专题02 三角函数的图像、性质与应用（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

专题01 任意角、弧度制与三角函数的定义 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角函数的周期 1 题型二、五点法作图 2 题型三、正弦、余弦、正切函数的图像 2 题型四、三角函数的单调性 3 题型五、三角函数的对称轴、对称中心 5 题型六、三角函数的奇偶性 6 题型七、三角函数的图像变换 6 题型八、根据图像求三角函数的解析式 8 题型九、结合三角函数的图像变换求三角函数的性质 10 题型十、三角函数的实际应用 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角函数的周期 1．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则函数在上所有零点的和为（　　） A．16 B．24 C．32 D．48 4．已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 5．函数的最小正周期（    ）． A．与有关，与无关 B．与有关，与有关 C．与无关，与无关 D．与无关，与有关 题型二、五点法作图 6．在内，使的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．作出函数的图象 8．（多选）函数，的图像与直线（t为常数，）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．画下列函数在一个周期上的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、正弦、余弦、正切函数的图像 10．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（   ） A． B． C． D． 11．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 12．函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 13．函数的部分图象为（    ） A．    B．C．  D．   14．当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型四、三角函数的单调性 15．下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 16．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（　　） A． B． C． D． 17．下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 18．关于函数，下列说法正确的是（　　） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 19．已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 20．若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 21．函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 22．若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（    ） A． B． C． D． 23．已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 24．函数，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五、三角函数的对称轴、对称中心 25．已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 26．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．“”是“函数的图象关于对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 29．“”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 31．下列函数图象的对称轴方程为的是（    ） A． B． C． D． 32．下列选项中不是函数图象的对称轴方程的是（    ） A． B． C． D．以上选项都不正确 题型六、三角函数的奇偶性 33．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 34．已知函数为偶函数，则（    ） A． B．1 C．0 D． 35．已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D． 36．已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 37．“”是“函数为偶函数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 题型七、三角函数的图像变换 39．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 40．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 41．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 42．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 43．已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 44．函数的图像如图所示，为了得到函数的图像，只需将函数的图像（      ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 题型八、根据图像求三角函数的解析式 45．已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 46．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（       ） A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期是 C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D．若圆半径为，则函数的解析式为 47．已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 48．已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 49．已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 50．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 题型九、结合三角函数的图像变换求三角函数的性质 51．已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 52．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（   ） A．0 B． C． D． 53．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．10 D．16 54．将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 55．已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 56．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 57．将函数的图象向左平移m（m>0）个单位得到的图象，则“m=kπ，k∈N*”是“的图象经过原点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型十、三角函数的实际应用 58．动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 59．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 60．已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 61．如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 62．由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 1．若函数的最大值为3，则该函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   6．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B．2 C．5 D． 7．已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 8．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．该函数的解析式为 C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 10．函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（   ）    A． B．为图象的一条对称轴 C．可以等于8 D．的最小值为2 三、填空题 11．将函数的图象上各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得到曲线C，若曲线C的图象关于轴对称，则 12．已知函数最小正周期为，当时，则函数的零点个数为 ． 四、解答题 13．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 14．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 任意角、弧度制与三角函数的定义 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角函数的周期 1 题型二、五点法作图 2 题型三、正弦、余弦、正切函数的图像 3 题型四、三角函数的单调性 5 题型五、三角函数的对称轴、对称中心 6 题型六、三角函数的奇偶性 7 题型七、三角函数的图像变换 7 题型八、根据图像求三角函数的解析式 7 题型九、结合三角函数的图像变换求三角函数的性质 7 题型十、三角函数的实际应用 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角函数的周期 1．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 2．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得的周期为，函数的周期为函数的周期的，再判断与的关系即可. 【详解】令，其周期， 对于函数，其周期为函数的周期的， 所以， 所以不是函数的一个周期， 又因为， 所以是函数的周期， 即函数的最小正周期是. 故选：C. 3．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则函数在上所有零点的和为（　　） A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】由题可得对称性，周期性，然后在同一坐标系中画出函数与图象，据此可得答案. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，则. 由于为偶函数，则. 从而. 所以是一个周期为4的周期函数． 令，得， 函数的图象关于点对称，的图象也关于点对称， 画出函数和的图象如图所示， 由图可知，两个函数图象在上有6个交点，且交点关于对称， 所以所有零点和为． 故选：B 4．已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用余弦型函数的周期公式计算即得. 【详解】依题意，，因，则得. 故选：B. 5．函数的最小正周期（    ）． A．与有关，与无关 B．与有关，与有关 C．与无关，与无关 D．与无关，与有关 【答案】A 【分析】利用周期的定义求解，对于，可取特殊值检验． 【详解】当时，的最小正周期为； 当时，的最小正周期为，故的最小正周期与有关． 根据函数周期的定义或函数图像平移的知识，可知的最小正周期与无关． 故选：A． 题型二、五点法作图 6．在内，使的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一坐标系作函数 以及 的图像即可求解. 【详解】   以及 的图像如上图，由图可知，； 故选：D. 7．作出函数的图象 【答案】见解析 【分析】去绝对值后，结合函数的图象，即可画出函数的图象. 【详解】，， 作出函数图象后，将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，即为函数的图象，如图 8．（多选）函数，的图像与直线（t为常数，）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABC 【分析】作出函数图像，通过观察判断结果. 【详解】作出，的图像观察可知，    当或时，的图像与直线的交点个数为0； 当或或时，的图像与直线的交点个数为l； 当或时，的图像与直线的交点个数为2. 故选：ABC. 9．画下列函数在一个周期上的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】用“五点法”作图即可. 【详解】（1）用“五点法”画函数在一个周期（）内的图象. 令，则，列表，描点画图（如图）.     （2）用“五点法”画函数在一个周期（）内的图象. 令，则，列表，描点画图（如图）.   （3）用“五点法”画函数在一个周期（）内的图象. 令，则，列表，描点画图（如图）.   （4）用“五点法”画函数在一个周期（）内的图象. 令，则，列表，描点画图（如图）.    题型三、正弦、余弦、正切函数的图像 10．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知图象关于原点对称，可知函数为奇函数，判断选项A和B错误；函数图象过原点判断选项C错误，分析选项D的函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负，及函数值正负的规律得解. 【详解】图象关于原点对称，则函数为奇函数； 选项A，设，，， ，， ，不是奇函数，故选项A错误； 选项B，设，，， ，， ，不是奇函数，故选项B错误； 选项C，， ，， 而，在出无意义，故选项C错误； 选项D， 设， ，， ，，是奇函数， ，符合已知图像， ，符合已知图像， 在上函数值从到1到0到到0，周而复始进行， 在上函数值恒大于0， 的函数值在上函数值从到正数到0到负数到0，周而复始进行， 故选项D符合已知图像，故选项D正确. 故选：D. 11．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性与零点个数，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， ，即函数为奇函数，排除BC选项， 由可得或，解得， 故函数有无数个零点，排除A选项. 故选：D. 12．函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，根据函数定义域以及奇偶性分析判断即可. 【详解】对于AB：由解析式知均不可能为0， 即，的定义域不为， 由图知函数的定义域为，故AB错误； 对于C：因为函数的定义域为， 且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 但题中图象关于原点对称，故C错误； 故选：D. 13．函数的部分图象为（    ） A．    B．C．  D．   【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D； 当时，，所以，故排除C. 故选：B 14．当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解. 作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数. 【详解】由，得， 作出，，的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 题型四、三角函数的单调性 15．下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体代入法可得函数单调区间. 【详解】由已知， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 由， 故选：C. 16．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数性质，判断三角函数最小正周期以及在给定区间上的单调性，求出结果即可. 【详解】对于，最小正周期为，当时，， 由在区间上不单调，可知在上不单调，所以A错误； 对于，最小正周期为，当时，在上单调递减，且， 所以，时，在上单调递增，所以B错误； 对于，最小正周期为，当时，在上单调递减，所以C正确； 对于，最小正周期为，所以D错误； 故选：C. 17．下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由在区间上的单调性可排除ABD，根据函数的周期性和在区间上的单调性即可确定C正确. 【详解】对于A：当时，，函数在上显然单调递增，故A错误； 对于B：当时，，则在上显然单调递增，故B错误 ； 对于D：时，，则，.该函数在单调递增，故D错误； 对于C：时，，则在上单调递减，且为最小正周期是的周期函数，故C正确. 故选：C. 18．关于函数，下列说法正确的是（　　） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】求函数的单调区间，再结合选项进行判断即可. 【详解】由，可得， 则函数的单调递减区间为， 由，可得， 则函数的单调递增区间为， 在上单调递增，上单调递减，故A正确，BCD错误. 故选：A. 19．已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】首先明确函数的定义域，然后利用奇偶性的概念判断奇偶性，再利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在上的单调性． 【详解】因为，所以的定义域为， 易知，所以为偶函数． 设，且，则，， 所以，，， 于是，即， 所以在上单调递增． 故选：A 20．若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 21．函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【答案】C 【详解】由可知，，所以的单调递减区间为． 22．若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分不同情况进行讨论，得出当时不满足条件，当或时满足条件，当时不满足条件，即得到所求的全部为和，从而得到答案. 【详解】若，则，故不满足条件； 若或，则对有，或. 所以，根据复合函数单调性知在上单调递减，满足条件； 若，则，故不满足条件； 若，则由可知，存在正整数满足. 此时，，从而在上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件. 综上，满足条件的有和. 故选：C. 23．已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的性质，求得函数，进而求得函数在区间上的值域. 【详解】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故选：A. 24．函数，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性得，，根据题意列不等式即可求解. 【详解】在上单调递增，则，即， 当时，在单减， 则，即， ，解得. 故选：B． 题型五、三角函数的对称轴、对称中心 25．已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称中心计算求解. 【详解】函数的对称中心的横坐标为：，解得， 当时，得到对称中心. 故选:B. 26．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数的图象和性质，结合已知条件求解． 【详解】正弦函数的对称中心为，是函数的图象的一个对称中心， ，解得， 的最小值为． 故选：B． 27．“”是“函数的图象关于对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的对称轴及充分条件、必要条件求解即可. 【详解】若函数的图象关于对称， 则，即， 可得是函数的图象关于对称的充分不必要条件. 故选：A 28．已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数的周期和振幅，进而可得函数的一个对称中心. 【详解】由，得，，所以， 所以，令，得， 所以当时，，所以是函数的一个对称中心. 故选：B. 29．“”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的性质判断即可. 【详解】正切函数的对称中心为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件. 故选：A． 30．若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数图象的对称中心为，由题意可知函数图象相邻对称中心间的距离为，则存在，使得，解出的表达式，即可得出结果. 【详解】对于函数，由可得， 所以函数图象的对称中心为， 又因为函数图象的对称中心也为， 故函数图象的对称中心为， 对于正弦型函数，由可得， 故函数图象的对称中心为， 故函数图象相邻对称中心间的距离为， 易知函数图象相邻对称中心间的距离为， 且原点为函数、的一个公共对称中心， 因为函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心， 故存在，使得，解得，C选项合乎要求. 故选：C. 31．下列函数图象的对称轴方程为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出A、C中函数的对称轴方程，利用余弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出B、D中函数的对称轴方程，即得答案. 【详解】对于A，，令，即， 即的对称轴方程为，A错误； 对于B，，令，即， 即的对称轴方程为，B正确； 对于C，，令，即， 即的对称轴方程为，C错误； 对于D，，令，即， 即的对称轴方程为，D错误； 故选：B 32．下列选项中不是函数图象的对称轴方程的是（    ） A． B． C． D．以上选项都不正确 【答案】B 【分析】根据已知可得，可得答案. 【详解】因为， 所以 ， ， 则， 则和都是图象的对称轴方程， 而， 则不是图象的对称轴方程． 故选：B． 题型六、三角函数的奇偶性 33．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合对钩函数、幂函数、正弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为函数在区间上单调递减，所以本选项不符合题意； B：因为，所以该函数是非零实数集上的偶函数，因此不符合题意； C：因为，所以该函数是实数集上的偶函数，因此不符合题意； D：因为，， 所以是实数集上的奇函数，且在区间上单调递增，符合题意， 故选：D 34．已知函数为偶函数，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得，化简可得恒成立，可得的值. 【详解】根据题意，函数为偶函数，所以， 即， 也就是， 因为不恒为0， 所以恒成立， 即恒成立，则. 故选：B 35．已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据恒成立求参数的值. 【详解】易得函数的定义域为，由是偶函数，得恒成立， 可得，故. 故选：C 36．已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合三角函数的奇偶性判定，从充分性、必要性两个方面分析即得结论. 【详解】若，则，函数的定义域为，关于原点对称， 因，则是偶函数，即充分性成立； 若函数为偶函数，， 则，，即必要性不成立. 所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A． 37．“”是“函数为偶函数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性讨论求解出，，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由为偶函数， 则函数和均为偶函数或均为奇函数， 若为偶函数，则，此时， 而，显然不恒成立，舍去； 若为奇函数，则，此时， 而， 由，则，即， 此时，定义域为，满足题意 综上所述，，， 而对于，可取，此时“函数不为偶函数”， 所以“”是“函数为偶函数”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 38．下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦函数的奇偶性、单调性和周期性逐个分析判断. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以A错误， 对于B，为偶函数，且周期为，当时，， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以B错误， 对于C，因为为奇函数，所以C错误， 对于D，因为，所以为偶函数， 因为的图象是由在轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 所以函数的周期为， 当时，，此时， 而在上单调递增，故D符合． 故选：D． 题型七、三角函数的图像变换 39．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式． 【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 40．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：D. 41．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【分析】根据图像求出正弦型函数，再结合平移的内容判断. 【详解】由题图象知， 所以．所以， 又图象过点，由五点法知，所以， 所以． 故将函数的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不度），可得函数的图象． 故答案为：A. 42．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为， 所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 43．已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得解． 【详解】由题意可知， 所以， 所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象， 即的图象， 故选：A 44．函数的图像如图所示，为了得到函数的图像，只需将函数的图像（      ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【解析】由函数图像可看出点和点在图像上，分别代入求得和，可得函数的解析式，再利用三角函数图像变换规律和诱导公式，求得结论. 【详解】根据函数的部分图像可看出： 点在图像上，代入得，得. 故，又因为点也在图像上，有 所以， 因为，当时，解得， 所以. 将图像向左平移个单位， 可得，即得到函数. 故选:D. 题型八、根据图像求三角函数的解析式 45．已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【详解】由图象可知：，， 由，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由，，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误． 故选：B． 46．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（       ） A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期是 C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D．若圆半径为，则函数的解析式为 【答案】A 【分析】由图易得点的横坐标为，所以的周期为，所以，从而可得.再根据三角函数的图象性质对选项进行逐一分析可得答案. 【详解】关于对称，则，∴ ，即，∴，B正确. ，， 所以，又，又，∴. . 由，. 时，. ∴在单调减，在上单调递增.A错； 向左平移个单位，， 时，∴关于对称，C正确； 圆半径为时，，∴，∴. ，D正确. 故选：A 47．已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【详解】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 48．已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【详解】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 49．已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，结合已知利用换元法推出，代入求值，即可判断. 【详解】由图知，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 则，则，结合，则， 故，A错误； 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误； 令，则， 即的对称中心为，，C错误； 因为，且，令， 则，则， 则， 故，D正确， 故选：D 50．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【分析】对B，利用图象求出函数的解析式判断；对A，代入验证判断；对C，利用 可得，即可求得的值域判断；对D，利用图象的变换即可判断. 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 题型九、结合三角函数的图像变换求三角函数的性质 51．已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数图象的性质，确定函数的周期，从而得，即可得的最小值. 【详解】由题可知是该函数的周期的整数倍，即， 解得，故的最小值为 故选：D. 52．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的变换可得，即可结合正弦函数的对称性得，进而，即可求解. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象． 当时，， 令，， 则关于t的方程在上有两个不等的实数根，， 所以， 即，则， 所以． 故选：B 53．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．10 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角函数图像的平移规则得到平移后的函数解析式，再结合正弦函数图像关于原点对称的性质，求出的表达式，最后根据选项进行判断即可. 【详解】由题意，令函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 则， 又平移后得到的图象关于坐标原点对称，即函数为奇函数， 所以，解得， 当时，. 故选：B 54．将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由函数伸缩变换得，进一步由得即可求解. 【详解】因为将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象， 所以. 因为，所以， 即，所以正数的最小值为6. 故选：C. 55．已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移可得，即可由对称性求解． 【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以． 因为与的图象关于原点对称，函数的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为 所以， 即， 所以， 所以， 又，所以． 故选：A 56．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象平移规则得出的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果. 【详解】如图， 不妨取轴右侧的连续三个交点，分别记为的最小正周期为，可得， 由的面积为及对称性知，，解得， 进而，代入得， 即，并结合，得， 所以．令， 解得，所以函数图象的对称中心是， 所以是函数图象的一个对称中心． 故选：D. 57．将函数的图象向左平移m（m>0）个单位得到的图象，则“m=kπ，k∈N*”是“的图象经过原点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先写出函数的解析式，再分别分析充分性和必要性即可得到答案. 【详解】将函数的图象向左平移m（m>0）个单位得到的图象， 则， 充分性：当时，则， 的图象经过坐标原点，故具有充分性； 必要性：若的图象经过原点，则， 故不具有必要性，即“m=kπ，k∈N*”是“的图象经过原点”的充分不必要条件. 故选：A. 题型十、三角函数的实际应用 58．动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定周期得到，再通过坐标，得到，即可求解. 【详解】由已知可得该函数的周期，， 又当时，， 设，令，得 由，得，在一个周期内可得，， 又需满足，故， . 故选：D 59．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 60．已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 61．如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大风车旋转的周期求出角速度，再通过大风车的半径、最低点离地面的高度等条件确定函数中的参数、、，进而得到与的函数关系. 【详解】已知大风车每旋转一周，根据周期的定义可知其周期. 由角速度与周期的关系，将代入可得：. 设. 因为大风车的半径为8m，最低点离地面2m，所以当翼片端点在最高点时，离地面的距离为；当翼片端点在最低点时，离地面的距离为2m. 当在最高点时，，此时取得最大值，即； 当在最低点时，，此时取得最小值，即. 联立方程组，将两式相加消去可得：，解得. 把代入，可得，解得. 所以此时函数为. 因为的初始位置在最低点，当时，，将，代入中，得到.即. 因为，且，所以，，取，则. 将代入中，可得. 则. 该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是. 故选：D. 62．由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【分析】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【详解】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C 1．若函数的最大值为3，则该函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的最大值为且的最大值为，可求得，再应用正弦型函数的最小正周期计算公式即可. 【详解】因为的最大值为，且，故的最大值为， 因此，则，所以. 故选：B. 2．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由简单幂函数、对数函数、余弦函数的性质判断A、B、D，由奇偶性定义及二次函数的性质判断C. 【详解】由为奇函数，为非奇非偶函数，故B、D不符合， 由为偶函数，但在上不单调，A不符合， 由的定义域为R，且，则为偶函数， 根据二次函数的性质，在上单调递增，C符合. 故选：C 3．已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的对称中心即可得解. 【详解】因为函数的对称中心为，， 所以的对称中心为，， 所以，，又，所以a的最小值为. 故选：A. 4．将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数图象变换求出解析式. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得. 故选：A 5．函数的图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据偶函数排除CD，利用区间上的函数值为正排除A，即可得解. 【详解】的定义域为， ， 所以函数为偶函数，故函数图象关于轴对称，排除CD； 当时，，故排除A， 故选：B 6．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这两个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D 7．已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】C 【分析】选项A，由，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，得到，根据最小正周期公式得到，由一条对称轴方程为，得到，又，求得的值；选项B，令和解出的值，即可得解；选项C，由，求出的范围，结合余弦函数的图像得到在区间上单调递减；选项D，的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，利用诱导公式得解. 【详解】选项A，， 其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为， 则函数的周期满足，，，， 一条对称轴方程为，， ，，故A正确； 选项B，，，， ，由，可得或， 的图象在区间内有个对称中心，故B正确； 选项C，，， 在区间上单调递减，故C错误； 选项D，的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数，故D正确. 故选：C. 8．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数图象变换得出，由求出的取值范围，由求得，结合题意得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由三角函数的图象变换可得， 当时，，则， 因为，则， 因为，总存在唯一实数，使得， 当时，， 由题意可知，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 9．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．该函数的解析式为 C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 【答案】AC 【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象变换和正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得且， 可得，则，所以， 又由，即， 因为，所以，所以，所以B不正确； 又由，所以A正确； 将函数的图象向右平移个单位得到， 可得，可得为奇函数， 即将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，所以C正确； 当时，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以当时，函数的值域为，所以D错误. 故选：AC. 10．函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（   ）    A． B．为图象的一条对称轴 C．可以等于8 D．的最小值为2 【答案】BCD 【分析】根据函数的图象确定的值，得，排除A项，代入检验可判断B项；根据题意求得，利用其单调性确定，结合，取值计算可判断C，D两项. 【详解】由图可知，函数的周期满足，解得，则，即. 当时，函数图象经过点，可得， 即，又，方程无解，舍去； 当时，函数图象经过点，可得， 即，又，则，即， 因时，，故A错误，B正确； 依题意，，当时，， 因在上单调递减，可得， 解得，因，当时，，则取得最小值2； 当时，，则，故C，D均正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．将函数的图象上各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得到曲线C，若曲线C的图象关于轴对称，则 【答案】 【分析】由图象平移写出曲线C的解析式，结合正余弦函数的对称性列方程求参数值. 【详解】图象上各点横坐标缩短为原来的，得， 再向左平移个单位，得， 由所得曲线的图象关于轴对称，则，可得， 又，则有. 故答案为： 12．已知函数最小正周期为，当时，则函数的零点个数为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，转化为与图象的交点个数，作出函数与的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得， 所以函数的零点个数等价于与图象的交点个数， 因为函数最小正周期为，当时，， 则，画出函数与的图象， 如图所示，由图象可得，函数的零点个数为. 故答案为：. 四、解答题 13．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）根据已知有、、求解析式中的参数，即可得； （2）根据正弦型函数性质求值域范围，即可得点到轴的距离的最大值. 【详解】（1）由题意，，则， 由题意，即，又，则. . （2）由（1）知， 当时，， ，故， 点到轴的距离的最大值为6. 14．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围. 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据函数的图象，由最大值确定，由对称轴和零点的距离确定，再由最大值点确定，再代入正弦公式的单调递增区间，即可求解； （2）首先求函数的解析式，根据函数的定义域，利用代入法求函数的只有，再将不等式恒成立问题，转化为最值问题，列不等式，即可求解. 【详解】（1）由图象可知，，，得， 当时，，，得，， 因为，所以， 所以， 令，， 得，， 所以函数的单调递增区间是，； （2）， 当时，， 则， 若不等方式对任意成立，则， 得. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $