第六章概率（单元测试·基础卷）数学北师大版2019选择性必修第一册

2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第六章 概率·基础通关（参考答案） 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A B A C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD CD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出未知数，根据已知条件列出等式，求出结果即可. （2）先求出对立事件的概率，进而得到甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【详解】（1）设乙能解出该题的概率为，丙能解出该题的概率为， 因为甲、丙都能解出该题的概率为，所以，解得.………（3分） 因为乙能解出而丙不能解出该题的概率为，所以，解得.………（6分） 所以乙、丙各自解出该题的概率是.………（7分） （2）甲、乙、丙3人都没有解出该题的概率是 ，………（11分） 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率是.………（13分） 16．（15分） 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可； （2）由古典概型概率公式求得概率，再结合期望公式求解即可； 【详解】（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的朝上点数的差的绝对值， 连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能，………（1分） 其中可能情况有6种， 故．………（3分） 其中可能情况有10种，， 故．………（5分） （2）由题意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5，………（6分） 的情况有，8种， 的情况有，6种， 的情况有，4种， 的情况有，2种，………（8分） 所以， ，………（10分） 可得分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P ………（13分） 故．………（15分） 17．（15分） 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)分布列见解析，期望为，方差为 【分析】由题可知服从超几何分布，c的取值为0，1，2，则易求的分布列和数学期望； 由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望． 【详解】（1）由题意知，的值为0，1，2，3，………（1分） ， ， ， ，………（3分） 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ………（5分） ；………（7分） （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ，………（10分） 的分布列为： 0 1 2 3 P ………（13分） .15 18．（17分） 【答案】(1)17 (2)0.004 【分析】（1）首先根据每一层的均值，代入总体样本的均值公式，即可求解. （2）首先由参考公式计算，再根据独立重复事件求概率. 【详解】（1）根据题意，把男性样本记为，其平均数记为； 把女性样本记为，其平均数记为，则，………（1分） 记总样本数据的平均数为， 则，总样本数据的平均数为17.………（4分） （2）根据题意，由（1）知，所以， 所以，………（7分） ………（10分） 设抽取的3位参与者中，脂肪含量均小于12.2%的人数为， 易得，………（12分） 故，………（16分） 故3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004.………（17分） 19．（17分） 【答案】(1) (2)10 (3)m或，理由见解析 【分析】（1）设质点n次移动中向右移动的次数为，再利用二项分布即可求出对应概率； （2）根据二项分布的均值公式求出，再根据均值的性质即可求出答案； （3）写出的表达式，利用作商法得到其单调性，从而得到其最值，再根据即可得到其所处位置. 【详解】（1）设质点n次移动中向右移动的次数为，易知该试验为n重伯努利试验，随机变量服从二项分布，即，而向左移动的次数为，………（1分） 因此 所以．………（3分） （2）由于，………（5分） 又由（1）可知：，所以．………（7分） （3）由于，………（8分） 令，显然有成立，………（9分） 则，因此关于k单调递减，………（11分） 当时，解得，由此可知：当时，；………（13分） 当时，．………（14分） 因此当时，，即和取得最大值， 即或时概率最大，（注：也可用n表示，或时概率最大）， ………（15分） 此时，代入解得或， （注：也可用n表示，解得或） 所以质点最有可能位于位置m或．（注：也可用n表示，最可能位于位置或）………（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第六章 概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 2．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 3．设离散型随机变量X的分布列如右表。若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 4．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．与 的取值有关 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线对称性可知，，即可求的值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，所以. 故选：B 5．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：A. 6．根据2025年最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游，记事件“乙恰好选择了三座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合排列组合应用问题列式求解. 【详解】乙恰好选择了三座城市旅游的方法数为， 而事件与都发生的所有可能结果有， 所以所求概率为. 故选：C 7．已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正态分布对称性可得，进而得到，再利用换元法结合二次函数最值即可求解． 【详解】因为，易知单调递增， 由正态分布的对称性可知， 所以， 由，得， 所以, 即的最小值为， 故选：B． 8．投掷一个质地均匀的正十二面体次（各面标有），当接触地面的一面数字之和为12的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要理解投掷过程中得状态转移规律，并利用对称性化简计算. 【详解】设为余数为时的期望投掷次数，则 ，当时，，由对称性可知，代入得， ，解得，所以总的数学期望为： . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正态密度曲线易得，，然后可逐项判断. 【详解】，， 两曲线分别关于直线对称，由图可知，故A正确； 又，所以，故B正确； 又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故C错误； 又，所以，故D正确； 故选：ABD. 10．从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先判断随机变量的分布类型，再根据超几何分布的期望公式计算，最后比较大小及求和判断选项正误. 【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数，所选5人中男生的人数服从超几何分布， 即 故错误； 又由超几何分布的均值公式，可得： , 所以 故正确， 故选： 11．某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（    ） A．该学生的眼睛近视的概率为0.69 B．该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C．如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D．如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 【答案】AC 【分析】根据概率乘法公式及对立事件的概率对选项逐一分析即可. 【详解】对于：该学生的眼睛近视的概率为，故正确； 对于：该学生是高三年级且眼睛近视的概率为，故错误； 对于：如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为，故正确； 对于：如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为，故错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占40％，女生中有65％的人日均运动时间大于1小时，男生中有90％的人日均运动时间大于1小时.在被调查的学生中任选1人，则此人日均运动时间大于1小时的概率为 . 【答案】 【分析】记事件：抽取的1人为女生，记事件：抽取的一人日均运动时间大于1小时，利用全概率公式即可求出. 【详解】记事件：抽取的1人为女生，记事件：抽取的一人日均运动时间大于1小时， 则，，，， 由全概率公式可得 . 所以在被调查的学生中任选1人，则此人日均运动时间大于1小时的概率为. 故答案为：. 13．某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则 . 【答案】/ 【分析】利用插空法求出事件的排法，再使用捆绑法和插空法求出事件的排法，利用条件概率公式计算得到. 【详解】由题意，先将高二和高三年级的5个人全排列，有种排法，将高一年级2人进行插空，有种排法， 所以事件 “高一年级2人不相邻”的排法有种排法. 将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排列，有种排法， 排好后，将高一年级的2人进行插空，有种排法，所以事件共有种排法. 所以，. 故答案为：. 14．已知随机变量取所有的值是等可能的，且，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得，根据期望公式求出，再求出方差，再根据方差的性质即可得解 【详解】由题意可得， 则，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 2024年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801人成功晋级，某17岁中专生排名12名，引发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3人，各自独立去做2024年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出未知数，根据已知条件列出等式，求出结果即可. （2）先求出对立事件的概率，进而得到甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【详解】（1）设乙能解出该题的概率为，丙能解出该题的概率为， 因为甲、丙都能解出该题的概率为，所以，解得.………（3分） 因为乙能解出而丙不能解出该题的概率为，所以，解得.………（6分） 所以乙、丙各自解出该题的概率是.………（7分） （2）甲、乙、丙3人都没有解出该题的概率是 ，………（11分） 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率是.………（13分） 16．（15分） 现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可； （2）由古典概型概率公式求得概率，再结合期望公式求解即可； 【详解】（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的朝上点数的差的绝对值， 连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能，………（1分） 其中可能情况有6种， 故．………（3分） 其中可能情况有10种，， 故．………（5分） （2）由题意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5，………（6分） 的情况有，8种， 的情况有，6种， 的情况有，4种， 的情况有，2种，………（8分） 所以， ，………（10分） 可得分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P ………（13分） 故．………（15分） 17． （15分） 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)分布列见解析，期望为，方差为 【分析】由题可知服从超几何分布，c的取值为0，1，2，则易求的分布列和数学期望； 由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望． 【详解】（1）由题意知，的值为0，1，2，3，………（1分） ， ， ， ，………（3分） 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ………（5分） ；………（7分） （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ，………（10分） 的分布列为： 0 1 2 3 P ………（13分） .15    18．（17分） 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查．已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数为14，所抽取的90位女性的调查数据的平均数为21． (1)计算这次调查总样本的均值； (2)假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中为（1）中计算所得的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1)17 (2)0.004 【分析】（1）首先根据每一层的均值，代入总体样本的均值公式，即可求解. （2）首先由参考公式计算，再根据独立重复事件求概率. 【详解】（1）根据题意，把男性样本记为，其平均数记为； 把女性样本记为，其平均数记为，则，………（1分） 记总样本数据的平均数为， 则，总样本数据的平均数为17.………（4分） （2）根据题意，由（1）知，所以， 所以，………（7分） ………（10分） 设抽取的3位参与者中，脂肪含量均小于12.2%的人数为， 易得，………（12分） 故，………（16分） 故3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004.………（17分） 19．（17分） 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位，且每次向左的概率为，设移动n次后质点位于位置． (1)求； (2)求； (3)指出质点移动次后，最有可能位于哪个位置，并说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)m或，理由见解析 【分析】（1）设质点n次移动中向右移动的次数为，再利用二项分布即可求出对应概率； （2）根据二项分布的均值公式求出，再根据均值的性质即可求出答案； （3）写出的表达式，利用作商法得到其单调性，从而得到其最值，再根据即可得到其所处位置. 【详解】（1）设质点n次移动中向右移动的次数为，易知该试验为n重伯努利试验，随机变量服从二项分布，即，而向左移动的次数为，………（1分） 因此 所以．………（3分） （2）由于，………（5分） 又由（1）可知：，所以．………（7分） （3）由于，………（8分） 令，显然有成立，………（9分） 则，因此关于k单调递减，………（11分） 当时，解得，由此可知：当时，；………（13分） 当时，．………（14分） 因此当时，，即和取得最大值， 即或时概率最大，（注：也可用n表示，或时概率最大）， ………（15分） 此时，代入解得或， （注：也可用n表示，解得或） 所以质点最有可能位于位置m或．（注：也可用n表示，最可能位于位置或）………（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第六章 概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 3．设离散型随机变量X的分布列如右表。若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 4．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．与 的取值有关 5．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（    ） A． B． C． D． 6．根据2025年最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游，记事件“乙恰好选择了三座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（   ） A． B． C． D． 7．已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．投掷一个质地均匀的正十二面体次（各面标有），当接触地面的一面数字之和为12的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ） A． B． C． D． 10．从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（    ） A．该学生的眼睛近视的概率为0.69 B．该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C．如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D．如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占40％，女生中有65％的人日均运动时间大于1小时，男生中有90％的人日均运动时间大于1小时.在被调查的学生中任选1人，则此人日均运动时间大于1小时的概率为 . 13．某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则 . 14．已知随机变量取所有的值是等可能的，且，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 2024年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801人成功晋级，某17岁中专生排名12名，引发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3人，各自独立去做2024年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 16．（15分） 现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. 17． （15分） 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差.    18．（17分） 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查．已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数为14，所抽取的90位女性的调查数据的平均数为21． (1)计算这次调查总样本的均值； (2)假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中为（1）中计算所得的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则， 19．（17分） 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位，且每次向左的概率为，设移动n次后质点位于位置． (1)求； (2)求； (3)指出质点移动次后，最有可能位于哪个位置，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第六章 概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 3．设离散型随机变量X的分布列如右表。若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 4．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．与 的取值有关 5．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（    ） A． B． C． D． 6．根据2025年最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游，记事件“乙恰好选择了三座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（   ） A． B． C． D． 7．已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．投掷一个质地均匀的正十二面体次（各面标有），当接触地面的一面数字之和为12的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ） A． B． C． D． 10．从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（    ） A．该学生的眼睛近视的概率为0.69 B．该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C．如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D．如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占40％，女生中有65％的人日均运动时间大于1小时，男生中有90％的人日均运动时间大于1小时.在被调查的学生中任选1人，则此人日均运动时间大于1小时的概率为 . 13．某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则 . 14．已知随机变量取所有的值是等可能的，且，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 2024年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801人成功晋级，某17岁中专生排名12名，引发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3人，各自独立去做2024年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 16．（15分） 现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. 17． （15分） 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差.    18．（17分） 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查．已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数为14，所抽取的90位女性的调查数据的平均数为21． (1)计算这次调查总样本的均值； (2)假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中为（1）中计算所得的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则， 19．（17分） 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位，且每次向左的概率为，设移动n次后质点位于位置． (1)求； (2)求； (3)指出质点移动次后，最有可能位于哪个位置，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $