湖南省长沙市长郡教育集团联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋季第二次学情分析 数 学 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25 个小题，考试时量 120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.） 1. 长沙2025体育中考“一分钟仰卧起坐”项目女生满分标准是每三分钟45次.若把47次记为，则应把43次记为（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图形是常见的安全标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7 万元和4.5万元.设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在平行四边形中， ，交于点，那么的值是（ ） A. B. C. D. 7. 在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，过点作交于点.若，则的度数为（ ） A. 95° B. 100° C.105° D.110° 9. 已知一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，连接，过点作交反比例函数的图象于点，连接交反比例函数的图象于点.若为中点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.分解因式：______________. 12. 在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球个数最可能为_____________ . 13. 若，则______. 14.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）.若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为___________. 15. 如图，在中，.若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于______________.（结果含） 16. 王老师在数学活动课上做了一个有趣的游戏：每位学生把自己出生日期中的“月”乘以4，再加上5，然后把所得的结果乘以25，最后加上出生日期中的“日”，得到一个计算结果.只要学生把计算结果报出来，王老师就可以推测出学生的生日.聪明的言言经过思考，也发现了其中的数学奥秘，并能够准确地推测出生日.如果 A 同学报出来的计算结果是1042，那么同学的生日是___________月____________日.（只对一空不得分） 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 计算： 18. 综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房 完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为60°，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为30°.测得的高度为，（，在同一平面内，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高? 19. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，. （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时的取值范围. 20. 为普及前沿科技知识，充分激发青少年对科技创新的浓厚兴趣，某中学于课后服务时段开设了人工智能实践课程，并在学校科技节活动期间举行了“人工智能知识竞赛”活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛.收集数据：现随机抽取了初一年级20名同学的“人工智能知识竞赛”成绩，分数（单位：分）如下：73，93，83，62，81，67，96，88，92，87，76，86，82，86，85，84，82，95，86，89. 等级 成绩（单位：分） 频数/人数 A 4 B 80≤x<90 C D 2 请根据图中信息，解答下列问题： （1）统计表中_____________，___________，并补全频数分布直方图； （2）据上面统计结果估计该校初一年级800人中，有多少人的成绩在80分及以上； （3）已知这20名同学中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人代表学校参加区级竞赛，利用画树状图法或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率. 21.如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点. （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点，若，求证：. 22.“茶颜悦色”是长沙网红奶茶品牌，以其独特的口味和精美的包装吸引无数游客.某门店销售两种口味的奶茶，若购买3 杯口味奶茶和4 杯口味奶茶共需125元；若购买1杯口味奶茶和3杯 口味奶茶共需75元. （1）口味奶茶和口味奶茶分别是多少元一杯? （2）若旅游团队需要购买，两种口味奶茶共30杯，且口味的数量与口味的数量的差不大于7，怎样购买才能使总费用最少?并求出最少费用. 23. 如图，在中，为直径，为半圆的中点，过点作圆的切线，连接并延长，交于点，连接，交于点. （1）求的度数； （2）求证：； （3）若为的中点，连接，圆的半径为2，求 的长. 24. 在关于的函数中，对于实数，当时，函数有最大值记为，最小值记为，满足，则称函数为“3倍函数”. （1）当时，判断下列函数是否为“3倍函数”?如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”； ①（ ）；②（ ）； （2）当时，反比例函数为“3倍函数”，求实数的值； （3）当时，二次函数是“3倍函数”，求正实数的值. 25. 如图，等腰内接于，. （1）如图1，过点作直线. ，求证：是的切线； （2）如图1，为上的动点，平分交于点，，，求的半径与的长； （3）如图2，在（2）的条件下，将的边所在的直线绕点旋转得到，直线与相交于两点，连接.试探究直线在运动的过程中，的值是否会发生变化?若不变，求出定值；若变化，请说明理由. 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B C B C C A C 二、填空题 11. 12. 20 13. 8 14. 15. 16. 9月17日（只对一空不得分） 三、解答题 17. 【解析】原式 18.【解析】依题意，， ∴四边形为矩形， ∴， 设，而， ∴在中，， ∵， ∴在中，， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴. 19.【解析】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得，∴点， 将点的坐标代入一次函数表达式得： ，解得 ∴一次函数的解析式为：. （2）根据函数图象可知，当或时，， ∴的取值范围为或. 20.【解析】（1）， 补全频数分布直方图如下图所示： （2）（人） 答：估计有640人的成绩在80分及以上. （3）画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， ∴抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率为. 21.【解析】（1）证明：∵，交的延长线于点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，点在的延长线上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形， ∴，∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，∴， 又∵， ∴，， ∴. 22.【解析】（1）设口味的奶茶是元一杯，口味的奶茶是元一杯， 由题意得：，解得 答：口味的奶茶是15元一杯，口味的奶茶是20元一杯. （2）设购买口味的奶茶杯，则购买口味的奶茶杯， ∵口味的数量与口味的数量的差不大于7， ∴，解得， 又∵为正整数，∴， 总费用， ∵，随的增大而减小，当时，， 所以购买口味的奶茶18杯，买口味的奶茶12杯才能使总费用最少，最少费用为510元. 23.【解析】（1） 如图1，连接， ∵为半圆的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）证明：∵为的直径，为半圆的中点， ∴，，∴， 由（1）得，∴， ∴， ∵四点共圆，∴， ∵，∴， 在和中， ∴，∴； （3） 如图2，连接，∵圆的半径为2， ∵为的中点，∴， 又，在中，， ∵为半圆的中点，∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四点共圆，∴， ∴，即，∴. 24.【解析】（1）①（×）；②（√） （2）由得：，∴， ①当时，函数在上随增大而增大， 时，；时，； 因为反比例函数为“3倍函数”，则， 即，解得：； ②当时，函数在上无最值，不符合题意； ③当时，函数当时，随增大而减小，且恒大于零， 时，；时，； 因为反比例函数为“3倍函数”，则， 即，解得：， 综上所述：的值为或1； （3）二次函数的对称轴为直线， ①当，即时，函数当时，随增大先减小后增大， 时，； 时，； 因为二次函数为“3倍函数”，则， 即，解得：， 又∵，∴； ②当，即时，函数在上随增大而增大， 时，； 时，； 因为二次函数为“3倍函数”，则， 即，解得：. 综上所述：或. 25. 【解析】（1）证明：如图1，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵为半径，且点在上， ∴是的切线； （2）如图1，设交于点，连接， ∵，∴， ∵在中，， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得， 解得，∴的半径为10， ∵平分，∴， ∵， ∴， ∴； （3）的值不发生变化，其值为40，理由如下： 如图2，连接并延长交于点，连接，过点作于， 则是的直径， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴， 由（2）可和，点到直线的距离为2， 又∵直线绕点旋转得到， ∴点到直线的距离始终等于2， ∴， ∵， ∴， ∴直线在运动的过程中，的值不发生变化，其定值为40. 学科网（北京）股份有限公司 $