精品解析：安徽省六安第一中学2025-2026学年高三上学期周末检测数学试题（一）

六安一中2026届高三年级第一学期周末作业 数学试卷（一） 时间：90分钟 满分：100分 一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 的单调递增区间为 B. 的最大值为4 C. 有两个零点 D. 5. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式（其中，为自然对数的底数）的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中，且当时，，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 若关于的方程有3个不同的实数根，则 D. 若对任意都有，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9. 若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______. 10. 已知函数有两个极值点，若，则_____． 11. 已知且，若，则_____________． 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当恒成立时，求实数的取值范围. 13. 已知函数（），且曲线在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）当的极小值为0时，求实数a的值； （3）令，证明：当时， 14. 已知函数为自然对数的底数． （1）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （2）若，试讨论方程在上解的个数； （3）求证：对任意的，，恒有成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2026届高三年级第一学期周末作业 数学试卷（一） 时间：90分钟 满分：100分 一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【详解】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可写出切线方程. 【详解】设， 则， 当时，，， 所以曲线在处的切线方程为. 故选：B. 3. 函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 4. 已知函数，则（ ） A. 的单调递增区间为 B. 的最大值为4 C. 有两个零点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性即可判断AB；结合零点存在性定理及函数的单调性判断C；由，进而结合函数的单调性判断D. 【详解】由，则， 令，得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故A错误； 而，故B错误； 由，且时，， 根据零点存在性定理及函数的单调性可知，只有一个零点，故C错误； 由， 因为函数在上单调递减，且， 所以，故D正确. 故选：D. 5. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意构造函数（），结合已知条件，讨论其单调性，再将不等式转化为的不等式，即可利用单调性求解. 【详解】方法一（通解）：由题意，构造函数（），又， 所以，故函数在上单调递减．由为奇函数， 得，则，所以． 不等式等价于，即，又函数在上单调递减， 所以，故不等式的解集为. 故选：D． 方法二（秒解）：令（【巧构造】对于抽象函数问题，可以先尝试构造常数函数解题，如本题，恰巧常函数满足所有条件）， 则函数满足，且为奇函数，满足题意， 则，即，即，解得， 故不等式的解集为. 故选：D． 6. 关于的不等式（其中，为自然对数的底数）的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中式子变形得关于的等式，构造函数，根据函数的单调性解得不等式解集； 【详解】题中式子变形为. 令，则在定义域上单调递增， 且原不等式等价于. 所以，.即 故选：C. 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求导，利用基本不等式求出，从而得到单调递增，得到，根据函数单调性得到ABD选项，C选项可以举出反例. 【详解】定义域为， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 所以恒成立，所以单调递增， 因为，所以， A选项，因为单调递增，所以，A正确； B选项，因为单调递增，所以，B正确； C选项，，但与大小不确定，例如，， 此时满足，但，此时，C错误； D选项，因为，画出函数图象，如下图： 可知单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 8. 已知函数，其中，且当时，，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 若关于的方程有3个不同的实数根，则 D. 若对任意都有，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，分情况讨论和两种情况即可；对于B选项，结合A选项的结果，对求导后即可求得结果；对于C选项，根据B选项求得的极值结果，分析即可得出答案；对于D选项，求出的表达式，分情况讨论、、三种情况即可． 【详解】对于A，当时，，又因为当时，，所以此时，对恒成立，故， 当时，，同样因为当时，，所以此时， 对恒成立，故， 所以，即，故A正确； 对于B，由选项A可知，对求导， ， 令，即，解得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以为的极小值点，故B正确； 对于C，由选项B可知，为的极大值点，为的极小值点， 又，， 要使方程有个不同的实数根，则，即，也即，因为，解得，故C正确； 对于D，， 则， 由题意可知恒成立， 显然当时，成立， 显然当时，当，，故不恒成立， 所以当时，即恒成立， 所以， 解得或，故D错误。 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9. 若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】因为函数在定义域的子区间上不是单调函数，所以根据题意可知函数的极值点在区间内，列出不等式，即可求解． 【详解】因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-， 由f'（x）=0，得x=1/2． 当x∈（0，1/2）时，f'（x）＜0，当x∈（1/2，+∞）时，f'（x）＞0 据题意，k-1＜1/2＜k+1，又k-1≥0， 解得1≤k＜3/2. 10. 已知函数有两个极值点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用和即可计算求解出两极值点和参数k，进而即可求解. 【详解】依题意，则， 因为，所以， 显然，两式相除得，则，则， 将代入中，解得， 则. 故答案为： 11. 已知且，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，对原方程进行同构，转化为，再利用导数分析函数（）的单调性，求的值，再结合对数的运算法则求解. 【详解】令，则， 若，则，所以不成立， 所以，由，得，且， 由，得，所以，所以， 令，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当恒成立时，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）时，带入得到函数表达式，求导即可得到； （2）分离常数.，对求导求最大值即可 【小问1详解】 当时，， ，令 则，设，解得 当时，单调递增； 当时，单调递减. ， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 【小问2详解】 因为， 所以. 设，则， 设，解得 当时，单调递增； 当时，单调递减. ， 所以实数的取值范围是 13. 已知函数（），且曲线在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）当的极小值为0时，求实数a的值； （3）令，证明：当时， 【答案】（1）0； （2）； （3）由（2）得，令， 函数的定义域为，当时，，而， 则，； 当时，，，则， 令函数，求导得， 函数在上都单调递增，则在上单调递增， 而，则存在使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解. （2）由（1）的结论，利用导数求出极小值，进而求出. （3）由（2）结合已知构造函数，按与分段放缩，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数，求导得，则， 当时，，与直线垂直的切线斜率为0，则； 当时，直线的斜率为，因此，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由，得或，当，即时， 由，得或；由，得， 函数在处取得极小值，不符合题意； 当，即时，恒成立，函数无极值，不符合题意； 当，即时，由，得或；由，得， 则函数在处取得极小值，解得，符合题意， 所以实数a的值为. 【小问3详解】 略 14. 已知函数为自然对数的底数． （1）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （2）若，试讨论方程在上解的个数； （3）求证：对任意的，，恒有成立． 【答案】（1） （2）有且只有一个零点 （3） 由于，即证对，成立， 只需证对恒成立， 由（2）可知，，所以有（当且仅当时取等）① 只需证对恒成立， 令函数，， 则， 当时，，，即在上是增函数， 当时，，，即在上是减函数， 所以在上，，所以． 所以（当且仅当时取等）② 因为①②不能同时取等号，所以对恒成立， 所以对任意的，，恒有成立． 【解析】 【分析】（1）等价转化为有解，求导，然后分离参数，利用最值判断即可； （2）代入，对函数求导，判断函数单调性计算大小可得结果； （3）依题意证对恒成立，构建函数，求导判断即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为函数存在单调递增区间，所以有解． 即有解，所以． 又，所以． 【小问2详解】 由题意，得只需讨论在上的零点个数， 其， 因为，所以，， 所以，故在上单调递减， 而，令，其， 由得，所以在单调递减，由得，所以在单调递增， 故，从而．于是， 而，且函数的图像在上是连续不断的， 因此，函数在上有且只有一个零点． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $