广东省佛山市顺德区一中外国语学校、京师励耘学校两校联盟2025-2026学年上学期核心素养展示八年级数学试卷

2025-2026学年广东省佛山市顺德一中外国语学校、京师励耘学校两校联盟八年级（上）核心素养数学试卷（12月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在实数，0，，中，无理数的个数为(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.在下列各组数中，是勾股数的一组是(    ) A. ，， B. 6，8，10 C. ，，1 D. 1，2，3 3.若点关于x轴对称的点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为(    ) A. B. C. D. 6.估算的值应在(    ) A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 7.若m，n为实数，且，则的值是(    ) A. B. 2 C. 1 D. 9 8.如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要(    ) A. 13m B. 17m C. 18m D. 26m 9.如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离单位：与旋转时间单位：之间的关系如图2所示.下列说法错误的是(    ) A. 旋转木马转一圈需要60s B. 当时，小明与入口的距离为42dm C. 小明与入口的距离为38dm时，旋转木马恰好转了80s D. 当时，y随x的增大而增大 10.已知一次函数函数值y随自变量x的增大而减小，且，则函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.比较大小：           12.如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为______. 13.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D，则ED的长为______. 14.已知函数是一次函数，则      . 15.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的.若图2中的…，按此规律继续演化，则的面积为      . 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题6分 计算： ； 17.本小题7分 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为海港，并且点C与直线B上的两点A，B的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． 求的度数； 海港C受台风影响吗？为什么？ 18.本小题8分 在如图所示的平面直角坐标系中， 画出函数的图象； 填空：请写出图象与x轴的交点______，______的坐标，与y轴交点______，______的坐标； 在的条件下，求出的面积. 19.本小题9分 如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别是，， 在图中画出关于y轴对称的，点的坐标为______； 在y轴上取一点P，使点P到点B和点C的距离之和最小，则点P的坐标为______； 如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等不与重合，直接写出所有符合条件的点D坐标为______. 20.本小题9分 课代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算.小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与的大小关系才能解决这个问题.他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”“转化”数学思想作为问题解决的思路，具体如下： 【知识再现】一般地，已知两个正数a和b，如果，那么，反之，如果，那么 【知识应用】______，______，分别计算 ______填“>”“<”“=”“”或“” 又，， ______填“>”“<”“=”“”或“” 【猜想证明】判断与的大小关系，并证明. 【拓展应用】为了更好开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区.将原来面积为10平方米的正方形地块的篱笆收集下来不考虑损耗，这些篱笆______填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”围成两个面积和为10平方米的正方形地块. 21.本小题10分 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费元与骑行时间xmin之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，小明同学求出与x的函数解析式是，请根据相关信息，解答下列问题： 求关于x的函数解析式； 请说明图中函数与图象的交点P表示的实际意义； 如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择______品牌共享电动车更省钱；填“A”或“B” 当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程. 22.本小题12分 在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决. 如图1，在矩形ABCD中，，，点E是CD边上一点，将沿AE折叠，使点D落在BC边上的处，求CE的长； 乐思数学小组的解题思路如下：请补充填写题中空缺部分 解：由折叠可知：≌， ， ，， ______. ______. 在中，设，则， 由勾股定理可得：，即______， 解得______. 如图2，在矩形ABCD中，，，点E是CD边上一动点，将沿AE折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求CE的长； 如图3，在矩形ABCD中，，，点E是直线CD上一动点，将沿AE折叠，当点D的对应点恰好落到AB边的中垂线上时，请直接写出CE的长. 23.本小题14分 【探索发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形.这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用. 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点. 如图2，若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限. ①直接填写：______，______； ②求点E的坐标. 如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结ON，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由. 【拓展应用】 如图4，点M在x轴负半轴上，，将直线向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：实数，0，，中，无理数有，这2个， 故选： 根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，结合所给数据进行判断即可． 本题考查了无理数的定义，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式． 2.【答案】B  【解析】解：满足的三个正整数，称为勾股数， 、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，6，8，10是勾股数，符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，1，2，3不是勾股数，不符合题意， 故选： 根据勾股数的定义解答即可． 本题考查勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：已知点，关于x轴对称的点的坐标：横坐标保持2不变，纵坐标的相反数是1， 对称点的坐标为， 点的横坐标和纵坐标都是正数，符合第一象限的坐标特征； 故选： 先根据轴对称的性质求出点关于x轴对称的点的坐标，再根据横、纵坐标的正负判断所在象限，明确关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变纵坐标变为原来的相反数． 本题考查关于坐标轴对称的两点的坐标之间的关系，判断点所在象限，解题的关键是掌握关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 4.【答案】D  【解析】解：与不能合并，所以A选项不符合题意； B.原式，所以B选项不符合题意； C.原式，所以C选项不符合题意； D.原式，所以D选项符合题意； 故选： 分析： 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为： 故选： 根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案． 此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 6.【答案】D  【解析】解：， ， 即， ， 即， 的值在5到6之间. 故选： 根据无理数的估算方法估算即可得解． 本题考查了无理数的估算，正确得出是解此题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：， ，， 故选： 根据平方和算术平方根的非负性求出m，n的值，再代入计算即可． 本题考查平方与算术平方根的非负性，求代数式的值，解题的关键是掌握非负数的性质． 8.【答案】B  【解析】解：高为5m，坡面长为13m的楼梯， 由勾股定理得：楼梯的水平宽度为：， 地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是 故选： 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：A、图象的每一次循环需要的时间是60s，则旋转木马转一圈需要60s，故该选项不符合题意； B、当时，小明与入口的距离为42dm，故该选项不符合题意； C、当小明与入口的距离为38dm时，旋转木马不一定转了如图所示，故该选项符合题意； D、当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选： 如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离单位：与旋转时间单位：之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是60s，当时，小明与入口的距离为42dm，当时，y随x的增大而增大，即可作答． 本题考查了二次函数的图象性质，函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：一次函数， 函数值y随自变量x的增大而减小， ， 函数图象过第二、四象限． ， ， 函数图象与y轴的交点在x轴上方，即图象经过第一、二、四象限． 故选： 根据一次函数的性质得到，而，则，所以一次函数的图象经过第一、二、四象限． 本题考查了一次函数性质，一次函数、b为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为，熟记一次函数的图象与k、b的关系是解题的关键． 11.【答案】>  【解析】解：，， ， 故答案为： 求出，，再进行比较即可． 本题考查了实数的大小比较，关键是得出， 12.【答案】  【解析】解：点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3， 点P的横坐标是，纵坐标是4， 点P的坐标为 故答案为： 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：如图，连接AD，则， 在中，由勾股定理得： 故答案为： 连接AD，在中，由勾股定理计算即可得出ED的长． 本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：函数是一次函数， 且， 解得 故答案为： 利用一次函数的定义解答即可． 本题考查考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如、b是常数的函数，叫做一次函数是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：，，，， ；；；… 的面积 的面积， 故答案为： 利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得的面积即可得到结论． 本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 16.【答案】解： ；   【解析】根据二次根式的乘法法则进行计算，即可解答； 利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】解：，，， ， 是直角三角形，； 海港C受台风影响， 理由：过点C作， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， 海港C受台风影响．  【解析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； 利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响． 本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 18.【答案】见解析；   1，0，0，；    【解析】当时，；当时，， 一次函数图象过和两点，且一次函数图象为一条直线， 函数图象如图所示： 图象与x轴的交点的坐标，与y轴交点的坐标； 故答案为：1，0，0，； ，， 的面积为 求得一次函数与x轴、y轴的交点坐标，利用两点确定一条直线就可以画出函数图象； 由即可得结论； 根据三角形的面积公式即可求出的面积． 本题考查了一次函数的图象，正确求出一次函数与x轴与y轴的交点是解题的关键． 19.【答案】    或或  【解析】解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为 故答案为： 连接交y轴于点P，连接BP， 此时，为最小值， 即点P到点B和点C的距离之和最小， 点P的坐标为 故答案为： 如图，点，，均满足题意， 点D的坐标为或或 故答案为：或或 根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 连接交y轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 结合全等三角形的判定可确定点D的位置，即可得出答案． 本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． 20.【答案】解：；10；>；>； 证明如下： ，， ， ，， 当且仅当或时，等号成立； 尚不足．   【解析】解：，， 又，， 故答案为：；10；>；>； 见答案； 原正方形的面积为10平方米， 边长为米，篱笆总长为米． 设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米， 小正方形的边长为米和米． ，， 根据的结论可得， 这些篱笆尚不足围成两个面积和为10平方米的正方形地块． 故答案为：尚不足． 依据题意，根据所给算式直接计算进而可以判断得解； 依据题意，可得，，又，故，结合，，进而可以判断得解； 依据题意，由原正方形的面积为10平方米，则边长为米，篱笆总长为米，又设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米，则小正方形的边长为米和米，结合，，故根据的结论可得，，则，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 21.【答案】关于x的函数解析式为  交点P表示骑行20分钟时，A、B两个品牌的共享电动车收费相同，均为8元  A  当x为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元  【解析】解：品牌共享电动车每分钟收费元， 关于x的函数解析式为； 交点P表示骑行20分钟时，A、B两个品牌的共享电动车收费相同，均为8元； 小明骑共享电动车从家到工厂用时分钟， 由图象可知，当时，， 小明选择A品牌共享电动车更省钱， 故答案为：A； 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得舍去或， 当x为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 求出B品牌共享电动车每分钟的收费，再根据“B品牌的收费=每分钟的收费骑行时间”写出关于x的函数解析式即可； 根据一次函数的交点的意义联系实际说明即可； 根据时间=路程速度求出小明骑共享电动车从家到工厂所用的时间，再比较与的大小即可； 根据x的取值范围，将和关于x的函数解析式分别代入，得到关于x的绝对值方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，写出关于x的函数解析式、掌握绝对值方程的解法是解题的关键． 22.【答案】    2   【解析】由折叠可知：≌， ， ，， ， 在中，设，则 由勾股定理可得：，即， 解得， 故答案为：，，2，； 当为直角三角形时，有两种情况： 当点落在矩形内部，时，如图， 在矩形ABCD中，，， ，，， 由折叠的性质得：，，， ， 点A，，C三点共线， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得，即； 当点落在AB边上，时，如图， 此时，， 在矩形ABCD中，， 四边形是矩形， 由折叠的性质得：， 四边形是正方形， ， ； 综上，当为直角三角形时，CE的长为或7； 的长为2或理由如下： 过点作于N，MN交CD于点M， 设，则， 当点E在线段CD上时，如图， 是AB边的中垂线， ，， 由勾股定理可知：， ，， ， ， 解得：，则， ； 当点E在CD延长线上时，如图， 同理，， ， ， 在中，， 即， 解得：， ； 综上所述，CE的长为2或 根据推理过程利用勾股定理填空即可； 当为直角三角形时，分当点落在矩形内部，时，当点落在AB边上，时，两种情况讨论即可； 过点作于N，MN交CD于点M，设，则，分点E在线段CD上；点E在CD延长线上；两种情况讨论即可． 本题属于四边形综合题，主要考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，结合勾股定理列出方程是解答本题的关键． 23.【答案】①2，4； ②点E的坐标为；   当k变化时，的面积是定值；理由如下： 过点N作轴于点M，如图3， 同理：≌， ， ， 变化时，的面积是定值，且定值为8；  或  【解析】①，；理由如下： ，则直线， 令时，， 令时，， ，， 即，， 故答案为：2；4； ②过点E作于点D，如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 点E的坐标为； 当k变化时，的面积是定值；理由如下： 过点N作轴于点M，如图3， 同理：≌， ， ， 变化时，的面积是定值，且定值为8； 点Q的坐标为或；理由如下： 将直线向下平移10个单位，， 平移后的解析式为， ①当P点在x轴的下方时，过点P作轴于H，如图4， 设，， ， 同理可得：≌， ，， ， 解得：， 点； ②当点P在x轴上方时，同理过点P作轴于H，如图5， 同理可得：≌， ，， ， 解得：，， 点， 综上所述，点Q的坐标为或 ①k已知，代入可直接写出解析式，分别令，，即可求解； ②过点E作y轴垂线，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点E坐标； 过点N作y轴垂线，运用全等三角形的性质表示出N点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断； 分两种情况，平移后的解析式为，①当P点在x轴的下方时，过点P作轴于H，由全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可；当点P在x轴上方时，同理过点P作轴于H，同理用全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可求解． 本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $