专题04 导数中的恒成立、存在性问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦导数中的恒成立、存在性问题，整合单双变量求参数范围等核心考点，按考情精解、知能框架、题型攻坚逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建解题思路，体现复习系统性与针对性。 资料特色在于对接高考命题轨迹，采用分层题型设计，通过“知识点+题型+真题”模式，如引导学生用转化规则分析双变量问题，培养数学思维与转化能力，设置梯度练习保障效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供有力支持。

专题4导数中的恒成立、存在性问题 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 3 考点一 导数中的恒成立、存在性问题 3 真题动向 必备知识 知识点1 利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略 知识点2 单变量不等式的转化规则 知识点3 双变量不等式的转化规则 命题预测 题型1单变量问题求参数取值范围 题型2双变量问题求参数取值范围 命题轨迹透视 导数的综合应用是高考数学重点和热点，整体难度偏大．从近5年的高考试题来看， 24年和21年都直接考察了零点个数的判断，22和25年的高考题中考查了构造函数解不等式的问题，不管从哪种形式出题，都要求学生能够准确求导，根据导函数判断单调区间、零点或者最值，近5年的命题中，恒成立和存在性问题没有出现，但是恒成立和存在性问题和利用导函数求最值，分类讨论求单调区间有紧密联系。这个部分的整体侧重考查学生的计算能力、逻辑思维能力与转化能力。 考点频次总结 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 导数的基本应用 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T15,5分 T19,15分 2026命题预测 预计在2026年高考中，导数与函数部分仍然以大题形式出现，或者在填空题压轴题的位置出现。 就考察方向来讲，依然围绕切线方程、单调区间及极值最值、零点、不等式这几个角度，恒成立和存在性问题在近几年的考察中出现的比较少，后期考查的概率还是比较大的， 这个内容综合考察了函数分类讨论求单调区间及最值的内容。能够很好考查学生扎实的基本功和灵活运用知识的能力。 考点一 导数中的恒成立存在性问题 1．（2015北京真题，T18,13分）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为2. 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷） 【详解】试题分析：（1）求导：，利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程：（2）利用导数证明不等式，实质利用导数求对应函数最值：，令，只需证（3）恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值，这较繁且难，本题由（2）知时在（0，1）上恒成立，只需证明当时，在（0，1）上不恒成立，这样就简单多了． 试题解析：（1），利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程： （2），结论成立 （3）由（2）知时在（0，1）上恒成立 当时，令则 当时，，即当时，在（0，1）上不恒成立 k的最大值为2． 考点：导数几何意义, 利用导数证明不等式，利用导数求数最值 【名师点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用． 知识点1 利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略 （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 知识点2 单变量不等式，可按如下规则转化 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）， （2）， （3）， （4）， 知识点3 双变量不等式，可按如下规则转化 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 题型1单变量问题求参数取值范围 1．(25-26高三上·北京十一学校顺义学校（北京顺义区杨镇第一中学）·月考)已知函数． (1)求函数的极值； (2)若对都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值；极小值 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）对函数求导，结合函数极值的定义即可求解； （2）只需求出不等式左边的最小值即可，结合导数与最值的关系即可得解. 【详解】（1）由，得.         令得或. 当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示： ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以当时取极大值；当时取极小值. （2）由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上的最小值为. 对都有恒成立，所以. 2．(25-26高三上·北京大学附属中学预科部·)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的导数就是该点处切线的斜率，再结合该点的函数值，用点斜式即可得到切线方程． （2）方法一：要使恒成立，需保证函数的最小值大于等于0，通过求导得到函数的单调性，确定极值点，进而得到最小值，再根据最小值的条件即可求解的值； 方法二：利用且恒成立，可得处函数取到最小值，亦是极小值，再利用极值点处导数为0求得的值，最后进行验证即可． 【详解】（1）由已知，函数，则， 又，， 所以点处的切线方程为，即． （2）方法一：由（1）可得，． 当时，恒成立，因此在定义域内单调递减， 而当时，与题意不符； 当时，令，解得， 则变化如下表． － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 要使恒成立，只需， 令， 则，令，解得， 则变化如下表． ＋ 0 － ↗ 极大值 ↘ 因此且可得，又由上表是唯一的最大值，因此． 方法二：由（1）可得，因此恒成立，即恒成立， 又在处有导数，因此在处取到最小值，亦是极小值， 从而，解得， 当时，，， 令，解得，则变化如下表． 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 因此，即当时，恒成立． 3．(25-26高三上·北京顺义区第一中学·月考)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间及上的最值； (3)若恒成立，写出实数的范围. 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为； (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出单调区间，进而求出函数的最值. （3）求出函数的最小值，再利用恒成立不等式求出范围. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数定义域为R，， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以当时，取得最大值，当时，取得最小值. （3）由（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，， 不等式恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 4．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数． (1)若，求的图象过原点的切线方程： (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】（1）根据导数的几何意义，通过构造函数法进行求解即可； （2）根据对数式与指数式的恒等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意，则， 设切点为，则切线斜率为，由切线过原点， 得，化简得， 令，当时，，，即； 当时，，，即，当且仅当时， 故，，切点为，切线斜率为，所以切线方程为. （2）可化为，即， 令，则，故在上单调递增， 则即，可得， 即，令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以的取值范围为. 5．(25-26高三上·北京八一学校·)已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【解析】（Ⅰ）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程； （Ⅱ）由题意得，讨论根据判定其单调区间； （Ⅲ）法一：由题意得，讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案； 法二：原命题等价于在上恒成立，用参变分离法求出函数最值. 【详解】（Ⅰ）当时， ，         ，    所以切线方程为：，即：； （Ⅱ）由题，可得 由于，的解为， （1）当，即时，，则在上单调递增； （2）当，即时， 在区间上，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为.   (3)当，即时， 在区间 上， 在区间上，， 则在上单调递增，上单调递减.   （Ⅲ）解法一： （1）当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立   （2）当时，， 所以在上单调递增，所以成立.   （3）当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意.      综上所述，的取值范围是.    解法二： 当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 当时，，所以.   当时， ，所以恒成立. 设，则 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 6.（北京市第九十四中2024-2025学年高三上学期开学）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，求函数的单调区间； (3)若在区间上存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增 (3)或 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题 【分析】（1），第一步求函数的导数，第二步求极值点，分析零点两侧的单调性，求得最小值； （2），求导，根据函数的定义域是，所以讨论和0的大小关系，分和两种情况讨论函数的单调性； （3）根据（2）将问题转化为在上存在，使得，讨论极值点与定义域的关系，分，，三种情况讨论函数的最小值，令 ，求实数. 【详解】（1）的定义域为， 当时，， 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值1，函数没有极大值， 所以的最小值为． （2）， ， ①时，即时， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以函数在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增． （3）由题意可知在上存在，使得成立， 即在上存在，使得， 即函数在上的最小值，由第（2）问可知： ①当，即时，在上单调递减， ∴，∴，又∵，∴， ②当，即时，在上单调递增， ∴， ③当，即时，∴， ∵，此时不存在使成立， 综上可得所求的范围是：或． 7．(25-26高三上·北京首都师范大学附属中学·)已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ii） 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、根据极值求参数 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数极值之间的俄关系，即可求解； （2）设点和点，由导数的几何意义写出这两点处的切线方程，假设切线重合，经运算可推出矛盾，即可证明结论； （3）对于恒成立时，求出．令，继而证明当时，在上恒成立，即可确定，使得成立时a的取值范围. 【详解】（1），得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． （2）（i）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 8．(25-26高三上·北京中关村中学·)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若函数在上存在最小值，求的取值范围 【答案】(1)； (2)极大值为，极小值为； (3) 【知识点】求已知函数的极值、已知函数最值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）计算出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （3）由（2）得到函数单调性，结合，得到的取值范围. 【详解】（1）， ， 故， 故在点处的切线方程为， 即； （2）令，得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 极大值为，极小值为； （3）由（2）知，在上单调递增，在上单调递减， 且， 要想在上存在最小值，故 9．(24-25高三上·北京十一学校·)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：的图象与直线无交点； (3)若方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）利用导函数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间，结合函数最值分析求解； （3）换元，分离参数整理可得，构建，利用导数判断单调性和值域即可得结果. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为：，即. （2）由（1）可知， 令得，解得，令得，所以， 可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，所以函数的图象与直线无交点. （3）因为，，即，， 令，则，， 可得，，整理可得，， 构建，，则， 构建，，则， 可知在内单调递增，则， 即，可知在内单调递减， 且，可得， 所以实数的取值范围为. 10．(25-26高三上·北京第三中学·月考)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证，当时，； (3)设实数使得对恒成立，求的最大值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)2. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用函数的导数可得切线斜率，结合切线所过点可得切线方程； （2）构造新函数，利用函数的单调性即可证明； （3）对进行讨论，利用新函数的单调性求参数的取值范围. 【详解】（1），则定义域为： ，，又，即切线斜率为2，且过点， 则切线方程为：； （2）恒成立恒成立. 令，则. 从而在上单调递增，则； （3）由题，令. 则. 当，因，则，， 则此时，在上单调递增，，满足题意； 由（2）知，满足题意； 若，令，则， ，. 则在上单调递减，此时， 即此时，对不恒成立. 综上可得，的最大值为2. 11．(25-26高三上·北京第九中学·月考)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； (3)试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）将在区间上恒成立，转化为，令，问题转化为，利用导数求函数即可得解； （3）由（2）知，时，在区间上恒成立，取，可得解. 【详解】（1）当时，， ， 所以曲线在点处切线的斜率，又， 所以曲线在点处切线的方程为即. （2）在区间上恒成立，即，对， 即，对， 令，只需， ，， 当时，有，则， 在上单调递减， 符合题意， 当时，令， 其对应方程的判别式， 若即时，有，即， 在上单调递减， 符合题意， 若即时，，对称轴，又， 方程的大于1的根为， ，，即， ，，即， 所以函数在上单调递增，，不合题意. 综上，在区间上恒成立，实数的取值范围为. （3）由（2）知，当时，，在区间上恒成立， 即，对， 取代入上式得，化简得. 题型2双变量问题求参数取值范围 12．(25-26高三上·北京八一学校·月考)已知函数. (1)若在处取得极值，求的值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值求参数 【分析】（1）对进行求导，令，求出，同时验证在处取得极小值； （2）对于任意的，都有，转化为，求出后分离参数，转化为求恒成立问题. 【详解】（1）的定义域为， ， 若在处取得极值， ，即， 经验证在处取得极小值，所以. （2），且， 所以当时，， 对于任意的恒成立， 即对任意恒成立， 即恒成立. 令，则. 当时，递增；当时，递减， 当时，的最大值为， ，即的取值范围是. 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 13．(25-26高三上·北京东直门中学·)已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1)(2) (3) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）求导得函数的单调递增区间，由此即可列出不等式求解； （2）求导得函数单调性，进一步得极值点，由此即可列方程求解； （3）首先求得，从而问题可以转换为存在，使得，故只需，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 14．（北京市第一〇一中学2024-2025学年高三上学期数学统练）已知函数. （1）若函数在上是减函数，求实数的最小值； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】利用导数研究能成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）利用在区间上恒成立列不等式，结合二次函数的性质，求得的最小值. （2）结合二次函数的性质，求得的取值范围，利用存在性问题列不等式，利用导数解不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，当时，恒成立，即在上恒成立. ，由于，则，所以当时，有最大值为，也即的最小值为. （2）依题意，存在，使成立，即，存在，使成立. ，由于，所以，，所以. 所以存在，使，. 构造函数， ，由于，所以， 所以， 所以在区间上递减，最小值为. 所以. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解存在性问题，属于难题. 15．（北京市第十五中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷）已知函数． （Ⅰ）求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）证明：对任意，都有成立． 【答案】（1）最小值为0；（2）证明见解析； 【难度】0.85 【来源】北京市第十五中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【详解】试题分析：（1）根据导数可得出函数在上单调递减，在上单调递增，由单调性即可知函数在区间上的最小值为；（2）由（1）可知，的最小值为，对求导，根据单调性知，的最大值为，因此对任意，都有成立． 试题解析：（Ⅰ）由，可得．当单调递减，当 单调递增．所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知在时取得最小值，又，可知． 由，可得．所以当单调递增， 当单调递减．所以函数在时取得最大值， 又，可知，所以对任意，都有成立． 考点：�利用导数判断函数的单调性�利用导数解决实际问题 16．（人大附属中学2024-2025学年高三下学期数学统练）已知函数，. (1)求斜率为1的切线方程； (2)若对于任意，任意，总有，求的最大值； (3)若有4个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义求得斜率，利用点斜式写出方程； （2）利用导数研究函数的最小值，求得最小值为，利用导数研究函数的单调性和极值，进而根据题意得到的取值范围； （3）利用导数分析，根据极值存在的条件，并作换元，转化为函数 与直线在 内有2个不同的交点，利用对数函数的图像和直线的图像，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）,令， ，故切点为， 切线方程为； （2）分析 在 的最小值： ， 时,单调递减； 时 ,单调递增； . 分析在的最大值： 导数. 在或时,单调递增； 时,单调递减. 在处有极大值，在处有极小值. 令，解得， 当时，在内单调递增，趋近于. 保证； 当时，在内的最大值严格小于， 因此，的最大值为； （3） 极值点满足，即：， 令 ，则，方程变为： 根据题意，此方程应当有四个不同的实数根 函数与直线在内有2个不同的交点， 函数在 内单调递减，以直线为渐近线， , 直线横截距为1，斜率为, 设,, ，所以, 此时，函数与直线在内有2个不同的交点， 交点横坐标分别记为，在每一个值的左右两函数值的差出现正负变号， 从而对应方程：的4个实数根的每一个的左右的值出现 正负变号，因此函数有4个极值点， 综上，实数的取值范围是. 17.已知函数满足：①；②；③在内能取到最大值. （1）求实数的值； （2）设函数，若对，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】利用导数研究函数的最值、导数在函数中的其他应用 【详解】试题分析：（1）求出的表达式，得到的导数，得到在内必有解，求出的最大值，从而求出的值即可；（2）设出和的值域，求出的值域，通过讨论的范围，求出的值域，根据集合的包含关系，解关于的不等式，求出的范围即可. 试题解析：（1）当时，有，由条件②得，再由条件①得.故，. 由条件③得在内有最大值，方程，即在内必有解，故，且解为.又最大值为，所以，即，所以. （2）设在内的值域为，在内的值域为，由条件可知. 由（1）知，当时，，，故在内为减函数，所以. 对求导得. 若，则当时，，为减函数，所以. 由，得，故必有. 若，则当时，，为增函数，所以.由，得，故必有. 若，则，此时不成立. 综上可知，的取值范围是. 18.已知函数，函数，，且. （1）讨论函数的单调性； （2）若，且对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究双变量问题 【详解】试题分析：（1）确定函数定义域，对函数求导，根据导数的正负确定单调区间；（2）分别表示出的值域，根据的值域应为的值域的子集可得答案. 试题解析：（1）， 当时，，则在上单调递减. 当时，得；由得 ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增 （2）∵对任意的，总存在，使， ∴对任意的，总存在，使， 设在上的值域为，函数在上的值域为，则. 当时，，即函数在上单调递减， ∴，， ①当时，在上是减函数，此时，的值域为， ∵，又，∴，即 ②当时，在上是增函数，此时，的值域为，∵， ∴，∴， 综上可知的取值范围是. 考点：导数的应用. 【方法点晴】解决本题的关键是确定两个函数的关系，此题将方程变形成，方程两侧变量是无关的，所以在找范围时时可以淡化一个，只考虑一个就行,对于，设，求得在上的值域为，函数在上的值域为，则，先求较简单的函数得，只需讨论的值域即可. 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4导数中的恒成立、存在性问题 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 3 考点一 导数中的恒成立、存在性问题 3 真题动向 必备知识 知识点1 利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略 知识点2 单变量不等式的转化规则 知识点3 双变量不等式的转化规则 命题预测 题型1单变量问题求参数取值范围 题型2双变量问题求参数取值范围 命题轨迹透视 导数的综合应用是高考数学重点和热点，整体难度偏大．从近5年的高考试题来看， 24年和21年都直接考察了零点个数的判断，22和25年的高考题中考查了构造函数解不等式的问题，不管从哪种形式出题，都要求学生能够准确求导，根据导函数判断单调区间、零点或者最值，近5年的命题中，恒成立和存在性问题没有出现，但是恒成立和存在性问题和利用导函数求最值，分类讨论求单调区间有紧密联系。这个部分的整体侧重考查学生的计算能力、逻辑思维能力与转化能力。 考点频次总结 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 导数的基本应用 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T20,15分 T15,5分 T19,15分 2026命题预测 预计在2026年高考中，导数与函数部分仍然以大题形式出现，或者在填空题压轴题的位置出现。 就考察方向来讲，依然围绕切线方程、单调区间及极值最值、零点、不等式这几个角度，恒成立和存在性问题在近几年的考察中出现的比较少，后期考查的概率还是比较大的， 这个内容综合考察了函数分类讨论求单调区间及最值的内容。能够很好考查学生扎实的基本功和灵活运用知识的能力。 考点一 导数中的恒成立存在性问题 1．（2015北京真题，T18,13分）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值． 知识点1 利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略 （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 知识点2 单变量不等式，可按如下规则转化 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）， （2）， （3）， （4）， 知识点3 双变量不等式，可按如下规则转化 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 题型1单变量问题求参数取值范围 1．(25-26高三上·北京十一学校顺义学校（北京顺义区杨镇第一中学）·月考)已知函数． (1)求函数的极值； (2)若对都有恒成立，求实数的取值范围． 2．(25-26高三上·北京大学附属中学预科部·)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值． 3．(25-26高三上·北京顺义区第一中学·月考)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间及上的最值； (3)若恒成立，写出实数的范围. 4．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知函数． (1)若，求的图象过原点的切线方程： (2)若恒成立，求的取值范围． 5．(25-26高三上·北京八一学校·)已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围. 6.（北京市第九十四中2024-2025学年高三上学期开学）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，求函数的单调区间； (3)若在区间上存在，使得成立，求的取值范围． 7．(25-26高三上·北京首都师范大学附属中学·)已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 8．(25-26高三上·北京中关村中学·)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若函数在上存在最小值，求的取值范围 9．(24-25高三上·北京十一学校·)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：的图象与直线无交点； (3)若方程在上有解，求的取值范围． 10．(25-26高三上·北京第三中学·月考)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证，当时，； (3)设实数使得对恒成立，求的最大值． 11．(25-26高三上·北京第九中学·月考)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； (3)试比较与的大小，并说明理由． 题型2双变量问题求参数取值范围 12．(25-26高三上·北京八一学校·月考)已知函数. (1)若在处取得极值，求的值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 13．(25-26高三上·北京东直门中学·)已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 14．（北京市第一〇一中学2024-2025学年高三上学期数学统练）已知函数. （1）若函数在上是减函数，求实数的最小值； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围. 15．（北京市第十五中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷）已知函数． （Ⅰ）求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）证明：对任意，都有成立． 16．（人大附属中学2024-2025学年高三下学期数学统练）已知函数，. (1)求斜率为1的切线方程； (2)若对于任意，任意，总有，求的最大值； (3)若有4个极值点，求的取值范围. 17.已知函数满足：①；②；③在内能取到最大值. （1）求实数的值； （2）设函数，若对，使得，求实数的取值范围. 18.已知函数，函数，，且. （1）讨论函数的单调性； （2）若，且对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $