专题01 三角函数全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

专题01 三角函数全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 任意角 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 2．（25-26高一上·全国·单元测试）下面与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西汉中·月考）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）在直角坐标系中，作出下列各角，在范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)； (2)； (3)； (4). 题型2 弧长、扇形面积的有关计算 6．（25-26高一上·重庆·期中）若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东揭阳·期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·全国·单元测试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为24cm的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”．若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为 （结果中可以含）．    10．（24-25高一下·广西钦州·月考）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 题型3 任意角的三角函数的定义 11．（25-26高一上·河北保定·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知角的终边过点，则等于（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 14．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则 . 15．（24-25高一上·天津·月考）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 题型4 同角三角函数的基本关系 16．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·全国·课前预习）化简（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则 . 20．（24-25高一上·江苏南京·月考）化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 题型5 诱导公式 21．（25-26高一上·全国·课前预习）（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·全国·课后作业）求值： ． 25．（24-25高一下·陕西汉中·月考）化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 题型6 三角函数的图象及其应用 26．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   27．（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 29．（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 30．（24-25高一上·广东江门·月考）已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 题型7 三角函数的单调性问题 31．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·重庆·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 34．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，，且在区间上单调，则的最大值为 ． 35．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若在区间上的最大值为，求的最小值． 题型8 三角函数的图象与性质的综合 36．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 37．（24-25高一下·北京·期中）关于函数，有下述四个结论： ①是偶函数；        ②在区间单调递增； ③在有3个零点；    ④的最大值为2． 其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 38．（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 39．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 40．（2025高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 题型9 三角恒等变换 41．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一下·云南楚雄·月考）已知，，则 . 45．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 题型10 三角函数的图象变换 46．（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 47．（2025高一·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 48．（24-25高一下·河南·月考）若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（   ） A．先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 B．先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 C．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位 D．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位 49．（25-26高一上·全国·课前预习）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则 ． 50．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求图象的对称中心． 题型11 由部分图象求函数的解析式 51．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·月考）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 52．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 54．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及的值； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 55．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值． (3)若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围． 题型12 三角函数的应用 56．（24-25高一下·江西·月考）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 57．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 58．（2025高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 59．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 60．（24-25高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．    (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 任意角 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 【答案】D 【解题思路】由终边相同角的概念进行求解． 【解答过程】因为，所以与终边相同的最小正角是． 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）下面与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由终边相同的角求出最小正角和最大负角即可求解. 【解答过程】与终边相同的角可以表示为， 当时，为与终边相同的最小正角； 当时，为与终边相同的最大负角， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 3．（24-25高一下·陕西汉中·月考）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解题思路】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【解答过程】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【解题思路】根据终边相同的角的概念依次判断即可. 【解答过程】与角的终边相同的角的集合为． 当时，，解得， 角与角的终边不相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同． 故答案为：②③④. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）在直角坐标系中，作出下列各角，在范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)作图见解析；；不属于任何一个象限 (2)作图见解析；、；不属于任何一个象限 (3)作图见解析；；第三象限角 (4)作图见解析；；第三象限角 【解题思路】利用终边相同的角可得答案. 【解答过程】（1）作图见下图①； ， 可得在范围内， 与的终边相同，不属于任何一个象限； （2）作图见下图②； ，， 可得在范围内，与、这两个角终边相同， 不属于任何一个象限； （3）作图见下图③； ，所以在范围内，与角终边相同的角是， 因为是第三象限角，所以是第三象限角； （4）作图见下图④； ，所以在范围内，与角终边相同的角是， 因为是第三象限角，所以是第三象限角. 题型2 弧长、扇形面积的有关计算 6．（25-26高一上·重庆·期中）若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【解答过程】因为一个扇形的半径为2，圆心角为，可得扇形的弧长为， 所以该扇形的面积为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由弧长公式即可求解； 【解答过程】因为时针每转一周， 故经过，时针的针尖转过的弧度数为， 走过的路程约为． 故选：C. 8．（24-25高一上·广东揭阳·期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据大的扇形面积减去小的扇形面积可求得结果. 【解答过程】，转化为弧度制为， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， 则曲边四边形的面积为：. 故选：B. 9．（25-26高一上·全国·单元测试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为24cm的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”．若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为 （结果中可以含）．    【答案】 【解题思路】利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积. 【解答过程】如图，延长扇环形的线段交于小圆圆心，则， 设，每个扇环形小拼盘所在扇形的圆心角为， 则的长为，解得， 所以每个扇环形小拼盘的面积为： ． 故答案为：.    10．（24-25高一下·广西钦州·月考）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1)； (2)； (3),. 【解题思路】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可； （2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可； （3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的面积为； （2）设扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或， 所以扇形圆心角的弧度数为； （3）设扇形圆心角的弧度为，则，则 扇形的周长为， 当且仅当时，周长可取得最小值，此时， 故此时扇形的圆心角. 题型3 任意角的三角函数的定义 11．（25-26高一上·河北保定·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案. 【解答过程】因为角的终边经过点，所以. 故选：C. 12．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知角的终边过点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由三角函数的定义即可求解； 【解答过程】由角的终边过点，可得：， 所以， 故选：D. 13．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误. 【解答过程】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 故选：D. 14．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则 . 【答案】 【解题思路】由三角函数的定义列方程，求解即得. 【解答过程】由已知，， 所以， 所以，且， 解得. 故答案为：. 15．（24-25高一上·天津·月考）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)当；当； (2). 【解题思路】（1）结合三角函数的定义即可求解； （2）结合三角函数的定义即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以当， 当 （2）若为第二象限角，则， 所以. 题型4 同角三角函数的基本关系 16．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 17．（25-26高一上·全国·课前预习）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通分后结合平方关系和商数关系可得正确的选项. 【解答过程】原式 ． 故选：C. 18．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【解答过程】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 19．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则 . 【答案】 【解题思路】由同角关系可得，再代入，即可得答案. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 20．（24-25高一上·江苏南京·月考）化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知可求，利用诱导公式化简所求即可计算得解. （2）将平方得出，再将平方，根据 的范围， 即可得解. 【解答过程】（1） 所以 （2）， 所以， 又，，则，故 而， 所以. 题型5 诱导公式 21．（25-26高一上·全国·课前预习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角函数诱导公式化简求值即可． 【解答过程】． 故选：D． 22．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】因为，利用诱导公式求解. 【解答过程】因为， 则． 故选：C. 23．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据交点求出，结合选项验证即可. 【解答过程】由题得．所以，A错误； ，B错误；，C正确；，D错误． 故选：C. 24．（25-26高一上·全国·课后作业）求值： ． 【答案】 【解题思路】结合特殊角的函数值利用诱导公式化简求值即可. 【解答过程】原式 ． 故答案为：. 25．（24-25高一下·陕西汉中·月考）化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据诱导公式化简即可； （2）根据诱导公式化简即可； （3）先根据诱导公式化简，再结合同角求值进行切弦互化，即可求解. 【解答过程】（1）； （2） ； （3）由，得， 所以，又， 所以. 题型6 三角函数的图象及其应用 26．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解答过程】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 27．（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解答过程】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 28．（24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】作出函数图象即可求解. 【解答过程】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有4个交点， 故选：B. 29．（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【解题思路】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【解答过程】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 30．（24-25高一上·广东江门·月考）已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【答案】(1)图象见解析； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象； （2）先根据图象再分情况数形结合得出个数即可. 【解答过程】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图：    （2）其图象如图：    观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 题型7 三角函数的单调性问题 31．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得，，结合解出即可得. 【解答过程】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 32．（24-25高一下·重庆·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【解答过程】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D. 33．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【解答过程】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 34．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，，且在区间上单调，则的最大值为 ． 【答案】 【解题思路】根据三角函数的最值及对称中心得出周期进而得出的关系，再结合单调性得出的范围即可得出最大值. 【解答过程】因为， 所以时，取得最值,是图象的对称中心，则， 所以， 又因为在区间上单调，所以， 所以当时，取得最大值为． 故答案为：. 35．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若在区间上的最大值为，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据正弦函数单调减区间，即令，即可得解. （2）根据正弦函数的性质，即可求出的范围，得到的最小值. 【解答过程】（1）函数， 由，得 所以的单调减区间，. （2）若在区间上的最大值为，可得， 且当时，取得最大值， 即有，解得，则的最小值为． 题型8 三角函数的图象与性质的综合 36．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【解题思路】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【解答过程】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B. 37．（24-25高一下·北京·期中）关于函数，有下述四个结论： ①是偶函数；        ②在区间单调递增； ③在有3个零点；    ④的最大值为2． 其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解题思路】由奇偶性定义可判断出为偶函数，①正确；分别在和两种情况下求得解析式，结合偶函数的对称性可得图象，结合图象可判断出②③④的正误. 【解答过程】的定义域为，且，为偶函数，①正确； 当时，；当时，； 又为偶函数，图象关于轴对称，则可得图象如下图所示：    由图象可知：在上单调递减，②不正确； 在上有，和三个零点，③正确； ，由图象可知，④正确. 故选：C. 38．（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【答案】B 【解题思路】根据可判断A，根据余弦函数的单调性可判断B，根据代入验证根是否为0可判断C，根据余弦函数的对称性可判断D. 【解答过程】对于A，，故是的一个周期，正确； 对于B，当时，，故时，，时，，结合余弦函数单调性可得： 函数在上单调递减，在上单调递增，错误； 对于C，，当时，，故是的一个零点，正确； 对于D，易知的对称轴方程为，解得， 当时，可得，故的图像关于直线对称，正确. 故选：B. 39．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【解答过程】（1）因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； （2）不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． （3）因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以 ，即， 解得或， 即的取值范围为． 40．（2025高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3). 【解题思路】（1）运用正弦函数周期公式求出最小正周期，用整体代入法求单调区间； （2）由 时，得，结合函数单调性列出m的不等式即可求出； （3）方程有两个不相等的实数根，转化为函数与函数的图象有两个交点，结合图象求解即可. 【解答过程】（1），所以函数的最小正周期为. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，， 因为在区间上单调递减，所以，解得. 所以实数的取值范围是. （3）令，∵，∴， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以函数与函数的图象有两个交点. 结合图象得，，解得，. 所以实数的取值范围是. 题型9 三角恒等变换 41．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】本题的核心在于灵活运用和差公式、二倍角公式等进行化简，关键点在于将分母展开，并通过变量代换将原式转化为关于的方程，最终利用二倍角公式求解. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，解得． 故选：B. 42．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两角和的正切公式，代入已知计算求解. 【解答过程】根据两角和的正切公式， 代入已知可得， . 故选：A. 43．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，逆用差角的正切公式求出，再利用二倍角的余弦公式求值. 【解答过程】依题意，， 则，即， 所以当时， . 故选：D. 44．（24-25高一下·云南楚雄·月考）已知，，则 . 【答案】 【解题思路】根据，由二倍角正切公式及两角差的正切公式计算即可. 【解答过程】由， 所以， 故答案为：. 45．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由的范围求出的范围，再利用平方关系及两角和的余弦公式即求. （2）利用同角公式及两角差的正弦公式求解. 【解答过程】（1）由，得，而，， 则，， 所以 . （2）由（1）知，，， 由，得， 因此， 所以. 题型10 三角函数的图象变换 46．（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 【答案】C 【解题思路】根据三角函数平移伸缩转换即可判断. 【解答过程】将向左平移个单位得到，然后纵坐标伸长为原来的2倍得到. 故选：C. 47．（2025高一·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据图象平移过程写出对应解析式. 【解答过程】函数的图象向左平移个单位长度，即的图象， 再把图象上各点的横坐标放大到原来的2倍，得的图象． 故选：B. 48．（24-25高一下·河南·月考）若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（   ） A．先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 B．先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 C．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位 D．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位 【答案】C 【解题思路】根据平移变换和周期变化的原则逐一判断即可. 【解答过程】对于A，先将的图象向右平移个单位，得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得，故A错误； 对于B，先将的图象向左平移个单位，得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，故B错误； 对于C，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得， 再将图象向左平移个单位，得，故C正确； 对于D，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得， 再将图象向右平移个单位，得，故D错误. 故选：C. 49．（25-26高一上·全国·课前预习）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则 ． 【答案】 【解题思路】根据函数的平移规则可得函数解析式. 【解答过程】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象． 故答案为：. 50．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求图象的对称中心． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦型函数的周期性公式即可求解； （2）利用平移变换和伸缩变换求得新的函数解析式，再利用正弦函数的对称中心来求解即可. 【解答过程】（1）由题意，知，因为，所以． （2）由（1），知． 将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象． 令，则． 故函数图象的对称中心为． 题型11 由部分图象求函数的解析式 51．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·月考）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【解题思路】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【解答过程】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B. 52．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用已知条件可写出点的坐标，进而可求得以及周期，，可得解. 【解答过程】 过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点， 是边长为2的正三角形，， ，，，，， 又，，解得， ， 将点代入得，， ，，， . 故选：A. 53．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【解答过程】由图象可知：， ， 由 ，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由， ，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到 的图象，故④错误． 故选：B． 54．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及的值； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据函数图象可求出函数的解析式，利用五点作图法可求得的值； （2）利用图象变换可求的解析式，即可得到值域. 【解答过程】（1）设函数的最小正周期为T，由题意可得，，故． 因为，，所以，． 由，解得． （2）由题意得，． 当时，，所以， 所以，即的值域为． 55．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值． (3)若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)的最小值、最大值分别为、1； (3). 【解题思路】（1）根据函数的图象及正弦型函数的性质求参数，即可得解析式； （2）由图象平移写出的解析式，结合正弦型函数的性质求区间最值； （3）问题化为在上只有一个解，由正弦型函数性质求的区间单调性及对应值域，即可得参数范围. 【解答过程】（1）由题设，则，故， 由，则，即， 又，则，故； （2）由题意， ，则，则； 所以的最小值、最大值分别为、1； （3），则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有一个零点， 即在上只有一个解，故. 题型12 三角函数的应用 56．（24-25高一下·江西·月考）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【解题思路】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【解答过程】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C. 57．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【解题思路】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【解答过程】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 58．（2025高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【答案】D 【解题思路】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可. 【解答过程】由题意得，， 故函数的周期为，，可得， 令，解得， 故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故选：D. 59．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 【答案】 【解题思路】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【解答过程】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时， ． 故答案为：． 60．（24-25高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．    (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 【答案】(1)①，；②或. (2). 【解题思路】（1）①由题意可得，；②根据题意，得，解方程即可. （2）由题意得，当时，恒成立，解不等式即可求解. 【解答过程】（1）①由题意得， ②由题意，， 即，化简得， 则或， 解得或 又由于，所以或. （2）由（1）得，， 由题意得，当时，恒成立， 即，化简得， 故，解得， 所以，即，解得 由于，则，因此. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $