专题05 构造函数证明不等式（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习资料聚焦构造函数证明不等式核心考点，整合考情精解、知能框架、题型攻坚模块，按作差构造、双函数最值、“形似”函数构造逻辑梳理考点，通过考点梳理、方法指导、真题训练、分层练习环节，帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于融合命题轨迹分析与核心素养培养，以2025北京卷真题为例引导学生用数学思维探究证明思路，分层设计三类题型练习，培养逻辑推理与模型观念，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专题5构造函数证明不等式 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 构造函数证明不等式 2 真题动向 必备知识 知识1构造函数证明不等式的常用思路 命题预测 题型1作差构造函数法 题型2构造双函数分别求最值 题型3构造“形似”函数 命题轨迹透视 导数的综合应用是高考数学重点和热点，整体难度偏大．从近5年的高考试题来看， 25年和22年都直接考察了构造函数证明不等式的内容，25年的出题体现了作差构造函数，22年的出题体现了构造“形似”函数的方法，证明不等式的方法有很多种，构造函数证明不等式是最常考的形式。尤其是构造双函数部分，难度较大，要求学生对常见的超越函数有一定的熟悉度，大胆猜测，小心求证。整体侧重考查学生的计算能力、逻辑思维能力与转化能力。 考点频次总结 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 导数的基本应用 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T15,5分 T19,15分 2026命题预测 预计在2026年高考中，导数与函数部分仍然以大题形式出现，或者在填空题压轴题的位置出现。 就考察方向来讲，依然围绕零点、不等式、恒成立存在性的内容考考查。在不等式部分，出题高立意、低起点，利用中学现有的内容来进行延伸，考查学生灵活运用知识的能力。同时题目的综合性更强，可能会有解三角形、解析几何、数列等内容进行综合考查。 考点一 构造函数证明不等式 1．（2025年高考北京卷数学真题T20,15分）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围. 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 2．（2022年新高考北京数学高考真题T20,15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1) (2)在上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【详解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）解：因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）解：原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 知识1构造函数证明不等式的常用思路 （1）作差构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）构造双函数分别求最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． 在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f(x)>g(x)， 但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”． （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数 题型1 作差构造函数 1．（北京市北京师范大学附属中学2025届高三三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 【答案】(1)(2)函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间；(3)见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求导得出即可求解； （2）利用导数求解函数的单调区间，分和和进行讨论，其中当和时，需要令，研究的单调性，得出与的关系即可判断； （3）把问题转化为：令，需要证明对任意成立，分两种情况来讨论，通过求导，证明出单调递增． 【详解】（1）， ， ， 切线平行于直线：， ，解得：； （2）， ， 当时，显然，故在上单调递增； 令，， 当时，，故在上单调递增， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故在上单调递增； 当时，令，， 当时，，故在上单调递减， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； （3）当时，需要证明：，恒有成立， 即， 化简得：， 即证：， 当时，，又， ， 当时，记，则， 记，则， ，， 所以当，单调递增，所以， 所以在单调递增，所以， 综上：对任意，恒有成立． 2．(25-26高三上·北京第一七一中学·期中)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间； （3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证． 【详解】（1），， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； （2）函数定义域为， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得， 此时在上，在单调递减， 在上，在单调递增， 综上： 时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； （3）由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且， 则要证，即证，即证， 而，则，否则方程不成立）， 所以即证，化简得， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以，而，所以， 所以，得证． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可. 3．（北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)判断的零点个数，并说明理由； (3)证明：函数的图象在直线的下方. 【答案】(1)(2)的零点个数为1个(3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数求得，，可求得切线方程； （2）令，求导可判断，可得在单调递减，进而可判断零点个数； （3）分析可证，令，求导可证，进而只需证，构造函数，求导可证结论. 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2），令，所以， 当，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 即对恒成立，所以在单调递减， 又，所以的零点个数为1个； （3）要证函数的图象在直线的下方， 即证，即证， 即证，又，所以即证， 即证， 令，求导得， 当，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，所以， 要证，可证，即证即可， 令，求导可得， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以在成立， 所以函数的图象在直线的下方. 4．（北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题）已知函数.（ ） （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若，的图象与轴交于点，求在点处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当时，恒成立． 【答案】（Ⅰ）时，单调增区间为，无单调减区间， 时，单调增区间为，单调减区间为. （Ⅱ）（Ⅲ）证明见解析 【难度】0.65 【来源】北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【解析】（Ⅰ）对求导，得到，对按照和进行分类讨论，研究的正负，从而得到的单调区间；（Ⅱ）将代入，得到切线斜率，点斜式写出切线方程；（Ⅲ）令，得到，令，得到，从而得到，得到在上单调递增，即，从而使得原命题得证. 【详解】解：（Ⅰ）， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，令，解得. 当变化时，，的变化情况如下表： – 0 + 减 极小值 增 所以时，在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，时，单调增区间为，无单调减区间， 时，单调增区间为，单调减区间为. （Ⅱ）时， 令，得，则， 因为，所以， 所以在点处的切线方程为，即. （Ⅲ）证明：令， 则.   令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以， 即恒成立.   所以在上单调递增， 所以， 所以， 即当时，恒成立． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据导数的几何意义求函数图像在一点的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题. 5．（北京市房山区良乡中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，求证：； 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1； (2)证明见解析 【难度】0.65 【来源】北京市房山区良乡中学2024-2025学年高三上学期期中数学试题 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导判断函数的单调性，进而可求出极值； （2）构造函数，求出函数的最大值即可得出结论； 【详解】（1）当时，，则， 令，即， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此在处取得极大值，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1； （2）要证，即证， 因此设，则， 令，则， 因为，所以， 因此单调递减，且， 所以时，；当时，； 即时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值也是最大值，且， 故． 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小或者证明的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 6．（北京市第五十中学2025届高三上学期期中检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 【答案】(1)(2)见解析(3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式 【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程； （2）首先求函数的导数，再讨论和两种情况求函数的单调性，求函数的最值； （3）首先根据不等式构造函数，再利用导数求函数的最小值，即可证明. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 当时，，得， 在区间小于0，函数单调递减， 在区间大于0，函数单调递增， 所以函数的最小值为， ，，显然，所以函数的最大值为， 综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； （3）当时，，即证明不等式， 设，，， 设，，， 所以在单调递增，并且，， 所以函数在上存在唯一零点，使， 即，则在区间，，单调递减， 在区间，，单调递增， 所以的最小值为， 由，得，且， 所以， 所以，即. 题型2 构造双函数分别求最值 7．（北京市第十五中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数． （Ⅰ）求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）证明：对任意，都有成立． 【答案】（1）最小值为0；（2）证明见解析； 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【详解】试题分析：（1）根据导数可得出函数在上单调递减，在上单调递增，由单调性即可知函数在区间上的最小值为；（2）由（1）可知，的最小值为，对求导，根据单调性知，的最大值为，因此对任意，都有成立． 试题解析：（Ⅰ）由，可得．当单调递减，当 单调递增．所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知在时取得最小值，又，可知． 由，可得．所以当单调递增， 当单调递减．所以函数在时取得最大值， 又，可知，所以对任意，都有成立． 考点：�利用导数判断函数的单调性�利用导数解决实际问题 8.已知函数，， （1）求的最小值； （2）证明：对一切，都有成立． 【解析】， 令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增， 函数的最小值； （2）证明：问题等价于证明，， 由（1）知道的最小值； 设，，则， 故在（0，1）递增，在递减， 易知， 故对一切，都有成立． 9.（2014·新课标Ⅰ·高考真题）设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求                    (2)证明: 【答案】（1）；（2）详见解析. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式 【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得. 试题解析：（1）函数的定义域为， . 由题意可得，.故，. （2）证明：由（1）知，， 从而等价于. 设函数，则. 所以当，； 当时，. 故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为. 设函数，则. 所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为. 综上，当时，，即. 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的. 题型3 构造“形似”函数 10．（北京师范大学第二附属中学2025届高三下学期数学统练一试题）已知. (1)若，求在处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)时，单调递减区间为，单调递增区间为; (3)证明见解析. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究双变量问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案; （2）求出函数的导数，讨论k的取值范围，确定导数的正负，即可求得的单调区间； （3）由于不等式可变为，所以可构造函数，利用（2）的结论可证明故该函数为上的增函数，利用函数的单调性，即可证明结论. 【详解】（1）当时，， 故在处的切线斜率为，而， 所以在处的切线方程为，即. （2）由题意得，则， 令，即， 令，即， 时，单调递减区间为,单调递增区间为. （3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而， 即在上恒成立，故在上单调递增， 设，则， 因为，则，故， 所以在上单调递增，而， 则，即，而， 故，即. 【点睛】关键点点睛：证明不等式时，关键是构造函数，利用函数的单调性进行证明；因为可变形为，由此可构造函数，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式. 11．（北京市第五中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2)单调递增区间为；单调递减区间为和； (3)，理由见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求过一点的切线方程、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）代入的值，得到函数和导函数，求切点坐标和切点处导函数，即可写出直线方程； （2）写出函数定义域，由导函数求得导函数的零点，列表格得到函数的单调区间； （3）构造函数，求导，研究零点，令，再求导，由的正负得到函数的单调性，从而求出大于0，所以一定大于0，则一定单调递增，所以在上都有，得证. 【详解】（1）当时，；； 而，； 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，且；令，得. 当变化时，与的变化情况如下表： ﹣ ﹣ 0 + 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和； （3）当且时，，证明如下： 令，则. 设，则. 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 从而，即， 所以的单调递增区间为和. 当时，，即； 当时，，即. 综上，当且时，. 12．（北京市第一六一中学2024-2025学年高三上学期10月测试）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若函数在区间的最大值为1，求实数a的取值范围； (3)若对任意，，当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极大值，极小值； (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，令导数等于0，结合单调性可求； （2）求导，得到，讨论与的关系，利用导数，得出的最大值，进而求出的范围. （3）构造函数，由可得到的单调性，进而可求得的范围. 【详解】（1）当，， ，令，则或， 则当时，，函数单调递增， 则当时，，函数单调递减， 所以在时，取得极大值； 在时，取得极小值； （2）， 令，得或. 当时，则时，， 所以在上单调递减， 当时， 当时，；当时，. 故在上单调递增，在上单调递减； ，不合题意； 当时，则时，， 所以在上单调递增， ，不合题意. 综上，实数的取值范围是. （3）设，根据题意有，，， 故单调递增，则，在上单调递增， 则有时，恒成立. 而， 即恒成立，参变分离可得， 则有，而（当且仅当时等号成立）， 所以，即有. 13.（23-24高三上·北京·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知m，n是正整数，且，证明． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）函数的定义域为，， ①当时，在上恒成立，的减区间为，无增区间； ②当时，令，解得，令，解得， 所以的增区间为，减区间为． 综上，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为． （2）两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明， 即证明， 构造函数， 令，由（1）知，当时，在上为减函数，故， 所以，所以为上的减函数， 因为，知，即，即． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5构造函数证明不等式 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 构造函数证明不等式 2 真题动向 必备知识 知识1构造函数证明不等式的常用思路 命题预测 题型1作差构造函数法 题型2构造双函数分别求最值 题型3构造“形似”函数 命题轨迹透视 导数的综合应用是高考数学重点和热点，整体难度偏大．从近5年的高考试题来看， 25年和22年都直接考察了构造函数证明不等式的内容，25年的出题体现了作差构造函数，22年的出题体现了构造“形似”函数的方法，证明不等式的方法有很多种，构造函数证明不等式是最常考的形式。尤其是构造双函数部分，难度较大，要求学生对常见的超越函数有一定的熟悉度，大胆猜测，小心求证。整体侧重考查学生的计算能力、逻辑思维能力与转化能力。 考点频次总结 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 导数的基本应用 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T15,5分 T19,15分 2026命题预测 预计在2026年高考中，导数与函数部分仍然以大题形式出现，或者在填空题压轴题的位置出现。 就考察方向来讲，依然围绕零点、不等式、恒成立存在性的内容考考查。在不等式部分，出题高立意、低起点，利用中学现有的内容来进行延伸，考查学生灵活运用知识的能力。同时题目的综合性更强，可能会有解三角形、解析几何、数列等内容进行综合考查。 考点一 构造函数证明不等式 1．（2025年高考北京卷数学真题T20,15分）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 2．（2022年新高考北京数学高考真题T20,15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 知识1构造函数证明不等式的常用思路 （1）作差构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）构造双函数分别求最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． 在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f(x)>g(x)， 但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”． （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数 题型1 作差构造函数 1．（北京市北京师范大学附属中学2025届高三三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 2．(25-26高三上·北京第一七一中学·期中)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 3．（北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)判断的零点个数，并说明理由； (3)证明：函数的图象在直线的下方. 4．（北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题）已知函数.（ ） （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若，的图象与轴交于点，求在点处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当时，恒成立． 5．（北京市房山区良乡中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，求证：； 6．（北京市第五十中学2025届高三上学期期中检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 题型2 构造双函数分别求最值 7．（北京市第十五中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数． （Ⅰ）求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）证明：对任意，都有成立． 8.已知函数，， （1）求的最小值； （2）证明：对一切，都有成立． 9.（2014·新课标Ⅰ·高考真题）设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求                    (2)证明: 题型3 构造“形似”函数 10．（北京师范大学第二附属中学2025届高三下学期数学统练一试题）已知. (1)若，求在处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)求证：当时，. 11．（北京市第五中学2024-2025学年高三上学期期中）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 12．（北京市第一六一中学2024-2025学年高三上学期10月测试）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若函数在区间的最大值为1，求实数a的取值范围； (3)若对任意，，当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 13.（23-24高三上·北京·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知m，n是正整数，且，证明． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $