7.3 平行线的证明（第2课时 平行线的性质）（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

3.平行线的证明 第2课时 平行线的性质 第七章 命题与证明 北师大版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 掌握平行线的性质定理，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补. 了解性质定理和判定定理的联系，初步感受互逆的思维过程. 3 进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎推理能力. 情景引入 如图所示是马栏河，河上有两座桥：新华桥和光明桥．河的两岸是两条平行的公路：黄河路与高尔基路，某测量员在A点测得∠BAD=60°．如果你不通过测量，能否猜出∠ABC、∠ADC、∠DCB的度数是多少？ 新知探究 两直线平行 1.同位角相等 2.内错角相等 3.同旁内角互补 问题 平行线的判定方法是什么？ 思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢? 新知探究 问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？ A B C D E F M N 1 2 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 新知探究 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 文字语言 符号语言 A B C D E F M N 1 2 已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角. 求证：∠1 =∠2. 新知探究 已知：如图，直线AB//CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线 EF截出的同位角. 求证：∠1 = ∠2. 如果∠1≠∠2， AB与CD的位置关系会怎样呢？ A C E 2 1 B F D M N G H 证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过M点作直线GH，使∠EMH =∠2，如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD. 又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2. 新知探究 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. ①文字简述：两直线平行，同位角相等. ②符号语言： 如图，AB∥CD（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. A C E 2 1 B F D M N 典例分析 紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系，进而证明角相等. 方法技巧 例1.如图，已知AE∥BC，∠B＝∠C， AE是∠DAC的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由. 解：AE是∠DAC 的平分线． 证明如下：∵AE∥BC(已知)， ∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)， 又∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠CAE (等量代换)， ∴AE是∠DAC 的平分线（角平分线的定义）． 新知探究 利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？ 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 尝试来证明一下 新知探究 已知：如图，直线 l1∥l2，∠1和∠2是直线 l1 ， l2 被直线 l 截出的内错角. 求证：∠1=∠2. l1 l2 l 1 2 3 证明：∵ l1∥l2（已知）， ∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. ∴ ∠1=∠2（等量代换）. 又∵ ∠2=∠3（对顶角相等）， 新知探究 定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. ①文字简述：两直线平行，内错角相等. ②符号语言： 如图，l1∥l2（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）. l1 l2 l 1 2 新知探究 已知：如图，直线 l1∥l2，∠1 和∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截得的同旁内角. 求证：∠1 +∠2 = 180°. 证明：∵ l1∥l2 (已知)， ∴∠2 =∠3 (两条直线平行，同位角相等). ∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)， ∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) . l1 l2 3 2 1 l 新知探究 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. l1 l2 l 1 2 ①文字简述：两直线平行，同旁内角互补. ②符号语言： 如图，l1∥l2（已知）， ∴∠1+∠2=180° （两直线平行，同旁内角互补）. 新知探究 已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c. a c d 1 2 b 3 证明：∵b∥a（已知）， ∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）. ∵c∥a（已知）， ∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2=∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）. 新知探究 定理 平行于同一条直线的两条直线平行. a c b 符号语言： 如图，b∥a，c∥a（已知）， ∴ b∥c （平行于同一条直线的两条直线平行）. 典例分析 通过 观察图形猜测这两条直线平行，然后利用已知条件、平行线的性质定理和判定定理进行证明 . 方法技巧 A D C B 例3.如图所示，已知四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？ 解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D. 理由：∵AB∥CD （已知 ）, ∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）. 又 ∵ AD∥BC （已知）, ∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）, ∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）. 同理 ∠A=∠C. 新知探究 回顾反思 证明命题的一般步骤： ①弄清题设和结论； ②根据题意画出相应的图形； ③根据题设和结论写出已知、求证； ④分析证明思路，写出证明过程. 新知探究 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 线的关系 角的关系 性质 角的关系 线的关系 判定 讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？ 课堂小结 平行线的性质 性质定理 命题证明步骤 两直线平行，同位角相等 根据题意画出图形 根据题意写出已知及求证 写出证明过程 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两条直线平行 变式训练 1.如图，CD//AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF 的度数是（ ） A.20° B.25° C.30° D.35° D 变式训练 2.如图，在∆ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF，请说明理由. 解：∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴DF//EC . ∴∠BDF=∠1， ∠EDF=∠3. ∵ED//AC， ∴∠3=∠2 ， ∴∠EDF=∠2. 又CE平分∠ACB ， ∴∠1=∠2 ， ∴∠BDF=∠EDF. 感谢聆听! $