河南南阳市方城县第一高级中学2026-2027学年高一上学期开学考试数学试题

**基本信息** 聚焦初高中数学衔接，通过基础巩固与分层能力设计，检测抽象思维、逻辑推理及模型应用能力，适配高一新生入学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合真子集（1）、函数单调性（3）|以幂函数图像辨析（6）考查几何直观，体现数学眼光| |多选|3/18|函数定义（9）、单调性判定（10）|结合抽象函数定义域（11A）检测推理意识，强化数学思维| |填空|3/15|分段函数性质（12）、实际应用（14）|电价问题（14）构建数学模型，培养数学语言表达| |解答|5/77|二次函数综合（19）、不等式求解（16）|含参数二次函数最值讨论（19），凸显逻辑推理与创新意识|

方城一高2026年高一新生开学考试 数学学科 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．集合，且的真子集的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 2．小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （    ） A．a<v< B．v= C．<v< D．v= 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．“”的一个充分条件是 A．或 B．且 C．且 D．或 5．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 8．下列结论正确的是（    ）． A．若函数不存在零点，则不等式的解集为R B．不等式在R上恒成立的条件是且 C．若关于x的不等式的解集为R，则 D．不等式的解为 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列的说法正确的是（    ） A．函数就是两个集合之间的对应关系 B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素 C．若，则一定成立 D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同 10．下列说法能判断函数在区间上单调递增有（    ） A．对于任意的，当时，都有恒成立； B．对于任意的，都有恒成立； C．存在，使得成立； D．对于任意的，都有恒成立，并且对于任意的，都有也恒成立 11．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 C．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围 D．函数的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知函数，则__________（用含a的式子表示）；若在定义域上是减函数，则a的取值范围为__________. 13．已知集合，，其中为实数，当，则满足的条件是_________. 14．某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到之间，而用户期望电价为．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为．已知，为保证电力部门的收益比上年至少增长，则最低的电价可定为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本题13分）设全集U=R, A={x|x<5}, B={x|x>3}，求： (1) (2) (3) (4) 16．(15分）求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： (1)； (2)． 17．(15分）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 18．(17分）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； (2)求不等式的解集； (3)设，若，求实数的取值范围． 19．(17分）已知是二次函数，且满足. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式； (3)在（2）的条件下，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 开学考试参考答案 1．D 【分析】化简集合，再由真子集个数公式可得. 【详解】由得且，又， 则， 其子集个数共有，除去集合本身， 则其真子集个数为， 故选：D. 2．A 【分析】设甲乙两地相距，则平均速度，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】设甲乙两地相距，则平均速度， 又∵，∴， ∵，∴， ∴，故选A． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可， 属于基础题型. 3．D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 4．C 【详解】对于或，不能保证成立，故不对；对于或，不能保证成立，故不对；对于且，由同向不等式相加的性质知，可以推出，故正确；对于或，不能保证成立，故不对，故选C. 5．D 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 6．D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 7．B 【分析】根据反比例函数、二次函数以及一次函数的性质一一分析即可. 【详解】对A，根据反比例函数性质知在区间上单调递增，故A错误； 对B，在上单调递减，故B正确； 对C，在上单调递增，故C错误； 对D，当时，，其在上单调递增，故D错误. 故选：B. 8．B 【分析】利用二次不等式恒成立的性质即可判断A，C错误，B正确，解分式不等式即可判断D错误. 【详解】对于选项A，函数不存在零点， 则，即或在上恒成立. 故选项A错误； 对于选项B，不等式在R上恒成立的条件是 且，故选项B正确； 对于选项C，关于x的不等式的解集为R， 则①当时，，不满足条件， ②当时，，解得，故选项C错误； 对于选项D，，整理得，即，解得，故选项D错误． 故选：B 9．CD 【分析】根据函数的定义、定义域和值域的性质，结合相等函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：由函数的定义可知，必须是两个非空数集，所以本选项说法不正确； B：设函数，显然值域为，所以本选项说法不正确； C：因为，所以，因此本选项说法正确； D：由相等函数的定义可知本选项正确， 故选：CD 10．AB 【分析】对于AB：根据函数单调性的定义分析判断；对于CD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：由题意可得当时，都有恒成立， 所以函数在区间上单调递增，故A正确； 对于选项B：因为，且时，恒成立， 可得或恒成立， 即或恒成立， 所以函数在上是增函数，故B正确； 对于选项C：不能，例如时， ，且， 但函数在上不是单调递增的，而是先减后增，故C错误； 对于选项D：由选项B可知：在内单调递增， 例如如图：    满足在内单调递增，但在内不单调，故D错误； 故选：AB. 11．ACD 【分析】利用抽象函数求出定义域判断A；取验证判断B；利用二次函数单调性求出范围判断C；利用换元法求出值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，在中，，解得， 因此的定义域为，A正确； 对于B，当时，不等式恒成立，B错误； 对于C，由函数在区间上单调递减，得，解得，C正确； 对于D，函数的定义域为，令， 在上单调递减，当时，，函数的值域为，D正确. 故选：ACD 12． 【分析】根据分段函数解析式直接代入即可求的值；根据分段函数单调性结合二次函数性质列式求解即可. 【详解】由题意可知：，所以； 若在定义域上是减函数，则，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为：；. 13． 【分析】由题意可得方程组 有解，即有解即可求解. 【详解】因为， 所以方程组 有解， 消去可得：，即 所以：，即， 故答案为：. 14．0.6/ 【分析】设出电价定为元，由题意可得不等式，解出后结合即可得. 【详解】设电价定为元，， 则由题意可得， 整理可得，又， 故，即，故最低的电价可定为. 故答案为：. 15． 16．(1) (2) 当时，即恒成立，不等式的解集为. 当时，，所以不等式的解集为或. 当时，，所以不等式的解集为或. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）整理不等式后，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）， 解得， 所以不等式的解集为. （2）由得， 即， 当时，即恒成立， 不等式的解集为. 当时，，所以不等式的解集为或. 当时，，所以不等式的解集为或. 17．(1)， (2)或4 (3)，值域为 【分析】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图象，数形结合即可求出值域． 【详解】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 18．(1) 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ，而， 所以，即， 故函数在区间上单调递增； (2)； (3) . 【分析】（1）根据单调性的定义，应用作差法判断证明函数的区间单调性； （2）讨论函数的单调区间，应用单调性解不等式求解集； （3）令，问题化为在区间上恒成立，应用分类讨论及二次函数的性质求最值，即可得参数范围. 【详解】（1）略 （2）由解析式知，函数的定义域为， 当时，同（1）证明，知函数在区间上单调递增， 又，所以，即， 所以，即不等式的解集为． 当时，，所以，即， 而函数在上单调递增，所以，即不等式的解集为， 综上，不等式的解集为； （3）， 令，由及（2）知， 设的图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 原问题转化为在区间上恒成立． 由时，有，或，， 当时，函数在上单调递增， 所以，即； 当时，函数在上单调递减， 所以，即； 当时，，函数，符合题意； 综上，实数的取值范围为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）设，然后根据已知条件求出的值，进而得到函数解析式. （2）先化简的表达式，然后根据二次函数的性质和的范围求出其最小值的表达式. （3）先判断的单调性求出最大值，然后解不等式即可. 【详解】（1）设，由，可得. 由，得， 所以，解得则. （2）由题意得，则图象的对称轴为直线. 若，则在上单调递增，当时，的最小值为； 若，则当时，的最小值为； 若，则在上单调递减，当时，的最小值为. 故. （3）在上单调递减，因为， 所以，，， 解得或， 即的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $