重难点培优03 利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 利用导数解决函数恒成立问题（★★★★） 3 题型二 利用导数解决函数能成立（有解）问题（★★★★） 4 03 实战检测・分层突破验成效 6 检测Ⅰ组 重难知识巩固 6 检测Ⅱ组 创新能力提升 7 一、恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 二、恒成立问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 三、能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 四、能成立（有解）问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 题型一 利用导数解决函数恒成立问题 【技巧通法·提分快招】 要解决函数恒成立问题，先把恒成立的条件转化为函数最值问题。通过求导找到函数的单调性，进而确定其最值。若要函数值始终大于（或小于）某数，就保证其最小（或最大）值满足相应条件，以此确定参数范围。 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数，，. (1)求函数的极值； (2)若恒成立，求实数的最小值. 2．（2025·北京·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)当时，求在处的切线方程; (2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (3)若当时，恒成立，求的取值范围. 3．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 4．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 5．（2025·北京丰台·二模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求的取值范围． 6．（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 7．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 8．（2025·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 9．（2025·北京西城·一模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 题型二 利用导数解决函数能成立（有解）问题 【技巧通法·提分快招】 对于能成立（有解）问题，转化为函数存在最值或取值能达到目标。求导分析函数单调性、极值，只要函数能取到对应值，满足存在性即可。找到函数在区间内的最值情况，判断是否存在参数让条件成立 。 1．已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 2．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 3．已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 4．已知函数 (1)求出函数在上的最值 (2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围． 5．已知函数的极小值为． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围． 6．已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 7．已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 8．已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 9．已知实数，设． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 10．设函数． (1)当时，若函数有2个极值，求实数的取值范围； (2)当时，若函数的最小值为4，求实数的值； (3)当时，求证：总存在实数，当时，． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 2．已知函数在处取得极值． (1)求a的值； (2)若存在使得，求实数m的取值范围． 3．已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 4．已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，存在，使得，求a的取值范围. 5．已知函数. (1)若，证明：； (2)若存在过点的直线与曲线相切，求实数a的取值范围. 6．已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 7．已知 (1)当时，求函数的单调区间； (2)，恒成立，求的取值范围； (3)，恒成立，求正整整的最小值． 8．已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 9．已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 10．已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：； (3)设，若存在实数使得，求的最大值. 11．已知函数. (1)证明：当时，恒成立； (2)求函数的单调区间； (3)设数列，的前项和为，证明：. 12．已知函数． (1)当时，曲线与关于点中心对称，求函数的解析式； (2)讨论在上的单调性； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围． 13．已知函数，其中. (1)证明：当时，； (2)若时，有极小值，求实数的取值范围； (3)对任意的恒成立，求实数的取值范围. 14．已知函数， (1)解不等式：； (2)函数，求的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 15．已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．当时，总有不等式成立． (1)求实数的取值范围； (2)设方程，试确定该方程实根的个数，并证明你的结论． 2．已知函数． (1)讨论的单调性，并求的极大值； (2)若存在正实数，使得成立，求a的值． 3．已知函数，. (1)若，证明：当时，为增函数； (2)若有解，求的最小值. 4．设函数. (1)求函数的值域； (2)当时，恒成立，求的最小值； (3)若，证明：. 附：. 5．已知函数． (1)设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方； (3)若不等式对任意恒成立，求可取的最大整数值． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优03 利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 利用导数解决函数恒成立问题（★★★★） 3 题型二 利用导数解决函数能成立（有解）问题（★★★★） 14 03 实战检测・分层突破验成效 25 检测Ⅰ组 重难知识巩固 25 检测Ⅱ组 创新能力提升 41 一、恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 二、恒成立问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 三、能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 四、能成立（有解）问题的解决策略 ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 题型一 利用导数解决函数恒成立问题 【技巧通法·提分快招】 要解决函数恒成立问题，先把恒成立的条件转化为函数最值问题。通过求导找到函数的单调性，进而确定其最值。若要函数值始终大于（或小于）某数，就保证其最小（或最大）值满足相应条件，以此确定参数范围。 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数，，. (1)求函数的极值； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)极大值为-1，无极小值； (2) 【分析】（1）求得导函数，根据的正负结合的定义域可求出的单调区间，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意，转化为，然后构造函数，根据的单调性且分离参数得，令利用导数求出最值即可； 【详解】（1）由题意得函数， 得的定义域为， 所以， 令，得，所以函数在单调递增； 令，解得，所以函数在单调递减； 所以函数在处取得极大值，且极大值为，无极小值. （2）由， 即在恒成立，且， 所以， 即， 令， 则， 所以， 且，因为，所以， 所以在单调递增， 所以， 令， 则， 令，解得，则在单调递增， 令，解得，则在单调递减， 所以在处取得最大值， 所以实数的取值范围为， 故实数的最小值为. 2．（2025·北京·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)当时，求在处的切线方程; (2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (3)若当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，求得，得到，进而得到切线方程； （2）求得，令，得到，分和，两种情况讨论，结合函数在区间上不单调，得出不等式，即可求得的取值范围； （3）根据题意，转化为在区间上恒成立，令，求得，令，得到，得到，得到的单调性和最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，函数，可得， 则， 所以 在 处的切线方程为，即. （2）解：由函数，可得， 令，则， 若，可得恒成立，则在上单调递增，不符合题意； 若，令，可得， 要使得函数在区间上不单调，则满足， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以实数的取值范围为. （3）解：当时，由恒成立，即， 即恒成立，即在上恒成立， 令， 可得， 令，则且， 所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为 3．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把问题等价转为为证明在区间恒成立，设，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）求导后，分和两种情况讨论，当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值，当，函数先减后增，有最小值，求解即可； （3）记，分和和时讨论，根据（1）（2）中得结论结合零点存在定理，推出和两类不等式矛盾，当时，，得出在单调递增，从而，满足题意，即可求解． 【详解】（1）在恒正， 则在区间恒成立等价于在区间恒成立． 取，，故在区间单调递增， 所以． 故原不等式恒成立． （2），， 当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 则的最小值为，令，，则，的单调递增区间是，单调递减区间是，． 即当时，的最小值为0， ． （3）记， 则当时，由（2）知，在上单调递减，所以． 对恒成立， 又当时，由（1）知，， 取时，， 则与已知不等式矛盾． 当时，， ，由（1）知， 当时，，取，则， 从而由函数零点存在定理知，存在，使， 当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾． 当时，， 在单调递增，从而，，满足题意． 综上可知． 4．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（ii）令，利用导数说明函数的单调性，即可得到的单调性，再结合零点存在性定理证明即可； （2）令，，求出函数的导函数，对分三种情况讨论，说明函数的单调性，即可得解. 【详解】（1）（i）当时，则， 又，则， 所以函数在点处的切线方程为； （ii）因为，，令，，则， 当时，所以，所以即在上单调递减， 又，所以，所以在上单调递增， 又，当时，，所以， 所以在区间上有且只有一个零点； （2）由对恒成立， 即对恒成立， 令，，则， 所以，令， 则， 当时，对任意，则， 所以在单调递减，所以，满足题意； 当时，在上恒成立，所以在单调递减，又，， ①当，即时，恒成立，所以在单调递减， 所以，满足题意； ②当且时，即时，由零点存在性定理知，，使得. 当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意； ③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意. 综上，的取值范围为. 5．（2025·北京丰台·二模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为. (3) 【分析】（1）根据函数在某点处的切线方程，利用导数几何意义以及该点在函数图像和切线上来求解的值； （2）通过对函数求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间； （3）将的表达式代入不等式，通过移项、因式分解等方法求解的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以． 由题意解得. （2）由（1）得． 令，解得． 当变化时，的变化情况如表所示： -4 -1 0 - 0 + 0 - 0 + 单调递减 单调递增 1 单调递减 0 单调递增 所以的单调递增区间为， 单调递减区间为． （3）设． 设，则． 当时，在上单调递增，， 当时，在上单调递减，， 所以恒成立． 由题意，等价于或， 解得或． 综上，的取值范围是． 6．（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；②两个，理由见解析 【分析】（1）分，两种情况，解不等式，可得单调区间； （2）①由（1）可得满足题意，注意到，通过研究单调性可得答案； ②由（）单调性，结合零点存在性定理可得零点个数. 【详解】（1），． 当时，对，， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，得． 因为时，；时，． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）①由（1）知，当时，的单调递增区间为， 所以当时，有，不符合题意； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 令（），， 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 0 ↗ 所以 所以时，， 时，，所以． ②方程有两个根，证明如下： 令（），， ①时，令，， ，，单调递增， ， 所以，， ． － 0 ＋ ↘ 0 ↗ ，，， 所以在区间上有一个零点． ②时，，，所以，所以递增， ， 由（i）知，所以在区间上有一个零点． ③时，由①知，， 所以，所以无零点． ④时，因为， 对于函数，则, 故在上递增， 所以， 所以无零点． 综上可知函数有两个零点． 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常利用数形结合思想，转化为函数图象的交点问题，也可如本题，利用函数单调性结合零点存在性定理解决. 7．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的减区间为,增区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数即可判断单调区间； （3）构造函数对任意恒成立，据此根据导数求解即可. 【详解】（1）由，得 ， 则 ，又， 所以曲线在点处的切线为； （2）当时，， 所以 ， 令，则 ， 所以在单调递增，且， 所以当时，，则 ，函数单调递减， 当时，，则 ，函数单调递增， 所以函数的减区间为，增区间为； （3）设， 则 ， 因为时，所以为增函数， 又在上都是增函数， 所以函数 在上单调递增，且 ， 当即时， ， 所以函数在上单调递增，所以， 所以时，符合题意； ②当即时， ，又 ， 当 即时， 恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 此时不符合题意； 当 即时， 存在，使得 ， 且当时， ，当时， ， 即函数在上单调递减，此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 8．（2025·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； (3)见解析 【分析】（1）求导得出即可求解； （2）利用导数求解函数的单调区间，分和和进行讨论，其中当和时，需要令，研究的单调性，得出与的关系即可判断； （3）把问题转化为：令，需要证明对任意成立，分两种情况来讨论，通过求导，证明出单调递增． 【详解】（1）， ， ， 切线平行于直线：， ，解得：； （2）， ， 当时，显然，故在上单调递增； 令，， 当时，，故在上单调递增， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故在上单调递增； 当时，令，， 当时，，故在上单调递减， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； （3）当时，需要证明：，恒有成立， 即， 化简得：， 即证：， 当时，，又， ， 当时，记，则， 记，则， ，， 所以当，单调递增，所以， 所以在单调递增，所以， 综上：对任意，恒有成立． 9．（2025·北京西城·一模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)2 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）易得函数在上单调递增，再结合题设将问题转化为，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 则，解得． （2）由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得， 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由（2）知，当时，函数在区间单调递增， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增. 综上所述，函数在上单调递增， 所以． 由，得， 令，则， 由，得或． 当变化时，与的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在和上单调递增，在上单调递减． 又因为，，且， 所以当时，；当时，． 即当且仅当时，恒成立， 所以使得成立的的最小值为2． 题型二 利用导数解决函数能成立（有解）问题 【技巧通法·提分快招】 对于能成立（有解）问题，转化为函数存在最值或取值能达到目标。求导分析函数单调性、极值，只要函数能取到对应值，满足存在性即可。找到函数在区间内的最值情况，判断是否存在参数让条件成立 。 1．已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意结合导数依次求出即可由直线点斜式方程求解； （2）先由得到，构造函数，利用导数求出即可由存在性得解. 【详解】（1）时，， 所以，所以切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为即. （2）因为，使得即， 所以，令，则， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以， 所以. 2．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 3．已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）当时，不等式变形为在上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则 由（1）知时，即， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数a的取值范围是. 4．已知函数 (1)求出函数在上的最值 (2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值； （2）把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可； 【详解】（1）因为，，所以， 令，令， 因为函数，在上单调递减， 所以在上单调递减，又， 所以方程得解为， ，的变化情况如下表所示． x e + + 0 单调递增 单调递减 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 当时，有极大值，也是的最大值. 又因为，， 所以，所以为的最小值. （2）因为，所以不等式可化为， 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为的最大值，， 所以，时，最大，所以不等式， 即存在唯一的整数解只能为1， 所以，所以 所以a的取值范围为. 5．已知函数的极小值为． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据函数的极小值为，求得a，再利用导数的几何意义求解； （2）由（1）知：得到在上递增，再将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，令，求得其最大值即可. 【详解】（1）因为函数， 所以，显然， 因为函数的极小值为， 所以，解得， 此时当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故极小值为，满足要求， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由（1）知：当时，， 所以在上递增， 因为存在，使得成立，即， 所以存在，使得成立， 所以存在，使得成立，即成立， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，则实数b的取值范围是. 6．已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导得函数的单调递增区间，由此即可列出不等式求解； （2）求导得函数单调性，进一步得极值点，由此即可列方程求解； （3）首先求得，从而问题可以转换为存在，使得，故只需，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 7．已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间； （2）转化为，，进而可得a的取值范围. 【详解】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若 ，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若 ，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 8．已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【答案】(1)极大值点，极大值，无极小值点和极小值； (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，得出单调性，进而求出极值和极值点情况； （2）求出，根据的值域确定出的正负性，进而得出单调性即可求最值； （3）将问题转化为使得成立，求的最小值即可. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值； （2）因， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 因，则，， 则存在使得， 故时，；时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，则， 故函数在上的最小值为. （3）由题意可知，使得成立， 即使得成立， 又，则，即， 故a的取值范围为. 9．已知实数，设． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，写出切线方程即可； （2）求函数单调区间、极值、零点，，集合，由题意知，由时不成立知， 讨论与1的大小关系求出满足的的取值范围. 【详解】（1）因为， ，， 所以，则. 故点处的切线方程为，即. （2）由已知有，令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和， 当时，取极小值，当时，取极大值， 由知，当时，，当时， 因为对于任意的，总存在，使得， 当时，不成立，故，所以，所以. 设集合集合 则“对于任意的，都存在，使得”等价于. 下面分两种情况讨论： 当即时，有且此时在上单调递减，的值域为， 故，，所以A不是B的子集. 当即时，有且此时在上单调递减，故，因而， 由有在上的值域为，所以，所以满足题意. 综上，的取值范围为 10．设函数． (1)当时，若函数有2个极值，求实数的取值范围； (2)当时，若函数的最小值为4，求实数的值； (3)当时，求证：总存在实数，当时，． 【答案】(1) (2)或． (3)证明见解析 【分析】（1）时， ，求导，则，求解即得； （2）当时， ，求导后，分类讨论得函数的单调性与最值，由此求出答案； （3）当时，．设 ，又设 ，求导后，又由，得，由此得到答案. 【详解】（1）当时， ， ， 若函数有2个极值，则在有两个零点. 所以,解得． 故实数的取值范围为． （2）当时，，， ． 当时，，是上的减函数，无最小值，舍去； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 解得或． （3）当，时，有． 方法一：设 ，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， ． 当时，恒成立，所以存在，当时，， 即当时，． 当时，，以下证明，且． 令，，则， 因为，所以是上的增函数， 由，得是上的增函数， 所以，故当时，． 故，， 由零点存在性定理知，存在，使， 故当时，，即当时，． 方法二：设， 又设，，则， 易知当时，，故． 又由，得， 当，时，取为与4中的较大者， 则当时，恒有，即当时，． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由偶函数的性质得方程到恒成立，即可求； （2）根据对称性有在上恒成立，利用导数及分类讨论研究左侧的单调性，判断不等式能否恒成立，即可得范围. 【详解】（1）由题设，则， 所以，即，亦即恒成立， 所以，所以，所以； （2）由题设恒成立，而时恒成立，此时， 由对称性只需在上恒成立， 令且，则， 令，则， 当时，，此时，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增，则，满足； 当时，由，则在上恒成立， 即在上单调递增，故在上单调递增， 而，时，，使， 故有，，此时，即在上单调递减，则有， 所以在上单调递减，故存在，不满足； 综上，. 2．已知函数在处取得极值． (1)求a的值； (2)若存在使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，根据求得的值，验证函数的单调性可知的值符合题意. （2）问题等价于存在使得，构造函数，对函数求导，利用导数研究函数的单调性以及最值即可求得的取值范围. 【详解】（1）， 由已知， 又当时，，令得， 且当时，在区间上单调递增， 时，在区间上单调递减． 在处取得极大值. 综上，. （2）问题等价于存在使得． 设，则 当时，在上单调递减， ， 故m的范围是． 3．已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求得，结合，构造，应用导数研究其零点，即可求参数值； （2）问题化为有解，构造研究不等式能成立求参数范围. 【详解】（1）设的图象与直线切于点，则①， ，则，即，代入①式得. 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 故，即. （2）由题意得有解，即有解. 令，则， 若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意； 若， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 4．已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，存在，使得，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，对参数进行讨论，判断与0的大小即可得到相应的单调区间； （2）依题意，由参数可知只需即可，结合（1）可求. 【详解】（1） 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则 当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增； 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）因为存在，使得，只需或， 因为，所以，     所以只需，由（1）知为与中的较大者， 所以或，解得或，     所以 综上所述，a的取值范围为. 5．已知函数. (1)若，证明：； (2)若存在过点的直线与曲线相切，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数只需证即可； （2）设切点为，求出切线方程为，又切线经过点得即，令，利用导数求，只需即可. 【详解】（1）当时，，， 则，， 令，.则， 所以函数在上单调递增， 又，所以当时，，即， 所以函数在上单调递减； 当时，，即，所以函数在上单调递增， 所以当时，，所以. （2）设过点的直线与曲线相切于点， ，则， 则切线方程为，又该切线经过点，所以， 即， 整理得， 即，即， 即，显然当时，不合题意； 则，令，，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 所以函数在时取得最大值， 且当时，，当时，，所以， 即，解得或，所以实数的取值范围为. 6．已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值 . 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 7．已知 (1)当时，求函数的单调区间； (2)，恒成立，求的取值范围； (3)，恒成立，求正整整的最小值． 【答案】(1)增区间为和，减区间为． (2) (3)2 【分析】(1)依据题设条件，运用导数与函数的单调性之间的关系求解； (2)依据题设条件，先将不等式进行化简，再构造函数借助导数工具，对参数的取值范围分类探求其最值； (3)构造函数利用导数求其最小值，得到一个不等式对进行适当的放大，然后利用等比数列的求和公式计算最后得到正整整的最小值. 【详解】（1）若，则， 令，得或， 得或，得， 函数的增区间为和，减区间为． （2）因为， 所以， 即， 因为，所以对任何均恒成立． 设函数，则时． 因为 所以，故． 又， 若，则，所以得，得， 所以函数在递减，递增， 所以时成立． 若，则时，得或 ，，即． 所以得或，得， 所以函数在递增，递增，递减， 所以函数的最小值在或处取得， ，， 时成立． 综上，的取值范围． （3）设， 时得，得， 所以函数在递增，递减， 故，即， 所以，故， 所以， 故， 因为，所以正整整满足成立． 又因为时，，所以正整整最小值为2． 8．已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把问题等价转为为证明在区间恒成立，设，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）求导后，分和两种情况讨论，当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值，当，函数先减后增，有最小值，求解即可； （3）记，分和和时讨论，根据（1）（2）中得结论结合零点存在定理，推出和两类不等式矛盾，当时，，得出在单调递增，从而，满足题意，即可求解． 【详解】（1）在恒正， 则在区间恒成立等价于在区间恒成立． 取，，故在区间单调递增， 所以． 故原不等式恒成立． （2），， 当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 则的最小值为，令，，则，的单调递增区间是，单调递减区间是，． 即当时，的最小值为0， ． （3）记， 则当时，由（2）知，在上单调递减，所以． 对恒成立， 又当时，由（1）知，， 取时，， 则与已知不等式矛盾． 当时，， ，由（1）知， 当时，，取，则， 从而由函数零点存在定理知，存在，使， 当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾． 当时，， 在单调递增，从而，，满足题意． 综上可知． 9．已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5． 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【详解】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 10．已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：； (3)设，若存在实数使得，求的最大值. 【答案】(1)增区间为，减区间为； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出，判断导数正负得到函数的单调区间； （2）利用分析法转化要证结论，要证，即证，令，即证，利用导数判断单调性，求出最大值即可得证； （3），分别讨论当时和时是否存在使得，即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 所以当时，；当时，. 所以的增区间为，减区间为. （2）要证，即证，令，即证， ，令，则，所以在上单调递减，又， 当时，；当时，. 在上单调递增，在上单调递减， ，所以，即得证. （3）当时，，即存在满足题意； 当时，由（2）知， ， 此时恒成立，不满足题意； 综上，所以的最大值为. 11．已知函数. (1)证明：当时，恒成立； (2)求函数的单调区间； (3)设数列，的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性与最值，进而得证； （2）求导，根据导数分情况讨论函数单调性； （3）由（1）可知当时，，即，利用裂项相消法求和可得证. 【详解】（1）由已知当时，， 可得， 令，解得，令，解得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； （2）由，， 可得， 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，解得，令，解得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）由（1）得在上恒成立，且当时，不等式取等号， 所以当时，， 即， 所以 . 12．已知函数． (1)当时，曲线与关于点中心对称，求函数的解析式； (2)讨论在上的单调性； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）设点为图象上任一点，根据点P关于点的对称点为在的图象上，即可求解； （2）分，，，三种情况即可； （3）将在上恒成立，化为恒成立，构造函数再分类讨论即可． 【详解】（1）当时，，设点为图象上任一点， 则点P关于点的对称点为在的图象上， 所以，即， 所以； （2）因为，所以； ①当时，在上恒成立，所以在上单调递减； ②当时，在[上恒成立，所以在上单调递增； ③当时，令，解得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）不等式在上恒成立，则恒成立， 所以恒成立，设， 则，令， 则，令， 则，故在上单调递增，且， 所以，所以在上单调递增，， 当时，，则，故在上单调递增， 且，故恒成立，满足题意； 当时，，则存在，使得， 且当，，则在上单调递减， 又，则当时，，不满足题意． 故． 13．已知函数，其中. (1)证明：当时，； (2)若时，有极小值，求实数的取值范围； (3)对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性分析证明； （2）求导，令，利用导数分析可知在内单调递增，分类讨论的符号，进而分析的极值，即可得结果； （3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可. 【详解】（1）因为，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以当时，. （2）因为，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 当，即时，则对任意恒成立，即， 可知在内单调递增，无极值，不合题意； 当，即时，则在内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知存在极小值，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. （3）令， 则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，则，解得， 若，因为，则， 则， 可知在内单调递增，则，即符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 14．已知函数， (1)解不等式：； (2)函数，求的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)三个零点 (3) 【分析】（1）先构造函数，再根据对数函数的单调性及三角函数值域计算求解； （2）根据导函数正负得出函数的单调性，再应用零点存在定理得出零点结合函数对称性判断零点个数即可； （3）分求出函数的导函数正负结合函数单调性即可求解参数. 【详解】（1）设，（） ①当时，，，∴，不符合题意. ②当时，，，∴，满足题意. ③当时，，不满足题意. 综上：原不等式的解集为. （2）的定义域为， 1为的一个零点，且，∴关于点对称， 当时，， ∵，∴在为减函数， ，，∴，，，， ∴在为增函数，在为减函数，∴， ∵∴，∴为的一个零点， 由对称性：也为的一个零点，共有，1，三个零点； （3）①当时， 当时，，，，，满足题意. 当时，，满足题意. 当时，，，， ，满足题意. ∴满足题意 ②当时，，满足题意. ③当时，设， 设 则 ⅰ）当时，，在递减， 当，即，当时，，∴， 在单调递增，，满足题意. ⅱ）当时，关于点中心对称， ∴，当时，满足题意. ⅲ）当时，满足题意. 当时，当时，，在递减，， ，，使得，当时，，即， 在递减，当时，，不满足题意. 综上：. 15．已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出函数的解析式，利用导数分析函数的单调性，即可求出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （3）由题意可知，当时，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，. （2）因为，其中， 则， 当时，即当时，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，即当时， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）由（2）可知，当时，函数在上单调递增，则，不合乎题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， （i）若，则时，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 设，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则，合乎题意； （ii）若，即当时，函数在上单调递减， 所以，，解得， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面： （1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论； （2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况； （3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.                         ． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．当时，总有不等式成立． (1)求实数的取值范围； (2)设方程，试确定该方程实根的个数，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)方程有且仅有两个实根，证明见解析 【分析】（1）设， 求导，分类讨论，利用导数判断原函数的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解； （2）令，求导，分类讨论，利用导数判断原函数的单调性，结合零点存在性定理分析求解. 【详解】（1）设，则． 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由题意得， 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以． 综上，，所以； 当时，恒成立， 所以在上单调递减，且， 当时，，不符合题意，所以舍去． 综上所述，实数． （2）由题意得，， 令． 因为，所以是方程的一个实根． 又， ①当时，， 所以，所以在上单调递减，， 即在上无实根； ②当时，令， 则，所以在上单调递增， 又， 所以在上有唯一实数根，且满足， 当时，在上单调递减， 此时，方程在上无实根； 当时，在上单调递增， 因为，可得， 此时 ， ， 故方程在上有唯一实根； ③当时，由（1）知，在上单调递增， 所以， 故， 即方程在上无实根． 综上所述，方程有且仅有两个实根． 【点睛】方法点睛：（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准是解此题的关键； （2）关于恒成立问题，我们首先看能否分离参数，不能分离参数时要分类讨论，注意分类要做到不重复，不遗漏； （3）关于两个函数的交点个数问题，我们一般采用画图法，如果不能画图，构造一个函数，讨论的根的个数问题. 2．已知函数． (1)讨论的单调性，并求的极大值； (2)若存在正实数，使得成立，求a的值． 【答案】(1)单调性见解析； (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，，再讨论，判断函数的单调性，讨论函数的极值； （2）不等式转化为，利用两点间的距离的几何意义，转化为点到直线的距离，求的值. 【详解】（1）由已知，函数的定义域为， 且， 当时，由得，由得， 所以的减区间为，增区间为，无极大值， 当时，由得，由得或， 所以的减区间为，增区间为，， ∴当时，取极大值为， 当时，恒成立，在上单调递增，无极值； 当时，由得，由得或， 所以的减区间为，增区间为，， ∴当时，取极大值为， 综上，取极大值为 （2）， 可以看作是动点与动点之间距离的平方． 动点P在函数的图象上，Q在直线的图象上， 问题转化为求直线上的动点Q到曲线的动点P的最小距离， 由得，，解得， 所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离， 则，根据题意，要使， 则，此时Q恰好为垂足， 由可得，所以． 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的性质的综合应用的问题，本题的关键是第二问，不等式变形转化为，再转化为直线和函数的图象上点的距离问题. 3．已知函数，. (1)若，证明：当时，为增函数； (2)若有解，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由放缩法得出，构造函数，利用导数得出，从而证明为增函数； （2）由不等式的性质可得，从而构造函数，利用导数得出其最小值，从而得出的最小值. 【详解】（1）当时，，易知的定义域为， 则当时，， 令，则， 令，即在上为增函数， 且，即 故在上为增函数，，故， 故在上为增函数，故， 故，则， 即，为增函数； （2）设的解为，则， 对，，，，， 故，当且仅当时取等号， 故， 所以. 令，则.设，则， 当时，；当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 则，即的最小值为. 【点睛】关键点睛：对于问题（2），关键在于利用不等式的性质得出，再构造函数，得出的最小值. 4．设函数. (1)求函数的值域； (2)当时，恒成立，求的最小值； (3)若，证明：. 附：. 【答案】(1) (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而可求的值域； （2）用分离参数的方法，转化为不等式恒成立问题，构造函数，利用导数研究函数的最值求解即可； （3）化简可得，接下来结合（1）证明，在结合（2）的结论即可证明. 【详解】（1）由，，得 因为，则，即 所以在区间递减，即值域为 （2）在区间上，由恒成立，得， 设，当时，，故只需研究时的情形 ，设， 在区间上，， 所以，在区间上递减，所以， 即在区间上递减，所以， 所以，解得，故的最小值为1. （3）由，，得即， 所以 由（1）可知，当时，，即， 所以当，， 当时，有， 又由（2）知时，，所以 所以，故， 所以 所以 5．已知函数． (1)设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方； (3)若不等式对任意恒成立，求可取的最大整数值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1），令，由题意得到对于恒成立，参变分离求最值即可求解； （2）设切点为，则切线方程为，构造函数，只需证明即可． （3）构造函数，问题转化成恒成立，求导确定函数最值即可. 【详解】（1）． 所以， 令， 因为在上单调递减， 所以对于恒成立， 可得对于恒成立， 令，则时，， 易知在上单调递增， 所以，所以． 即实数的取值范围为． （2）当时，， 设切点为，则切线方程为， 令，依题意，只需证明即可． ， 令， 当时，， 在上单调递减，即在上单调递减， 又， 故当时，，单调递增， 当时，单调递减， ，则恒成立，即得证． （3）不等式恒成立，即恒成立， 设， 则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 因为，所以不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则． 设，则恒成立，所以在上单调递增，又， 故可取的最大整数值为． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$