第7章 三角函数（复习讲义）数学苏教版2019必修第一册

该高中数学三角函数复习讲义通过表格、列表等工具系统梳理知识体系，涵盖任意角与弧度制、三角函数定义、图像性质及应用，用对比表格呈现象限角与轴线角集合，列表归纳弧度角度互化及特殊角函数值，结合“五点法”作图关键点构建完整知识网络。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如“终边相同的角”题型结合集合表示培养数学思维，“摩天轮高度与时间关系”问题提升用数学眼光解决实际问题能力。基础与能力提升练习适配不同学生，教师可据此实施精准教学，助力学生系统复习。

第7章 三角函数（复习讲义） 一、知识掌握目标 1.清晰理解任意角的概念，熟练掌握终边相同的角的表示方法，能准确区分正角、负角、零角，以及象限角与轴线角的定义，并能解决与角的终边位置相关的问题。 2.熟练掌握弧度制与角度制的换算公式，理解弧度制的几何意义，能运用弧度制解决扇形的弧长、面积计算问题，明确弧长公式和扇形面积公式的适用条件。 3.深刻理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，包括单位圆定义和终边定义，熟练掌握三角函数值在各象限的符号规律，能准确求解特殊角（0°、30°、45°、60°、90°及终边在坐标轴上的角）的三角函数值。 4熟练掌握同角三角函数的基本关系，即平方关系和商数关系，能运用这些关系进行三角函数式的化简、求值和证明。 5.全面掌握三角函数的诱导公式，理解诱导公式的推导逻辑（利用终边对称性），能熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，实现三角函数值的快速求解与表达式的化简。 6.熟练掌握正弦函数(y=sinx)、余弦函数(y=cosx)、正切函数(y=tanx)的图像与性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性和最值，能准确描述函数图像的特征（如正弦曲线的“五点法”关键点、正切曲线的渐近线等）。 7.深刻理解函数（y＝Asin（ωx＋φ））的图像变换规律，明确参数(A)（振幅）、(ω)（周期相关）、(φ)（相位）对函数图像的影响，能根据基本三角函数图像通过平移、伸缩变换得到目标函数图像，也能由函数图像确定参数的值。 8.具备解决三角函数与其他知识结合的简单综合问题的能力，如与函数的单调性、最值、不等式等知识的结合，提升知识迁移与综合应用能力。 9.理解函数与方程思想，能将三角函数问题转化为方程问题求解（如求解三角方程、利用函数值域解决最值问题等），提升运用函数与方程关系解决问题的能力。 10.能运用三角函数解决简单的实际问题，如测量距离、高度、角度，以及解决与振动、波动、周期性变化相关的实际问题，提升将实际问题转化为数学问题的建模能力。 一、任意角与弧度制 1、 角的概念：角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形． 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角． 4、相等角与角的加减 （1）相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． （2）相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为． （3）角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是． 5、终边相同的角 （1）终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 注意：相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的． （2）象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （3）轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限． 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 6、角度制与弧度制的概念 （1）角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制的有关概念 为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制． ①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度制： 定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． 记法：用符号rad表示，读作弧度． 如图，在单位圆O中，的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角． 7、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同． 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢． 8、角度制与弧度制之间的互化 （1）角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 （2）特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 9、弧长与扇形面积公式 （1）弧长与扇形面积公式的两种表示 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角． （2）弧长公式与扇形面积公式的注意事项 ①在应用公式时，要注意的单位是“弧度”； ②在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆． 二、任意角的三角函数 10、利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点． 三角函数 定义 记作 符号表示 正弦函数 点的纵坐标 余弦函数 点的横坐标 正切函数 点的纵坐标 与横坐标的比值 我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 11、用角的终边上点的坐标表示三角函数 如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，． 注意：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关． 12、三角函数的定义域和函数值的符号 （1）三角函数的定义域 三角函数 定义域 注意：单位圆上的取值范围是，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域． （2）三角函数值在各象限的符号 根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图． 由于原点到角的终边上任意一点的距离是正值，根据三角函数的定义，值 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标的符号； ③正切函数值的符号取决于由的符号共同决定，即同号为正，异号为负． 【三角函数值的符号记忆】 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”或者记忆为“全（一）是（二）天（三）才（四）”． 其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．或者第一象限符号都为正，第二象限正弦符号为正，第三象限正切符号为正，第四想象余弦符号为正。 13、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 14、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 注意：使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题． 15、诱导公式 （1）三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限 注意：①先将诱导三角函数式中的角统一写作； ②无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； ③当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． （2）诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为的角求值 公式二 将的角转化为的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦函数与余弦函数的互相转化 公式六 三、三角函数的图像与性质 15、周期函数 （1）周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 注意：定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. （2）最小正周期：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. （3）周期函数的周期公式 （1）一般地，函数的最小正周期 （2）若函数的周期是，则函数的周期为, 求三角函数周期的方法 ①定义法：利用周期函数的定义求解． ②公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, ③图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 16、正（余）弦函数的图象 （1）正（余）弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, （2）用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤 （1）确定五个关键点：最高点、最低点、与轴的三个交点（三个平衡点）； （2）列表：将五个关键点列成表格形式； （3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点； （4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征； （5）平移：将所作的上的曲线向左、向右平行移动（每次平移个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线． 17、正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 18、正切函数的图象与性质 （1）定义域：， （2）值域：R （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即． （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 19、函数y＝Asin（ωx＋φ）图象 （1）A、φ、ω的含义 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 （2）用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 20、三角函数图象变换 （1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 （5）三角函数图象变换中的三个注意点 ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 四、三角函数的应用 21、三角函数模型问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 22、解三角函数应用问题的基本步骤 （1）审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题； （2）建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系，即建立三角函数模性； （3）解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答所得到的三角函数模型，求得结果； （4）得出结论：使所得结论翻译成实际问题的答案。 23、建立三角函数拟合模型的注意事项 （1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． （2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． （3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 题型一 终边相同的角 【例1】终边落在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】将化为的形式是 ． 【变式1-2】如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么角与角之间满足的等量关系是 . 【变式1-3】写出终边在下图所示的直线上的角的集合．    题型二 根据图形写出角（或范围） 【例2】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．   B．  C．   D．   【变式2-1】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式2-2】已知角的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角的范围为 .    【变式2-3】写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   题型三 角度制与弧度制的互化 【例3-1】下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）把表示成，的形式，则值可以是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）下列转化结果正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【变式3-3】设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 题型四 扇形弧长、面积的相关计算 【例4】秀峰公园里有块周长为46米的扇形花田，其弧长30米，则这块扇形花田的圆心角的弧度数是（ ） A． B． C． D．120 【变式4-1】已知扇形的周长为20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式4-2】中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（    ）（参考数据：）    A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 【变式4-3】《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为 . 题型五 三角函数的定义 【例5】已知角终边经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【变式5-1】若角的终边过点，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 题型六 已知三角函数值或符号求参数 【例6】已知角终边经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知角的终边过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若角的终边经过点，且，则 ． 【变式6-3】（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型七 同角三角函数的求值 【例7】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，则 ． 【变式7-2】若，那么 ． 【变式7-3】已知角的终边经过点， (1)求的值； (2)若是方程的两个根，求的值. 题型八 与关系应用 【例8】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式8-1】已知，则 ，若，则 . 【变式8-2】（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型九 三角函数的周期 【例9】函数的最小正周期为 . 【变式9-1】下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式9-3】函数的最小正周期为 ． 题型十 三角函数的单调性 【例10】已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【变式10-3】已知函数的相邻两个零点之间的距离为，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 题型十一 三角函数的对称性 【例11】若函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 【变式11-1】（多选）已知函数，则关于函数的叙述正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 【变式11-2】关于函数有如下命题，其中正确的有______ ①的表达式可改写为 ②是以为最小正周期的周期函数； ③的图象关于点对称； ④的图象关于直线对称. 【变式11-3】（多选题）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．该图象对应的函数解析式为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 题型十二 三角函数的最大值与最小值 【例12】已知函数，则函数的最大值为__________． 【变式12-1】函数的值域为 . 【变式12-2】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在上的最值． 题型十三 三角函数的奇偶性 【例13】下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【变式13-2】函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【变式13-3】已知函数是偶函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型十四 根据图像求三角函数的解析式 【例14】函数的部分图象如图，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式14-1】已知函数的部分图象如图所示，则的所有可能取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（多选）已知函数的部分图象如图所示，图象与y轴交于点M，与x轴交于点C，点N在的图象上，且点M与点N关于点C对称，则下列说法其中正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递增 D．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称 【变式14-3】（多选题）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数图象的对称轴为直线 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 题型十五 三角函数的图象变换 【例15】将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【变式15-1】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A． B． C． D． 【变式15-3】要得到函数的图象，只需将函数的图象经过两次变换，则下列变换方法正确的是（    ） A．先将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度 B．先将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度 C．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 题型十六 三角函数的应用 【例16】弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 【变式16-1】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 【变式16-3】深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题． (1)求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式； (2)当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 基础巩固通关测 1．在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中满足定义域为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D．7 5．已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D．11 6．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 7．（多选）若函数，为了得到函数的图象，下面有四种变换：①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将的图象（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．（多选）函数的部分图象如图，下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在上为增函数 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则 9．如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    10．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为 . 11．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 12．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式；    (2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 能力提升进阶练 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 3．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数若时，的最小值为，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．当函数的值域为 C．函数在区间上的零点个数共有6个 D．函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 5．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若α终边上一点的坐标为，则 B．若角α为锐角，则2α为钝角 C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D．若且，则 6．（多选）已知函数，满足，且对任意，都有，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上的值域为 C．的单调递增区间为 D．若方程在区间上恰有三个不等的实根，则的取值范围为 7．若为第二象限角，且，则的值是 ． 8．如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 9．将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 10．如图，函数的图象经过点和，将图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 三角函数（复习讲义） 一、知识掌握目标 1.清晰理解任意角的概念，熟练掌握终边相同的角的表示方法，能准确区分正角、负角、零角，以及象限角与轴线角的定义，并能解决与角的终边位置相关的问题。 2.熟练掌握弧度制与角度制的换算公式，理解弧度制的几何意义，能运用弧度制解决扇形的弧长、面积计算问题，明确弧长公式和扇形面积公式的适用条件。 3.深刻理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，包括单位圆定义和终边定义，熟练掌握三角函数值在各象限的符号规律，能准确求解特殊角（0°、30°、45°、60°、90°及终边在坐标轴上的角）的三角函数值。 4熟练掌握同角三角函数的基本关系，即平方关系和商数关系，能运用这些关系进行三角函数式的化简、求值和证明。 5.全面掌握三角函数的诱导公式，理解诱导公式的推导逻辑（利用终边对称性），能熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，实现三角函数值的快速求解与表达式的化简。 6.熟练掌握正弦函数(y=sinx)、余弦函数(y=cosx)、正切函数(y=tanx)的图像与性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性和最值，能准确描述函数图像的特征（如正弦曲线的“五点法”关键点、正切曲线的渐近线等）。 7.深刻理解函数（y＝Asin（ωx＋φ））的图像变换规律，明确参数(A)（振幅）、(ω)（周期相关）、(φ)（相位）对函数图像的影响，能根据基本三角函数图像通过平移、伸缩变换得到目标函数图像，也能由函数图像确定参数的值。 8.具备解决三角函数与其他知识结合的简单综合问题的能力，如与函数的单调性、最值、不等式等知识的结合，提升知识迁移与综合应用能力。 9.理解函数与方程思想，能将三角函数问题转化为方程问题求解（如求解三角方程、利用函数值域解决最值问题等），提升运用函数与方程关系解决问题的能力。 10.能运用三角函数解决简单的实际问题，如测量距离、高度、角度，以及解决与振动、波动、周期性变化相关的实际问题，提升将实际问题转化为数学问题的建模能力。 一、任意角与弧度制 1、 角的概念：角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形． 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角． 4、相等角与角的加减 （1）相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． （2）相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为． （3）角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是． 5、终边相同的角 （1）终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 注意：相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的． （2）象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （3）轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限． 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 6、角度制与弧度制的概念 （1）角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制的有关概念 为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制． ①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度制： 定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． 记法：用符号rad表示，读作弧度． 如图，在单位圆O中，的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角． 7、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同． 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢． 8、角度制与弧度制之间的互化 （1）角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 （2）特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 9、弧长与扇形面积公式 （1）弧长与扇形面积公式的两种表示 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角． （2）弧长公式与扇形面积公式的注意事项 ①在应用公式时，要注意的单位是“弧度”； ②在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆． 二、任意角的三角函数 10、利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点． 三角函数 定义 记作 符号表示 正弦函数 点的纵坐标 余弦函数 点的横坐标 正切函数 点的纵坐标 与横坐标的比值 我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 11、用角的终边上点的坐标表示三角函数 如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，． 注意：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关． 12、三角函数的定义域和函数值的符号 （1）三角函数的定义域 三角函数 定义域 注意：单位圆上的取值范围是，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域． （2）三角函数值在各象限的符号 根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图． 由于原点到角的终边上任意一点的距离是正值，根据三角函数的定义，值 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标的符号； ③正切函数值的符号取决于由的符号共同决定，即同号为正，异号为负． 【三角函数值的符号记忆】 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”或者记忆为“全（一）是（二）天（三）才（四）”． 其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．或者第一象限符号都为正，第二象限正弦符号为正，第三象限正切符号为正，第四想象余弦符号为正。 13、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 14、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 注意：使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题． 15、诱导公式 （1）三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限 注意：①先将诱导三角函数式中的角统一写作； ②无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； ③当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． （2）诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为的角求值 公式二 将的角转化为的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦函数与余弦函数的互相转化 公式六 三、三角函数的图像与性质 15、周期函数 （1）周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 注意：定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. （2）最小正周期：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. （3）周期函数的周期公式 （1）一般地，函数的最小正周期 （2）若函数的周期是，则函数的周期为, 求三角函数周期的方法 ①定义法：利用周期函数的定义求解． ②公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, ③图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 16、正（余）弦函数的图象 （1）正（余）弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, （2）用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤 （1）确定五个关键点：最高点、最低点、与轴的三个交点（三个平衡点）； （2）列表：将五个关键点列成表格形式； （3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点； （4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征； （5）平移：将所作的上的曲线向左、向右平行移动（每次平移个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线． 17、正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 18、正切函数的图象与性质 （1）定义域：， （2）值域：R （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即． （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 19、函数y＝Asin（ωx＋φ）图象 （1）A、φ、ω的含义 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 （2）用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 20、三角函数图象变换 （1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 （5）三角函数图象变换中的三个注意点 ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 四、三角函数的应用 21、三角函数模型问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 22、解三角函数应用问题的基本步骤 （1）审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题； （2）建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系，即建立三角函数模性； （3）解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答所得到的三角函数模型，求得结果； （4）得出结论：使所得结论翻译成实际问题的答案。 23、建立三角函数拟合模型的注意事项 （1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． （2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． （3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 题型一 终边相同的角 【例1】终边落在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的倾斜角为，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可. 【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为． 故选：B 【变式1-1】将化为的形式是 ． 【答案】 【分析】根据条件直接计算即可. 【详解】因为, 故答案为： 【变式1-2】如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么角与角之间满足的等量关系是 . 【答案】， 【解析】因为角与具有相同的终边， 所以，， 又角与具有相同的终边， 所以，， 所以，， 令，， 则，. 【变式1-3】写出终边在下图所示的直线上的角的集合．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先求得在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，从而即可得答案； （2）求出终边在直线上的角的集合，然后和终边在直线上的角的集合取并集即可得答案. 【详解】（1）由题图易知，在范围内，终边在直线上的角有两个，即和， 因此，终边在直线上的角的集合为 ； （2）同理可得终边在直线上的角的集合为 ， 终边在直线上的角的集合为 ， 所以终边在直线上和在直线上的角的集合为 . 题型二 根据图形写出角（或范围） 【例2】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】C 【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可 【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一样， 故选：C． 【变式2-1】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】分奇偶讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，， 当时，,所以选项C满足题意. 故选：C. 【变式2-2】已知角的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角的范围为 .    【答案】 【解析】由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 . 故答案为： 【变式2-3】写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   【答案】(1) (2) 【分析】写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角，注意边界的虚实. 【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为， 因此，阴影部分区域所表示的集合为； （2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为， 图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为 ， 因此，阴影部分区域所表示角的集合为 . 题型三 角度制与弧度制的互化 【例3-1】下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D. 【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同， 故与的终边相同的角的集合 即选项B正确； 选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限. 故选：B. 【变式3-1】（多选）把表示成，的形式，则值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得， 再由终边相同角的表示，可得， 所以与和的终边相同.故选：AD. 【变式3-2】（多选）下列转化结果正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】ABD 【详解】对于A, 化成弧度是,故A正确， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D正确，故选：ABD 【变式3-3】设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）将角度数乘以即可化为弧度，再化为的形式，判断所在象限； （2）由将弧度化为角度，表示出终边重合的角，令其在–720°~0°之间，即可得到与它们终边重合的所有角. 【详解】（1），在第二象限； ，在第一象限, 即是第二象限的角，是第一象限的角. （2），终边重合的角是， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°； ，终边重合的角是为， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°. 题型四 扇形弧长、面积的相关计算 【例4】秀峰公园里有块周长为46米的扇形花田，其弧长30米，则这块扇形花田的圆心角的弧度数是（ ） A． B． C． D．120 【答案】A 【详解】设扇形的圆心角为，半径为,弧长为， 则由扇形的周长为46得：，所以 则，故选：A. 【变式4-1】已知扇形的周长为20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】由扇形的周长和面积，利用基本不等式可求出面积的最大值，进而求出圆心角的大小. 【详解】扇形周长，扇形面积 由，可得，当且仅当时，面积有最大值， 扇形的圆心角故选：B 【变式4-2】中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（    ）（参考数据：）    A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 【答案】D 【分析】求得判断选项A；求得满足条件的的值判断选项B；求得满足条件的的值判断选项C；求得满足条件的扇形面积的值判断选项D. 【详解】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为， 选项A：.故A正确； 选项B：由，可得 ，解得，又扇形的半径， 则.故B正确； 选项C：若扇面为“美观扇面”，则， 解得.故C正确； 选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径， 则此时的扇形面积为.故D错误. 故选：D 【变式4-3】《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为 . 【答案】 【分析】设扇形的半径为，利用弧长公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积. 【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为，解得，扇形面积为， 取的中点，连接，如下图所示： 因为，则， 又因为，则， 所以，，，则， 所以，， 因此，弧田的面积为. 故答案为：. 题型五 三角函数的定义 【例5】已知角终边经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】由三角函数的定义可知，角终边经过点，故. 故选：B 【变式5-1】若角的终边过点，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】直接根据正切函数值的定义求解. 【详解】依题. 故选：D 【变式5-2】在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称可得，进而根据三角函数的定义即可求解. 【详解】角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点， 故， 故选：B 【变式5-3】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出的三角函数值，再逐一判断即可. 【详解】因为角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点， 所以， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 题型六 已知三角函数值或符号求参数 【例6】已知角终边经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可. 【详解】因为角终边经过点，所以，所以， 解得. 故选：C 【变式6-1】已知角的终边过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出，利用三角函数的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为角的终边过点，且，则，且， 解得. 故选：C. 【变式6-2】若角的终边经过点，且，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，解得（舍去）， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出的值，从而可求出角的其它三角函数值. 【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且， 所以， 所以， 由，可知，所以角为第二象限的角，所以， 所以，所以A错误，B正确， 所以，，所以CD正确， 故选：BCD 题型七 同角三角函数的求值 【例7】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果. 【详解】由得：， ， 解得：或， 又，，即，， . 故选：C. 【变式7-1】已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算作答. 【详解】由于，所以. 故答案为： 【变式7-2】若，那么 ． 【答案】1 【分析】弦化切即可. 【详解】 故答案为：1 【变式7-3】已知角的终边经过点， (1)求的值； (2)若是方程的两个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由三角函数的定义求得，再利用齐次式法即可得解； （2）先利用韦达定理求得关于的表达式，再利用齐次式法即可得解. 【详解】（1）因为角的终边经过点，所以， 则. （2）因为是方程的两个根， 所以，，且， 则 . 题型八 与关系应用 【例8】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果. 【详解】将两边同时平方可得，， 可得； 又，所以； 易知，可得； 又,所以. 故选：C 【变式8-1】已知，则 ，若，则 . 【答案】 / 【分析】根据及从而可求出空，又，利用同角三角函数的关系可求出空. 【详解】由题意：，得：， 所以：， 所以：， 因为：，所以：， 又因为：，得：， 所以：，得： 又因为：，所以：，， 所以：. 故答案为：；. 【变式8-2】（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】依题意，，， 两边平方得， ，所以，A选项错误，B选项正确. 则，所以 ，所以D选项正确. 由，两式相减并化简得，所以C选项错误. 故选：BD 【变式8-3】已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型九 三角函数的周期 【例9】函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可得：函数的最小正周期. 故答案为：. 【变式9-1】下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次计算4个选项的周期即可. 【详解】对于A，为把轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为，错误； 对于B，的最小正周期为，错误； 对于C，的最小正周期为，错误； 对于D，为把轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为，故D正确； 故选：D. 【变式9-2】设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】利用给定函数的性质，结合分段函数解析式代入计算作答. 【详解】因为是定义域为R且最小正周期为的函数，且， 所以. 故选：A 【变式9-3】函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【分析】利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质可求得函数的最小正周期. 【详解】因为的最小正周期为， 所以的最小正周期为． 故答案为：. 题型十 三角函数的单调性 【例10】已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解. 【详解】当时，， 所以当，即时，函数单调递增． 故选：B. 【变式10-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质，列式求解. 【详解】令，， 解得：， 所以函数的单调递增区间是. 故选：C 【变式10-2】函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数的性质求解 【详解】函数，故求函数的单调递增区间即可， 令，解得 故选：A 【变式10-3】已知函数的相邻两个零点之间的距离为，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的周期求得参数，可得函数解析式，结合正弦函数的单调性解不等式，即可求得的单调递增区间. 【详解】由题意可知的最小正周期为， 故，则， 令， 则， 即的单调递增区间为， 故选：B 题型十一 三角函数的对称性 【例11】若函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 【答案】D 【分析】根据余弦型函数图像及性质判断各选项. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，把代入，则，所以关于直线对称，故B正确； 对于C，，把代入，则，故C正确； 对于D，由，，当时，即，单调递增，故D错误. 故选：D. 【变式11-1】（多选）已知函数，则关于函数的叙述正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】A选项，根据求出最小正周期；B选项，由函数的奇偶性判断出为偶函数；C选项，，故的图象关于点对称；D选项，求出，数形结合得到在区间上不单调. 【详解】A选项，，故最小正周期为，A正确； B选项，的定义域为R，且， 故为偶函数，B正确； C选项，，故的图象关于点对称，C正确； D选项，当时，， 由于在上不单调，故在区间上不单调，D错误. 故选：ABC 【变式11-2】关于函数有如下命题，其中正确的有______ ①的表达式可改写为 ②是以为最小正周期的周期函数； ③的图象关于点对称； ④的图象关于直线对称. 【答案】①③ 【分析】 ①利用诱导公式变形，判断选项；②利用周期公式，判断选项；③代入函数判断是否为0，判断选项；④代入选项，是否取得最值，判断选项. 【详解】 ①，故①正确； ②的最小正周期，故②不正确； ③当时，，此时函数值为0，所以函数的图象关于点对称，故③正确； ④当时，，此时函数值是0，不是函数的对称轴，故④不正确. 故答案为：①③ 【变式11-3】（多选题）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．该图象对应的函数解析式为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】AD 【分析】由图象求出函数解析式，再根据正弦函数性质判断各选项. 【详解】由题意，，则， ，又，所以， 所以，A正确； ，所以是图象的对称轴，B错； ，是图象的对称中心，C错； 时，，递减，D正确. 故选：AD. 题型十二 三角函数的最大值与最小值 【例12】已知函数，则函数的最大值为__________． 【答案】1 【分析】利用整体法求解三角函数的最值. 【详解】因为，所以， 所以，所以的最大值为1． 故答案为：1 【变式12-1】函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据已知化简可得.换元令，可得，.根据二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】， 令， 因为，所以， 所以. 根据二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，有最大值. 又，， 所以的最小值为，函数的值域为. 故答案为：. 【变式12-2】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域. 【详解】函数， 因为， 所以当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 故函数的值域为， 故选：A． 【变式12-3】已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)，单调递增区间为， (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）函数的最小正周期， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）因为，则， 所以，则，即， 当，即时，函数取得最大值为， 当，即时，函数取得最小值为， 所以在上的最大值为，最小值为. 题型十三 三角函数的奇偶性 【例13】下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对各个选项根据偶函数的定义进行判断即可. 【详解】解：因为，所以， 所以不是偶函数，故选项A错误； 因为，所以， 所以为偶函数，故选项B正确； 因为，所以， 所以不是偶函数，故选项C错误； 因为，所以， 所以不是偶函数，故选项D错误. 故选：B 【变式13-1】函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得. 【详解】选项A: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故A错误； 选项B: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故B错误； 选项C: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故C正确； 选项D: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式13-2】函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再根据定义式判断与的关系即可得出结论. 【详解】函数的定义域为， 函数的定义域关于原点对称， 又，，， 所以函数为奇函数，函数不是偶函数， 故选：A. 【变式13-3】已知函数是偶函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的奇偶性列出关于的方程，从而得解. 【详解】因为是偶函数， 所以，即， 又，所以. 故选：C. 题型十四 根据图像求三角函数的解析式 【例14】函数的部分图象如图，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的图象及五点法求参数，写出函数解析式，再求函数值. 【详解】由图及题设知，把点代入，得， 由五点描图法可得，所以，故， 所以. 故选：A 【变式14-1】已知函数的部分图象如图所示，则的所有可能取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的周期求得，然后分类讨论，根据最高点结合诱导公式求解即可. 【详解】由图可知，的最小正周期为，所以. 当时，，得，此时； 当时，，得，此时. 故只有一个值. 故选：B 【变式14-2】（多选）已知函数的部分图象如图所示，图象与y轴交于点M，与x轴交于点C，点N在的图象上，且点M与点N关于点C对称，则下列说法其中正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递增 D．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称 【答案】AB 【分析】对于A，由三角函数图象的对称性可知，易知周期，即可得； 对于B，结合图象和参数的范围可得，显然的图象关于对称，即满足； 对于C，利用整体代换法可得在上不是单调递增的； 对于D，利用图象平移规则可知平移后的图象不关于y轴对称. 【详解】根据题意，由点M与点N关于点C对称，由图象横坐标可得， 设函数的最小正周期为T， 由图可得，即，计算可得，即A正确； 所以，又，即， 又可得，所以可得； 易知，故函数的图象关于对称， 则满足，故B正确； 当时，则， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在上不是单调递增的，即C错误； 将函数的图象向左平移个单位长度后得到， 显然当时取不到最值，故不是偶函数，得到的函数图象不关于y轴对称，即D错误. 故选：AB. 【变式14-3】（多选题）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数图象的对称轴为直线 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】 利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，由图可知， 设函数的最小正周期为，则，，，则， 由得，解得， 又，，，A正确； 对于B选项，由，得，B正确； 对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度， 得的图象，C错误； 对于D选项，由得， 由的图象可知，要使函数在区间上的值域为， 则，解得，D正确. 故选：ABD. 题型十五 三角函数的图象变换 【例15】将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可. 【详解】对于A：向左平移个单位可得到，符合； 对于B：向右平移个单位可得到，不符合； 对于C：向右平移个单位可得到，不符合； 对于D：向左平移个单位可得到，不符合； 故选：A. 【变式15-1】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数. 【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为. 故选：B. 【变式15-2】将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据变换规律得到图象变换后的函数解析式，再结合偶函数的特征，列式求解. 【详解】将图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，得 然后再向左平移个单位长度后，得， 又因为的图象关于轴对称，所以 ， 所以 ，当时，. 故选：B. 【变式15-3】要得到函数的图象，只需将函数的图象经过两次变换，则下列变换方法正确的是（    ） A．先将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度 B．先将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度 C．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】D 【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象； 或者先将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象. 故选：D. 题型十六 三角函数的应用 【例16】弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 【答案】D 【分析】根据简谐振动的解析式结合三角函数性质运算求解. 【详解】设简谐振动的解析式为，其中 由表格可知：振幅，周期，过点， 由周期，且，可得， 由过点，可得，即，则， 可得， 所以简谐振动的解析式为. 故选：D. 【变式16-1】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式. 【详解】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则， 周期为，则，初相位为，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：A. 【变式16-2】（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 【答案】BC 【分析】求出的值，求出函数的最小正周期，可判断A选项；根据的值可计算出小球在往复振动一次的过程中，经过的路程，可判断B选项；解方程，求出的可能取值，可判断C选项；求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 对于A选项，函数的最小正周期为， 所以，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时，A错； 对于B选项，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为，B对； 对于C选项，因为当时，， 由可得或， 解得或， 易知，，则的可能取值有：、、、、、、， 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为，C对； 对于D选项，由可得，则当时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在内经过最高点和最低点的次数恰好是次， 所以，，因为，则， 所以，小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是，D错. 故选：BC. 【变式16-3】深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题． (1)求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式； (2)当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 【答案】(1) (2),. 【分析】（1）分析题意，建立直角坐标系后，确定数学模型，分别求出即得； （2）根据题意，设出两人距离地面的高度得到关于的函数解析式，经过三角恒等变换，化成正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可求得. 【详解】（1） 如图，设摩天轮最低处为点,以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系.依题意，点，以为终边的角为， 因摩天轮每转一圈需要，则摩天轮转动的角速度为，由题意可得：； （2）设朋友登上摩天轮的时间为，其与地面的距离为， 则我已在摩天轮上的时间为，我与地面的距离为， 故， 由可知：，故当或时，， 即在或时，两人距离地面的高度差最大，为. 基础巩固通关测 1．在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出与角终边相同的角的集合，列不等式求结论. 【详解】与角终边相同的角的集合为， 令，可得，又， 所以，且， 所以与角终边相同的角中，最大的负角是， 故选：B. 2．下列函数中满足定义域为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：设，定义域为全体实数， ，所以该函数是奇函数，不符合题意； B：设，定义域为，显然不是实数集，不符合题意； C：设，定义域为全体实数， ，所以该函数不是偶函数，不符合题意； D：令，定义域为全体实数， ，所以该函数是偶函数，符合题意， 故选：D 3．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，找出边界对应的角，即可写出集合. 【详解】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C 4．已知，则（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系由弦化切计算可得结果. 【详解】由题得. 故选：C. 5．已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数值的定义可得，利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】因为角的终边上有一点，则， 所以. 故选：A. 6．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 7．（多选）若函数，为了得到函数的图象，下面有四种变换：①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将的图象（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AC 【分析】先利用诱导公式将转换成正弦函数的形式，然后根据伸缩和平移变换即可得到答案. 【详解】由于函数， 为了得到函数的图象，则只需将的图象，先横坐标伸长为原来的2倍得到，再向右平移个单位长度得到图象，即①正确； 或先将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再横坐标伸长为原来的2倍得到图象，即③正确； 故选：AC. 8．（多选）函数的部分图象如图，下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在上为增函数 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则 【答案】BC 【分析】根据图象可确定最小正周期和最值，进而得到，知A错误；由，结合的范围可求得的解析式，利用代入检验法，结合的对称中心和单调性可确定BC正误；利用整体代换法，结合的单调性和最值可求得D错误. 【详解】由图象知：的最小正周期，； ，，； ，，解得：， ，，. 对于A，由题意得， 故A错误； 对于B，当时，，且， 图象关于点对称， 故B正确； 对于C，当时，， 在上单调递增，在上为增函数， 故C正确； 对于D，当时，， 由余弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 若在上有且仅有一个实数根，则，故D错误. 故选：BC. 9．如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【分析】运用扇环的定义，两个同心扇形（圆心相同）的面积差利用扇形面积公式求解两个扇形的面积差. 【详解】由题意知， 因为， 由扇形面积公式得: 所以． 故答案为：. 10．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为 . 【答案】11 【分析】由直线是曲线的一条对称轴，得到，进而得到在上单调递增，比较端点即可求解. 【详解】因为直线是一条对称轴，所以. 整理可得：，即， 由，得， 则函数在上单调递增， 因为函数在区间上不单调，所以，解得， 因为且，所以的最小值为11， 故答案为：11 11．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 【答案】(1)， (2)，；，. 【分析】（1）根据正弦函数的图象识别，可得到正弦函数的周期、振幅，进而可求得函数的解析式和对称中心的坐标. （2）先根据正弦函数的平移和奇偶性求得的解析式，然后根据正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）根据图象知，，∴，∴，∴. 将点代入，即.又，∴，∴. 令，解得，∴的对称中心的坐标为. （2），∵为偶函数，∴， ∴.又∵，∴，∴， 所以函数，又∵，所以， 则，，于是. ∴，此时；，此时. 12．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式；    (2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 【答案】(1)作图见解析， (2)该船在或时可以进入港口 【分析】（1）根据表格中的数据可作出函数的图象，结合图象信息可求出、、的值，当，时，并结合的取值范围可得出的值，由此可得出函数解析式； （2）分析可知，货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港，解不等式，即可得出结论. 【详解】（1）由表中数据可画出函数图象如下．    由图象可知，， 函数的最小正周期为，可得，则， 又因为时取最大值，即，可得，则， 因为，故，故. （2）货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港． 令，可得， 所以，解得， 当时，；当时，， 所以该船在或时可以进入港口． 能力提升进阶练 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用正弦函数的性质求解三角方程，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】当时，；当时，，即， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. 3．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设得到进而求出关于的方程，再由计算分析取得的值得出函数解析式，再由正弦函数单调性列不等式计算即可求解. 【详解】若对恒成立，则， 所以， 又，所以，即， 则，由周期性可取， 所以函数， 令， 所以的单调递增区间是. 故选：C 4．已知函数若时，的最小值为，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．当函数的值域为 C．函数在区间上的零点个数共有6个 D．函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 【答案】C 【分析】由题意可求得，求得函数解析式，进而逐项计算判断即可. 【详解】若时，的最小值为，可得，解得， 所以，解得，所以，故A不正确； 当时，可得，所以， 所以函数的值域为，故B错误； 令，可得，所以， 解得，可得时，， 所以函数在区间上的零点个数共有6个，故C正确； 函数的图象向左平移个单位长度， 得函数的图像， 所以为偶函数，故D错误. 故选：C. 5．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若α终边上一点的坐标为，则 B．若角α为锐角，则2α为钝角 C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D．若且，则 【答案】CD 【分析】根据三角函数的定义判断A项；举反例排除B项；利用扇形的弧长与面积公式计算可判断C项；根据已知求出的值，即可得正切值判断D项. 【详解】对于A，因，则，则，故A错误； 对于B，当角α为锐角时，若，而 不是钝角，故B错误； 对于C，依题意，扇形的半径为，则该扇形的面积为，故C正确； 对于D，由①两边取平方，可得，化简得， 因，故，则， 由可得②， 联立①②，解得，故.故D正确. 故选：CD. 6．（多选）已知函数，满足，且对任意，都有，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上的值域为 C．的单调递增区间为 D．若方程在区间上恰有三个不等的实根，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由题意得到对称中心和最大值点，然后通过周期求出，代入最大值点求出，从而得到函数的解析式.令求出对称轴，判断A；由得到的取值范围，求得值域，判断B；令求函数单调区间，判断C；得方程的解，分别列出大于0的解，即可得的范围，判断D. 【详解】∵，∴函数关于点中心对称， ∵，则是函数的一个最大值点， ∴或， 即或， ∵，∴或， ∵，∴， 令，则，即， ∵，∴， ∴， 令，则， 当时，，A选项正确； 当时，，∴，B选项错误； 令， 解得，C选项正确； ，即，即或 解得或， 大于的解依次为：，，，，……， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 7．若为第二象限角，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】由同角函数的基本关系及诱导公式求解即可． 【详解】由得， 因为为第二象限角，则， 则 ． 故答案为：． 8．如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 【答案】12 【分析】根据正弦函数的实际应用，由题意列出运动轨迹的函数解析式，进而写出不等式，求出结果. 【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离地面的高度为，其中，， 由题意得，，，周期，所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，，解得，， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故答案为：12. 9．将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移得到的解析式，再用整体法求对称中心的坐标； （2）根据，得到，则即可求解； （3）设，则，则在上恒成立，再由二次函数最值可知等价于，再解不等式即可． 【详解】（1）由题意可得， 令，解得， 则曲线的对称中心的坐标是； （2）因为，所以， 则， 故在上的值域为； （3）由（1）知，设，则， 所以关于的不等式， 对恒成立等价于关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 因为在上单调递增，又，， 所以的取值范围是． 10．如图，函数的图象经过点和，将图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值． 【答案】(1)，单调递增区间为. (2) (3) 【分析】（1）先根据经过的点坐标和图象求出，然后根据图象的变化求出的解析式，进而根据正弦函数的单调性求出单调递增区间. （2）先化简函数的解析式，然后根据的范围求出值域即可. （3）先化简的解析式，然后求出其零点，进而求得的最小值. 【详解】（1）因为函数经过点， 所以，所以，解得. 所以，因为，所以. 所以函数. 根据函数图象的平移等变化，可得出. 当时，单调递增， 解得，所以的单调递增区间为. （2）因为，所以. 所以. 因为，所以，所以， 所以，所以在上的值域为. （3），令，则. 所以或， 解得或. 函数的每个周期内有2个零点，要使得函数在区间内恰有20个零点， 则至少需要9个完整周期加1个零点， 所以的最小值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $