第8章 函数应用（知识清单）数学苏教版2019必修第一册

该高中数学单元知识清单系统梳理“函数应用”核心内容，涵盖函数零点、零点存在性定理、二分法、函数模型及应用五大知识范畴，搭建从概念理解到定理应用再到实际建模的递进式学习支架。 清单通过“清单+易错点+例题”三维架构呈现知识体系，突出零点概念辨析、函数模型选择等重难点，如标注“零点不是点而是实数根”培养数学思维。设计二分法步骤分解、函数模型对比表等实用工具，助力学生精准理解，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第8章 函数应用 清单01函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的 ． 注意：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个 ，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于 ． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有 ⇔函数的图象与轴有 ⇔函数有 ． 清单02函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 注意：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1） ；（2） 清单03二分法 1. 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的 一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 ． 注意：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近 ,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示 ． 2.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证． （2）求区间的中点． （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ② ； ③ ． （4）判断是否达到精确度： ，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）． 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解 清单04几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 “对勾”函数模型 清单05函数模型的应用 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等． 易错点1 对函数的零点概念理解错误而致误 错误：在解决函数零点问题时对零点概念的理解出错 注意：零点不是点，而是函数与x轴交点的横坐标，也是方程f(x)=0的根 例题1函数的零点为 . 易错点2 忽略函数图象的高低关系导致出错 错误：忽略函数图像的高低关系导致出错 注意：要注意指对幂函数性质对函数图像的高低的影响 例题2当越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 易错点3 错选函数模型而致错 错误：题意理解不清从而选错函数模型导致出错 注意：利用已知函数模型解决实际问题的解题要点：解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答 例题3某环保组织自2025年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2025年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2025年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 1．函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 2．函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 3．设函数，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 5．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（    ） A．1.5 B．1.25 C．1.375 D． 6．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 7．某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 8．卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 9．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 10．在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 12．（多选）某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 13．函数的两个零点分别是 . 14．设为实数，若函数有且只有一个零点，则的值是 . 15．若函数. (1)若，求函数的零点： (2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围. 16．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点、，且．请指出示意图中曲线、分别对应哪一个函数. 17．国内某企业响应国家号召，为打破国际芯片垄断，投入大量研发力量，从零开始，研发出一款自主知识产权的芯片．为了尽快提高芯片产能满足国内需求，该企业制定了三个不同的增产方案，年产量（万片）随方案实施年数增加而增加，三个方案分别对应三个函数模型： 方案一：； 方案二：； 方案三：． 如果该企业计划在7年内，尽快实现年产量15万片的目标，应该选择哪个方案？ 18．党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 函数应用 清单01函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 注意：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 清单02函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 注意：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2） 清单03二分法 1.对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证． （2）求区间的中点． （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令． （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）． 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解 清单04几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 y＝x＋(a>0) 清单05函数模型的应用 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等． 易错点1 对函数的零点概念理解错误而致误 错误：在解决函数零点问题时对零点概念的理解出错 注意：零点不是点，而是函数与x轴交点的横坐标，也是方程f(x)=0的根 例题1函数的零点为 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，即， 所以函数的零点为. 故答案为： 易错点2 忽略函数图象的高低关系导致出错 错误：忽略函数图像的高低关系导致出错 注意：要注意指对幂函数性质对函数图像的高低的影响 例题2当越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合幂函数，指数函数与对数函数的增长速度进行分析判断，即可得答案． 【详解】解：结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快. 故选：D. 易错点3 错选函数模型而致错 错误：题意理解不清从而选错函数模型导致出错 注意：利用已知函数模型解决实际问题的解题要点：解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答 例题3某环保组织自2025年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2025年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2025年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 【答案】(1)第一个函数模型满足要求，理由见解析， (2)该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上 【分析】（1）由随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢求解； （2）根据题意，由求解. 【详解】（1）解：两个函数模型在上都是增函数，随着的增大，的函数值增加得越来越快， 而的函数值增加得越来越慢， 在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快， 第一个函数模型满足要求， 由题意知，，解得，所以； （2）由，解得， 又 故， 该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上 1．函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【详解】直接解方程即得函数的零点. 【分析】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 2．函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 【答案】C 【分析】求出函数的零点即可得解. 【详解】由，得或， 所以函数的零点是和6. 故选：C 3．设函数，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求解可得结论. 【详解】令，可得，所以. 故选：A. 4．已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数零点即可得解. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：D 5．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（    ） A．1.5 B．1.25 C．1.375 D． 【答案】D 【分析】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答. 【详解】由表格可知,方程的近似根在内, 又因为，又， 故方程的一个近似根(精确度)可以为. 故选：D. 6．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断单调性，结合零点存在定理可得答案. 【详解】易知三个函数均为增函数，又，所以； ，所以，所以. 故选：B 7．某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 8．卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的增长速度可得合适的函数模型. 【详解】由图可知，随着的增长，的增长速度越来越慢，C选项中的函数模型较为合适. 故选：C. 9．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解. 【详解】由已知条件得 的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标， 在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示, 可知， 故选：. 10．在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不同函数模型的增长速度可知指数函数符合题意. 【详解】根据表格提供数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长越来越快， 即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合. 故选：B. 11．（多选）函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 【答案】ABC 【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质即得. 【详解】作出三个函数在区间上的图象， 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误， 故选：ABC. 12．（多选）某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把代入每一个选项，逐一与题目中的数据对比，可得答案. 【详解】对于A，把代入，可得下表： 对于B，把代入，可得下表： 对于C，把代入，可得下表： 对于D，把代入，可得下表： 显然只有的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意． 故选：ACD. 13．函数的两个零点分别是 . 【答案】 【分析】通过解方程求得正确答案. 【详解】令，即， 解得：或，故函数的零点是. 故答案为： 14．设为实数，若函数有且只有一个零点，则的值是 . 【答案】 【分析】根据计算可得. 【详解】因为函数有且只有一个零点， 所以，解得. 故答案为： 15．若函数. (1)若，求函数的零点： (2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求二次函数的零点等价于解一元二次方程即可求解； （2）利用换元法并分离参数将问题转换为恰好有一个根，构造函数，发现其具有单调性，故问题转换为求的值域即可求解. 【详解】（1）若，， 若，则或， 所以函数的零点是； （2）由题意恰好有一个根， 等价于恰好有一个根， 即恰好有一个根， 令，则函数是增函数， 所以的值域是， 故所求为. 16．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点、，且．请指出示意图中曲线、分别对应哪一个函数. 【答案】对应的函数为，对应的函数为． 【分析】利用指数函数和幂函数的增长速度可得出结论. 【详解】当充分大的时候，指数函数的增长会快于幂函数的增长， 存在，当时，， 所以，对应的函数为，对应的函数为． 17．国内某企业响应国家号召，为打破国际芯片垄断，投入大量研发力量，从零开始，研发出一款自主知识产权的芯片．为了尽快提高芯片产能满足国内需求，该企业制定了三个不同的增产方案，年产量（万片）随方案实施年数增加而增加，三个方案分别对应三个函数模型： 方案一：； 方案二：； 方案三：． 如果该企业计划在7年内，尽快实现年产量15万片的目标，应该选择哪个方案？ 【答案】应该选择方案二，理由见解析． 【分析】计算出方案一需要6年时间，方案二的年产量将在5年后超过15万片，方案三无法在7年内达到年产量15万片的目标，得到答案. 【详解】应该选择方案二，理由如下： 由题意可知，应在满足，且的情况下，选择所需时间最短的方案， 方案一：因为在上单调递增，且， 则方案一可以在7年内实现年产量15万片的目标， 由，解得， 所以方案一实现年产量15万片需要6年时间； 方案二：因为在上单调递增，且， 则方案二可以在7年内实现年产量15万片的目标， 由得，又因为，所以， 即方案二的年产量将在5年后超过15万片； 方案三：因为在上单调递增，且， 所以方案三无法在7年内达到年产量15万片的目标，故不能选择方案三． 综上，应该选择方案二． 18．党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $