四川省成都市成华区某校2026届高三上学期12月一诊考前模拟数学试题

2025-2026学年度（上）一诊模拟考试 高2023级数学 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 2 3 4 5 6 8 A D A B C 8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(x-1)为奇函数，f'(2-x)+f'(x)=2,'(1)=2, 2025 则∑f"(2i-1)=() A.2025 B.2024 C.1013 D.1012 【答案】A 【分析】根据题意和函数的对称性可得∫(x)+∫"(x+4)=2,进而∫'(x)=∫"(x+8),则函数∫(x)是以8为周 期的周期函数，分别求出∫')，∫"(3)，∫"(5)，∫'(T)的值，结合函数的周期即可求解 【详解】由f'(2-x)+f"(x)=2,令x=1,得2fI)=2,所以f')=1. 由f(x-1)为奇函数，得f(x-1)=-f(-x-1), 所以f(x-1)=f"(-x-1),故f"x)="(-x-2)①， 又f'(2-x)+f'(x)=2②， 由①和②得'(2-x)+f'(-x-2)=2, 即f'(4-x-2)+f'(-x-2)=2, 令t=-x-2,则f'(4+t)+f"(t)=2, 所以f"(x)+f"(x+4)=2③， 令x=-1,得f'(-1)+'(3)=2,得f(3)=0: 令x=1,得f'①)+f(⑤)=2，得f(5)=1. 又f'(x+4)+f'(x+8)=2④， 由③-④得f(x)-f'(x+8)=0,即f(x)=f'(x+8), 所以函数f'(x)是以8为周期的周期函数，故'(7)=f"(1)=2, 所以f')+f'(3)+f'(5)+f'(7)=1+0+1+2=4, 2025 所以∑f(2i-1)=1+4×506=2025 =1 故选：A 第1页/共14页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知事件A,B发生的概率分别为P0号P)。则(AB) A.若PB)-)则事件7与B相互独立 B.若A与B相互独立，则P1+B)-号 C.若A与B互斥，则P(A+B)=4 D.若B发生时A一定发生，则P(AB)=} 3 10.设x>0函数)=n,g)=x+2,则下列结论中正确的是() A.存在x>0,使得f(x)>x-1 B.函数f(x+1)的图象与函数y=e-1的图象有且仅有一条公共的切线 C.函数g(x)图象上的点与原点距离的最小值为2√2 D.函数f(x)+g(x)的极小值点为x=1 【答案】BD 【详解】对于A,设h(x)=f(x)-x+1=nx-x+1,x>0, 则h(x)=1-1=1-x 令h'(x)>0,即0<x<1;令h'(x)<0,即x>1, 所以函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以h(x)=f(x)-x+1≤h(1)=0, 即f(x)≤x-1恒成立，故A错误： 对于B,函数y=f(x+1)=n(x+1),则x+1=e',即x=e-1, 所以函数y=f(x+1)与y=e-1互为反函数，图象关于直线y=x对称， 且直线y=x为函数y=f(x+1)与y=e-1唯一的公切线，故B正确： 第2页/共14页 ye-1 y-x 1 =x+1) -2-/ 0123x 2 对于C,函数g)=x+2图象上的点 ,+ 2 (m≠0)与原点距离为 当且仅当2m2=4 ,即m2=√2时等号成立， n 所以函数g()=x+二图象上的点与原点距离的最小值为√4√万+4，故C错误： 2 对于D,令F(x)=f(x)+g(x)=nx+x+二，x>0, 1 则F(x)=1+1-2-=r+x-2-（x+2)x-1） x2 x2 令F'(x)>0,即x>1;令F'(x)<0,即0<x<1, 所以函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以当x=1时函数F(x)取得极小值，故D正确， 故选：BD 11.如图，在平面四边形ABCD中，BD=25,AD=3,CD=4,∠A=∠CBD=90°，将△BCD沿BD折起，使 点C到达点C的位置，下面正确的是() B A.P为线段BD上的动点，则PA+PC的最小值为√3 第3页/共14页 B.异面直线BC,与AD所成角的余弦值取值范围是 C.若平面CBDL平面ABD,M在三角形CAD内部，BM=3,则M轨迹长度为2元 7 D.当三棱锥C-ABD的体积最大时，三棱锥C-ABD的外接球的表面积为16π 【答案】ABD 【分析】A选项在翻折前的平面四边形ABCD中，当APC共线，即AC的长就是PA+PC的最小值，结合 余弦定理求解即可；B选项，利用空间向量表示异面直线夹角的余弦值；C选项，先由等体积法可求得点B 到平面CBD的距离，则可得在平面CAD内，M的轨迹为圆，但要判断此圆是否完全在三角形CAD内：D 选项，分析体积最大时的几何关系，由直角三角形斜边中线性质可得出圆心半径，求出表面积 【详解】A选项，在直角三角形ABD中，cos∠ADB=AD.5 BD 2 ,则∠ADB=30, 在直角三角形CBD中，cos∠CDB=BD5,则∠CDB=30, CD2 对于线段BD上的任意动点P,翻折前后总有PA+PC=PA+PC, 对于翻折前的平面四边形ABCD,当APC共线，即AC的长就是PA+PC的最小值， 由于AD=3,CD=4,∠ADC=60°，由余弦定理可得AC=√13，故A正确： D B选项，BC·DA=(DC-DB)DA=DC·DA-DB.DA, DB.DA=DB.DA cos LADB=9, DC·DA=DC DAcosa∠ADC=12cos∠ADC, 对于∠ADC,翻折前为∠ADC=60°，由于∠ADB=∠CDB°=30°，则可完全翻折使得C在直线AD上， 由于需要是异面直线，故∠ADC1∈(0,60)，DC·DA∈(6,12)，则BCDA∈(3,3)， 在三角形BCD中可求得BC=2, BC·DA BC·DA 则cos BC·DA ∈0， 故B正确： BC.DA 6 第4页/共14页 C选项，由平面CBD⊥平面ABD,交线为BD,BC1C平面CBD,BC1⊥BD可得BC1⊥平面ABD, 则BCL AB,可得AC=√7，则AC2+AD=CD2,即三角形C,AD为直角三角形， 作BN⊥平面CBD,垂足为N, 则由%4o=6即写8eoBC-8eBN可得BN-2 3 7 则MN=√BMP-BN=1,即在平面CAD内，M的轨迹是N为圆心，1为半径的圆， 对于三角形CAD,由等面积可得其内切圆半径r= AC·AD 3万1， AC+AD+C D 7+7 则在三角形CAD内部，M的轨迹不是完整的圆，故长度不是2π，C错误； M B D选项，三棱锥C-ABD的底面积SA4BD不变，BC1长度不变， 由选项C得当平面C,BD⊥平面ABD时，BC1⊥平面ABD,此时体积最大， 且此时三角形CAD,C,BD都是以CD为斜边的直角三角形， 则取CD中点O,可得OA=OB=OC=OD=2, 则三棱锥C-ABD的外接球半径为2，表面积为4πR2=16元，故D正确： 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 2 13.8 14.已知平面四边形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,则该平面四边形ABCD面积的最 大值为2√6 第5页/共14页 【详解】连接AC,由余弦定理得， AC2=AB2+BC2-24B.BC.cos B=AD2+DC2-2AD.DC.cosD, 即12+22-2×1×2×cosB=42+32-2×4×3×cosD, 即6c0sD-coSB=5, 区四边形ABCD的面积S=Sc+Se5AB:BC,mB+ADDC:iD 1x2sinB+分x4×3mD=m8+6nD, 2 S2+52=(sin B+6sin D)+(6cos D-cos B)'=37+12(sin Bsin D-cos Bcos D) =37-12cos(B+D), 即S2=12-12cos(B+D)≤24，即S≤26， 当且仅当B+D=π时，等号成立， 所以平面四边形ABCD面积的最大值为2√6 故答案为：2√6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ab 15.己知在锐角三角形中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanC= a2+b2-c2 (1)求角C大小： (2)当c=1时，求ab的取值范围 sinc ab 1 解析】(1)由已知及余弦定理，得 cosC 2ab cos C ,sinC=号，因为C为锐角，所以C=30°.--5分 2 第6页/共14页 (2)由正弦定理，得 ab=c=1=2. sinA sin B sinC 1 .a=2sin A,b=2sin B=2sin(A+30). b-4sin4an8-4on4n4+g -一---7分 -4sinA(3 sin A+cos)=2v3sin'4+2sin Acos4 =√3+sin2A-V3cos2A =5+2sm2A-孕 ---9分 0°<A<90°， 0°<150°-A<900得60°<A<90 由 ----11分 ∴.60°<2A-60°<120°， 3 <sm(24孕s1 .2W3<ab≤V3+2 -13分 16已知动点P(x,)与定点F(L,0)的距离和P到定直线1：x=2的距离的比是常数V ,记点P的轨迹为 曲线C. (1)求曲线C的标准方程： （2)设点F(-1,0,若曲线C上两点MV均在x轴上方，且PM/FN,PM+|FN-8反，求直 线FM的斜率. 【解析】 【分析】(1)根据距离公式列出方程即可求解： (2)设kM=kw=k,可得直线FN的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求 解。 【小问1详解】 第7页/共14页 由题意， x-+少=反 x-2 2 整理化简得， +y2=1 所以曲线C的标准方程为 +y2=1. -7分 2 【小问2详解】 由题意，直线FM,FN的斜率都存在，设kM=kFw=k, 则直线FN的方程为y=k(x+1), 分别延长NF',MF交曲线C于点NW',M', 设N(x,h),N'(x,y), y=k(x+1) 联立 2+2=1·即1+2k2)x+4x+2k-2=0 --8分 42 2k2-2 则x+x2= 1+2k2七5，s -9分 1+2k21 根据对称性，可得FM=FW, 则FM+FM=W=V1+k2Vx+x,)子-4xx ---11分 =+ 4k2 -4x22-2 2W2(1+k2） -13分 1+2K2 1+2k2 1+2k2 即25(0+)_8万，解得k=士V5, 1+2k2 > 所以直线FM的斜率为士√3. --15分 第8页/共14页 17.如图，在三棱锥ABC中，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=BC=1,点M,N分别是线段 SB,AC上的动点，且满足SM=AN=a(0<a<√2) M (1)证明：BC⊥平面SAB: (2)当线段MN的长度最小时，求直线SC与平面AN所成角的正弦值. 【解析】 【小问1详解】 因为SA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 所以SA⊥BC, 又AB⊥BC,SA∩AB=A,SA,ABC平面SAB 所以BC⊥平面SAB. ---6分 【小问2详解】 以B为原点，以BC,BA所在直线为x,y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),S(0,1,1), 因为SM=AN=a(0<a<√2)，AC=√5， 2 a -9分 所以当a=V2时，MN最小， 时g0:时》 ----10分 第9页/共14页 则A7= 0》添-行 设平面AMN的一个法向量为i=（x,y,), [1,1 m.AM=0 -y+z=0 则 即 mAN=0 11 5y=0 2 取x=1,则m=(1,1,1),又C=(1,-1,-1), --13分 设直线SC与平面AN所成角为O, m.SC 则sin0= 11 .Sc 3x53 1 即直线SC与平面AMN所成角的正弦值为 ---15分 18.今年入夏以来，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和 西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下 沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态川内某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的 体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了 优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期t 1 3 4 5 6 销售量y 218 224 230 232 236 90 (张) 经计算可得： 21y=4004, ∑=91 (1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现 剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； 第10页/共14页2025-2026学年度（上）一诊模拟考试 高2023级数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的： 1.已知集合A={xx2≥4}，B={2,-1,0,2,3),R是实数集，则(CA)∩B=() A.{0,2} B.{-1,0} C.{-1,0,2 D.{-1 2.若复数z满足(1-1)：=1，则在复平面内z对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.己知{a}为等差数列，其公差为一2，且a是s与的等比中项，S为{a}的前n项和，n∈N,则So 的值为() A.-110 B.-90 C.90 D.110 4设双自线C:善茶-1a0b~0)的左右货点分别为耳，K,以男为同心的圆合好与双线C的病 渐近线相切，且该圆恰好经过线段O亚，的中点，则双曲线C的离心率是() A.35 B.√3 C.4v2 D.45 3 3 3 5.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数 是() A.30 B.60 C.120 D.240 6.设直线y=x十2a与圆C:x2十y2-2y一2=0相交于A,B两点，若AB到=2V3,则圆C的面积为() A.4π B.3π C.2π D.π 7.己知函数f)=acos2x+V-:sin2(0<a≤)的图象关于直线x=石对称，若方程 12 f(x)=(n∈R)在 0,4 上恰有两个实数根，则的取值范围是() 「V2 2’2 8.己知函数f(x)及其导函数'(x)的定义域均为R,且f(x-1)为奇函数，f'(2-x)+f'(x)=2,f'(-1)=2, 则宽f2-)-() l A.2025 B.2024 C.1013 D.1012 第1页 共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知事件A.B发生的概率分别为P(0号P列名则《) A.若PB)-)则事件7与B相互独立 B.若A与B相互独立，则P1+B)-号 C.若A与B互斥，则P(A+B)=4 D.若B发生时A一定发生，则P(AB)=} 3 10.设x>0函数)=n,g)=x+2,则下列结论中正确的是() A.存在x>0,使得f(x)>x-1 B.函数f(x+1)的图象与函数y=e-1的图象有且仅有一条公共的切线 C.函数g(x)图象上的点与原点距离的最小值为2√2 D.函数f(x)+g(x)的极小值点为x=1 11.如图，在平面四边形ABCD中，BD=2√3，AD=3,CD=4,∠A=∠CBD=90°，将△BCD沿BD折起，使 点C到达点C的位置，下面正确的是() B A.P为线段BD上的动点，则PA+PC的最小值为√3 B。异面直线C与4D所成角的余弦值取值范国是[Q兮) C.若平面CBDL平面ABD,M在三角形C,AD内部，BM=3 ,则M轨迹长度为2n D.当三棱锥C-ABD的体积最大时，三棱锥C-ABD的外接球的表面积为16π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量ā=Q,0),b=(x,-2),且a⊥(a-2b),则x= 第2页 共4页 13.某一随机变量X的分布列如下表，且n-m=0.2,则E(3X+2)= X 0 1 2 3 p 0.1 0.2 14.己知平面四边形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,则该平面四边形ABCD面积的最 大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤！ ab 15.(本题满分13分)己知在锐角三角形中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanC= a2+b2-c2 (1)求角C大小： (2)当c=1时，求ab的取值范围 16（本题满分15分)己知动点P(x,)与定点F(L,0)的距离和P到定直线1：x=2的距离的比是常数Y5 记点P的轨迹为曲线C (1)求曲线C的标准方程： （2)设点F(-L0),若曲线C上两点N均在x轴上方，且11/FN,M+FW=8V5,求直 线FM的斜率」 17.(本题满分15分)如图，在三棱锥ABC中，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=BC=1,点 M,N分别是线段SB,AC上的动点，且满足SM=AN=a(0<a<√2) M (1)证明：BC⊥平面AB: (2)当线段MN的长度最小时，求直线SC与平面AMN所成角的正弦值. 18.(本题满分17分)今年入夏以来，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要 第3页 共4项 是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳 辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川内某城市一室内游泳馆， 为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在 App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期t 3 6 销售量y 218 224 230 232 236 90 (张) 经计算可得： ∑ty=4004, ∑=91 (I)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现 剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； (2)若购买代优惠券的顺客选择A套餐的概率为片，选择B套餐的概率为} ,并且A套餐包含两张优惠券， 3 B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn,求P; (3)请依据下列定义，解决下列问题： 定义：如果对于任意给定的正数8，总存在正整数N。,使得当n>N。时，an-d<￡(a是一个确定的实 数)，则称数列{an}收敛于a 运用：记(2)中所得概率P的值构成数列{P}(n∈N)求P的最值，并证明数列{P}收敛 2-e-到 6 ∑xy-x7 参考公式： a=- -对 19.(本题满分17分)已知函数f(x)=n(x+1)+a cosx,a∈R. (1)当a=1,求f(x)在点(0，(0)处的切线方程： (2)当a=1,求函数f(x)的零点个数： (3)x≥0，f(x)≥0，求整数a的值. 第4页 共4页