第五章 直角三角形（举一反三单元测试·培优卷）数学湘教版2024八年级上册

第五章 直角三角形·培优卷 【湘教版2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，点D是的中点，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 2．（3分）（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，点A表示的数为（    ） A．1.414 B． C． D． 3．（3分）（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 4．（3分）（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（3分）（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图是“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么小正方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（3分）（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（3分）（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 9．（3分）（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（3分）（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）在中，，比小，则 ． 12．（3分）（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 13．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，点分别在直线和上，点在上， ，则 ． 14．（3分）（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为 ． 15．（3分）（24-25八年级下·贵州黔南·期末）如图，在矩形中， ，M 是线段上一动点，连接，沿 翻折 点C 的对应点为点 N，连接，当的长度最小时，的长是 ． 16．（3分）（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（6分）（24-25八年级下·新疆喀什·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点． (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段为． 19．（8分）已知：如图，，，垂足分别为N，M，，与相交于点P． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（8分）（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． (1)求城镇A，B之间的距离； (2)现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站应修建在离点M多远处？ 21．（10分）（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为， (1)已知，求的长； (2)请写出，，之间的数量关系并证明． 22．（10分）（24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 23．（12分）（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，平分，，，于E点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 直角三角形·培优卷 【湘教版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，点D是的中点，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（3分）（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，点A表示的数为（    ） A．1.414 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理可得，再根据数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴点A表示的数为， 故选：D． 3．（3分）（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，作于H，据此得到，由此计算三角形的面积． 【详解】解：作于H， ∵平分，是边上的高线，， ∴， ∴的面积， 故选：B． 4．（3分）（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键． 先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长． 【详解】在中，，，， ， 由翻折的性质知，， ． 故选：B． 5．（3分）（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图是“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么小正方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查勾股定理的证明，关键是直角三角形中勾股定理的运用． 根据勾股定理求得，进而求得的值即可． 【详解】解：∵，，，，，是四个全等的直角三角形， ∴， ， ∵、、和是四个全等的直角三角形， ∴， ， ∴小正方形的面积是4 故选：C． 6．（3分）（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等．由折叠的性质得，，可得，再设，，在中利用勾股定理列出方程，解出x，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 7．（3分）（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 8．（3分）（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理． 先求出，，，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示： ∵正方形和正方形的面积分别是49和25， ∴，，， ∵M，A，B在同一条直线上， ∴， 在中， 由勾股定理得：． 故选：D． 9．（3分）（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理以及勾股定理的应用．解题关键是熟练掌握角平分线的性质定理； 由作图知平分，结合（即）和，根据角平分线性质得．利用“”可证，从而得出．由，，算出；根据勾股定理，求得．将周长转化为，利用，进一步转化为，代入，，算出周长． 【详解】解：由作图知：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 的周长． 故选：C． 10．（3分）（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】B 【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，；由于，得到；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故A选项不符合题意； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故B选项符合题意； ∵， ∴， 故C选项不符合题意； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 过作于，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）在中，，比小，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，其他问题(一元一次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点． 先根据直角三角形的两个锐角互余，得到，再根据比小，代入得到关于的一元一次方程求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵比小， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 【答案】18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 13．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，点分别在直线和上，点在上， ，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 14．（3分）（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，勾股定理逆定理，平行线的性质，利用勾股定理证明出是直角三角形是解题关键．由三角形外角的性质，得出，再结合平行线的性质，得到，利用勾股定理逆定理，得出，即可求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（3分）（24-25八年级下·贵州黔南·期末）如图，在矩形中， ，M 是线段上一动点，连接，沿 翻折 点C 的对应点为点 N，连接，当的长度最小时，的长是 ． 【答案】3 【分析】该题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是确定当点共线时，最小，是解题的关键．根据勾股定理求出，根据折叠可得，得出当点共线时，最小，此时，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 在矩形中， ， ∴， 根据折叠可得， ∵， 故当点共线时，最小，此时， ∵， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：3． 16．（3分）（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是 ． 【答案】南偏东 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．直接得出海里，海里，海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵甲舰艇沿北偏东方向航行， ∴， ∴乙舰艇的航行方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）利用证明得到，则由勾股定理可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1））证明：平分， ∴， 又∵，， ∴， ， ； （2）解：， ． 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴． 解得，即的长为． 18．（6分）（24-25八年级下·新疆喀什·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点． (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用勾股定理画图． （1）借助格点，根据勾股定理构长为的线段即可； （2）利用勾股定理进行证明即可． 【详解】（1）解：线段即为边长为的线段； （2）解：∵为直角三角形，，， ∴． 19．（8分）已知：如图，，，垂足分别为N，M，，与相交于点P． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， ， ， ． 20．（8分）（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． (1)求城镇A，B之间的距离； (2)现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站应修建在离点M多远处？ 【答案】(1)城镇，之间的距离为13千米 (2)中转站应修建在离点的距离为千米处． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出（千米），由勾股定理可得（千米）； （2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接． ． ，， ，， 四边形为矩形， 千米，千米， （千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为13千米； （2）解：如图，连接，，设千米，则千米． ， ， ∴， 解得， 中转站应修建在离点的距离为千米处． 21．（10分）（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为， (1)已知，求的长； (2)请写出，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）由题意得出是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得出，进而勾股定理求得，进而根据，即可求解； （2）证明得出，进而根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出，进而根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的角平分线．， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的角平分线．， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 22．（10分）（24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)应选择八（1）班铺设方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可证明结论； （2）利用等面积法求出，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度， ∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案． 23．（12分）（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，平分，，，于E点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)17 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过C点作，交的延长线于F点，先根据角平分线的性质定理，证明，再证明和，得到，，即可通过等量代换证明结论； （2）先根据（1）的结论求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：过C点作，交的延长线于F点， 平分， ，， ， 又，， ， ， ，，， ， ， ． （2）解：由（1）可知， ， ， 在中，， 又， ∴在中，． 24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $