2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册期末模拟试卷01

七年级数学期末模拟试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分 沪教版） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．若是完全平方式，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 6．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如果2m 4m 215，那么m =( ) 8．若有意义，则的取值范围是 ． 9．分解因式 ． 10．计算： ． 11．由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有两种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一、二次降价均为．其中是互不相等的正数，记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，则 （填“”“”或“”） 12．已知，，，则M N ．（填 “＞”，“”或“”） 13．如图，在无限大的正方形网格中，按规律涂色，图中涂色部分小正方形的个数分别为5，9，15．根据此规律，图中涂色部分的小正方形的个数是 ． 14．若分式方程无解，则的值为 15．小明按如图所示的程序计算（其中是常数）：小明发现多次输入不同的值时，输出的值都为相等的固定值，则常数的值是 ． 16．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 17．如图，直线互相垂直且相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对应点是，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为 ． 18．我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下所示． 行数 的展开式 的展开式的各项系数 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 …… …… …… 观察上面的规律可知，的展开式的第三项系数为 ． 三、解答题 19．计算 (1) (2) 20．先化简，再求值：其中，． 21．解方程． 22．定义：若，则称a与b是关于3的实验数． (1)与______是关于3的实验数，______与是关于3的实验数；用含x的代数式表示 (2)若，，判断a与b是否是关于3的实验数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的实验数，求x的值． 23.如图，在平面直角坐标系中，已知，点的坐标是    (1)画出，使得与关于点对称； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出． 24.甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的脐橙．甲超市销售方案是：将脐橙按大小分类包装销售，其中大脐橙300千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小脐橙以高于进价的销售．乙超市的销售方案是：不将脐橙按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大小两种脐橙售价的平均数定价，若两超市将脐橙全部销售，其中甲超市获得2040元（其他成本不计）． (1)脐橙进价为每千克多少元？ (2)乙超市获得多少元？并比较哪种销售方式更合算． 25.观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … 【初步感知】______；______； 【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； 【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小3：______； 若要求x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式______； 【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（为一次项的系数），且的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【模型应用】某商店销售一种商品，每件进价为20元，当售价为40元时，每天仅能售出20件．若商店作降价促销，发现每降价1元，可多售出2件．当售价为______正整数元时，每天的销售利润最大． 26.如图，有一副直角三角板如图放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．    (1)在图1中，______； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立； ②如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末模拟试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分 沪教版） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，利用同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意， B、，故此选项不符合题意， C、，故此选项不符合题意， D、，故此选项符合题意， 故选：D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不符合题意； B. ， 该等式右边不是整式积的形式，故本项不符合题意； C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意； D. ，该等式右边含有分式，故本项不符合题意； 故选：C． 3．若是完全平方式，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据完全平方式的定义求参数，完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 5．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查各选项的分子和分母是否有公因式进行判断即可． 【详解】解：A．中，分子和分母有公因式，不是最简分式，故A不符合题意； B．中，分母，与分子有公因式，不是最简分式，故B不符合题意； C．中，分子与分母没有公因式，是最简分式，故C符合题意； D．中，分母，与分子有公因式，不是最简分式，故D不符合题意． 故选：C． 6．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系． 根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流速度，逆流速度，根据题意得， ， 故选：A． 二、填空题 7．如果2m 4m 215，那么m =( ) 【答案】5 【分析】先把化成，再根据同底数幂乘法计算得出m的值即可. 【详解】解： 故答案为5. 【点睛】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握幂的乘方和同底数幂乘法是解决本题的关键. 8．若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂是解题的关键． 根据有意义，可得，进一步计算即可． 【详解】解：有意义， ， ， 故答案为：． 9．分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】解：原式． 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，通过将转化为，并利用积的乘方法则进行化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 11．由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有两种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一、二次降价均为．其中是互不相等的正数，记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，则 （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的运用，作差法比较大小，解题的关键在于理解题意列出，的表达式．记产品原价为，根据题意分别表示出，，用作差法比较大小，即可解题． 【详解】解：记产品原价为， 则，， ， ∵互不相等的正数， ， ， 故答案为：． 12．已知，，，则M N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 13．如图，在无限大的正方形网格中，按规律涂色，图中涂色部分小正方形的个数分别为5，9，15．根据此规律，图中涂色部分的小正方形的个数是 ． 【答案】423 【分析】本题考查了图形的规律探究，找到序号与涂色部分的小正方形的个数之间的关系是解题的关键． 观察图形可知第n个图形涂色部分的小正方形的个数是，将代入求解即可． 【详解】解：因为图中涂色部分的小正方形的个数是（个）， 图中涂色部分的小正方形的个数是（个）， 图中涂色部分的小正方形的个数是（个）， 所以依此类推图中涂色部分的小正方形的个数是（个）． 故答案为：423． 14．若分式方程无解，则的值为 【答案】9 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解与方程增根的关系是解题的关键．先解分式方程得，再由方程无解可知，解出m即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 移项，得， 合并同类项，得， ∵方程无解， ∴， ∴， 故答案为：9． 15．小明按如图所示的程序计算（其中是常数）：小明发现多次输入不同的值时，输出的值都为相等的固定值，则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简与无关变量问题，解题的关键是明确“输出为固定值时，含项的系数为0”． 先根据程序列出输出的代数式并化简，再结合“输出与无关”的条件，令的系数为0，求解得到的值． 【详解】解：根据程序流程，输出的代数式为：． 由于输入不同值时输出为固定值，说明该代数式的值与无关，因此含项的系数必须为0，即： ，解得． 故答案为：． 16．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：， 故答案为：． 17．如图，直线互相垂直且相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对应点是，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 阴影部分的面积矩形的面积的面积， ， 阴影部分的面积为 故答案为：． 18．我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下所示． 行数 的展开式 的展开式的各项系数 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 …… …… …… 观察上面的规律可知，的展开式的第三项系数为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了数字类规律探索．观察发现，杨辉三角的第行与展开式的各项系数对应，进而得出的展开式中从左起第三项的系数为，即可求解． 【详解】解：观察发现，杨辉三角的第行与展开式的各项系数对应， 的展开式中从左起第三项的系数为， 的展开式中从左起第三项的系数为， 的展开式中从左起第三项的系数为， …… 观察发现，的展开式中从左起第三项的系数为， 则的展开式中从左起第三项的系数为， 故选：15． 三、解答题 19．计算 (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算幂的乘方和积的乘方，再算同底数幂的乘法，然后合并同类项； （2）先根据多项式除以单项式、根据多项式乘以多项式的法则进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 20．先化简，再求值：其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式先展开合并，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21．解方程 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验为解题关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程无解． 22．定义：若，则称a与b是关于3的实验数． (1)与______是关于3的实验数，______与是关于3的实验数；用含x的代数式表示 (2)若，，判断a与b是否是关于3的实验数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的实验数，求x的值． 【答案】(1)， (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“实验数”的定义，设这个数为m，则，求出未知数即可；设这个数为n，则，求出n即可； （2）首先化简a和b，然后计算，求出是不是3即可； （3）首先化简c和d，因为c与d是关于3的实验数，所以，求出结果即可． 本题考查了整式的加减，列代数式，解决本题的关键是熟练运用“实验数”的定义解决问题． 【详解】（1）解：设这个数为m，则： ， 解得 设这个数为n，则： ， 解得 故答案为：， （2）解： ； ， ； ， ， 所以a与b不是关于3的实验数． （3）解： ， ， ， 因为c与d是关于3的实验数， 所以， 所以， 得：． 23.如图，在平面直角坐标系中，已知，点的坐标是    (1)画出，使得与关于点对称； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的对称与旋转作图，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征以及旋转的性质． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征，求出、关于原点对称的点、的坐标，再连接画图； （2）依据旋转的性质，确定、逆时针旋转后的对应点、的位置，进而画出图形． 【详解】（1）解：如图所示：即为所画；    （2）解：如图所示：即为所画；    24.甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的脐橙．甲超市销售方案是：将脐橙按大小分类包装销售，其中大脐橙300千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小脐橙以高于进价的销售．乙超市的销售方案是：不将脐橙按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大小两种脐橙售价的平均数定价，若两超市将脐橙全部销售，其中甲超市获得2040元（其他成本不计）． (1)脐橙进价为每千克多少元？ (2)乙超市获得多少元？并比较哪种销售方式更合算． 【答案】(1)脐橙的进价每千克为6元 (2)乙超市获利元；脐橙的进价每千克为6元 【分析】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据两超市将脐橙全部售完，其中甲超市获利2040元列出方程，解方程时要注意检验． （1）先设脐橙进价为每千克x元，根据两超市将脐橙全部售完，其中甲超市获利2040元列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案； （2）根据（1）求出每个超市脐橙总量，再根据大、小脐橙售价分别为12元和元，求出乙超市获利，再与甲超市获利2040元相比较即可． 【详解】（1）解：设脐橙的进价每千克为元， 则根据题意，得， 解得． 经检验知，是方程的解，且适合题意， 脐橙的进价每千克为6元． （2）由（1）知，脐橙的总量为千克，其中大脐橙每千克12元，小脐橙每千克7.2元， 乙超市获利元． ， 甲超市销售方式更合算． 25.观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … 【初步感知】______；______； 【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； 【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小3：______； 若要求x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式______； 【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（为一次项的系数），且的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【模型应用】某商店销售一种商品，每件进价为20元，当售价为40元时，每天仅能售出20件．若商店作降价促销，发现每降价1元，可多售出2件．当售价为______正整数元时，每天的销售利润最大． 【答案】【初步感知】1， 14 ；【归纳规律】增加3 ；【问题解决】（答案不唯一），；【计算验证】代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k，说明见解析；【模型应用】 【分析】本题考查了代数式的值，整式混合运算，解题关键是根据题意，发现规律． 【初步感知】把代入相应的代数式求值即可； 【归纳规律】从表中观察的值的变化规律可得结果； 【问题解决】根据要求写出符合条件的代数式即可； 【计算验证】分别把和代入代数式，通过计算得出结果． 【模型应用】设售价为x元，根据题意得出每天销售利润化简后根据偶次方的非负性求解即可． 【详解】解：【初步感知】当时，， ， 当时，， ， 故答案为：1，14； 【归纳规律】当时，， 当时，， 当时，， …… 的值的变化规律是：x的值每增加1，的值增加3， 故答案为：增加3； 【问题解决】代数式， 当时，， 当时，， …… 的值每增加1，代数式的值就减小3， 代数式， 当时，， 当时，， ……， 的值每增加1，代数式的值就增加5， 当时，， 代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为， 故答案为：（答案不唯一），； 【计算验证】猜想：代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k， 当时，， 当时，， ， 代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k； 【模型应用】设售价为x元， 根据题意得：每天销售利润 ， ， ∴， 当时，每天销售利润有最大值，最大值为450， 故答案为：． 26.如图，有一副直角三角板如图放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．    (1)在图1中，______； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立； ②如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 【答案】(1) (2)①当旋转时间为或秒时，成立；②当，旋转的时间是秒 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键． （1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）①如图1，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论； ②设旋转的时间为秒，由题知，，根据周角得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）①如图1，此时，成立， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵转速为秒， ∴旋转时间为秒； 如图2，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角板绕点逆时针旋转的角度为， ∵转速为秒， ∴旋转时间为秒， 综上所述，当旋转时间为或秒时，成立； ②设旋转的时间为t秒，由题知，， ∴， ∴ ， 当，即， 解得：， ∴当，旋转的时间是秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $