时，单调递增，， 所以，所以实数的取值范围为 17．（1）因为椭圆方程为，所以， 所以椭圆的长轴长为，离心率为 （2）因为直线的斜率为1，过右焦点，所以该直线的方程为. 联立直线方程与椭圆方程得，化简得 设，，根据韦达定理得： 所以 所以 （3）设直线的方程为，设，， 联立椭圆，得：，由韦达定理：， 由题意，，即， 则， 即，解得， 所以直线的方程为 18．（1）； （2）； （3）第一种情况，两边在一个三角形内时：  假设，时，E为D在底面射影， 由题意得，假设中点为，连结，假设， 则，，即， 解得，则且， 即，故，则， 综上，； 第二种情况，两边不在一个三角形内时： 假设，， 发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，在减小但总是存在的，故， 假设，，取中点，连接，， 则，由两边之和大于第三边可知：， 解得，故； 综上所述， 19．（1）， 函数有三个零点，因此，即得 （2）由（1）可知，的单调递增区间为，， 单调递减区间为 一方面，注意到，且， 取，， 取，， 由零点存在定理可知，在区间内存在零点 另一方面，注意到，， 由，可知，因此同样为函数的零点，且 综上可知，，， 即证为定值 （3）由题意，，， 得，， 得， 由（2）可知，即得， 当时，由不等式，可知， 即得， 设，则， 解得， 则 答案第10页，共10页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $杭州第四中学2025学年第一学期高三年级第四次月考 数学试题卷 命题:步一隽 审题:韩扬 2025年12月 考生须知: 1.本试卷分试题卷和答题卷,满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号,并填涂卡号。 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效。 4.考试结束,只上交答题卷。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足,则( ) A. B. C. D. 3.函数的最小正周期和最大值分别为( ) A.和 B.和 C.和 D.和 4.已知向量,,若与垂直,则( ) A. B. C. D. 5.已知双曲线的两个焦点分别为,,点在该双曲线上,则该双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 6.正三棱台高为,上下底边长分别为和,所有顶点在同一球面上,则该球的表面积为( ) A. B. C. D. 7.记的内角,,所对的边分别为,,,若,,则( ) A. B. C. D. 8.设定义在上的函数,若,,下列条件可确保恒成立的为( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,不选或有错选的得0分。 9.已知抛物线()的焦点为,是经过抛物线焦点的弦,是线段的中点,经过点, ,作抛物线的准线的垂线,,,垂足分别是,,,其中交抛物线于点,连接,, ,,则下列说法正确的是( ) A. B. C.是线段的一个三等分点 D. 10.在生产生活中,人们常用十进制计数,而本福特定律说明在进位制中,以数字()起头的数出现的概率为,此定律可用于检查数据造假等问题现定义,则( ) A.表示十进制中以数字起头的数出现的概率 B.曲线关于点对称 C.(,,,) D. 11.在棱长为的正方体中,设点为侧面上的一动点,则下列结论正确的是( ) A.若点总保持,则动点的轨迹是一条线段 B.若点到点的距离为,则动点的轨迹是一段圆弧 C.若到直线与直线的距离相等,则动点的轨迹是一段抛物线 D.若到直线与直线的距离比为,则动点的轨迹是一段双曲线 三、填空题:本题共3个小题,每小题5分,共15分。 12.已知,,则 13.某商店组织了一场盲盒抽奖活动,组织方共准备了个盲盒,其中有个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒,正在犹豫是否打开的时候,组织方拿走了一个没有奖品的盲盒,最终甲选择了另外一个盲盒打开,记甲中奖的概率为,则 14.已知函数有两个极值点,()若存在,使得成立,则的取值范围为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(分)面试是求职者进入职场的一个重要关口,也是机构招聘员工的重要环节某科技企业招聘员工,首先要进行笔试,笔试达标者才能进入面试.面试环节要求应聘者连续回答个问题,第一题考查对公司的了解,答对得分,答错不得分;第二题和第三题均考查专业知识,每道题答对得分,答错不得分. (1)根据近几年的数据统计,应聘者的笔试得分服从正态分布,要求满足为达标.现有人参加应聘,求进入面试环节的人数(结果四舍五入保留至整数) (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为,后两题答对的概率均为,每道题是否答对互不影响,求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望 附:若,,则, 16.(分)各项不为的数列满足(,),且 (1)求证:数列为等差数列; (2)若对任意恒成立,求实数的取值范围 17.(分)已知在平面直角坐标系中,椭圆,其右焦点为,过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,两点 (1)求椭圆的长轴长和离心率; (2)若直线的斜率为,求的面积; (3)若,求直线的方程 18.(分)已知在四面体中,有条棱长为,其余条棱长为 (1)当时,求二面角的余弦值; (2)当时,求四面体体积的最大值; (3)当时,求的取值范围 19.(分)已知,函数有三个零点,,() (1)证明:; (2)证明:为定值; (3)证明: 试卷第4页,共4页 试卷第1页,共4页 学科网(北京)股份有限公司 $