专题04 勾股定理与实数重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材青岛版

专题04 勾股定理与实数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理及其逆定理 理解并掌握勾股定理的内容及其几何意义；学会应用勾股定理解决实际问题；理解勾股定理的逆定理，并能够运用逆定理判断三角形的类型。 基础必考点，注意答题规范。实际问题常需要做辅助线构造直角三角形。 算术平方根、平方根及立方根 理解算术平方根、平方根和立方根的概念；学会计算一个数的算术平方根、平方根和立方根；了解平方根、立方根在实际问题中的应用。 相关计算是必考内容，常出现在基础解答题。 实数 理解无理数的定义及性质；理解实数的概念及其分类；学会在数轴上表示实数并且能利用数轴比较大小。 常考题型，实数的混合运算会结合其他知识点。 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形中，如果两条直角边长分别为，斜边长为，那么。 2.在我国古代，人们将直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以这个定理在我国被称为“勾股定理”。 3.HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL） 4.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 知识点02 算术平方根 1.算术平方根：如果一个正数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么这个正数x叫作ɑ的算数平方根，记作，读作“根号ɑ”。特别地，规定0的算术平方根是0，即=0。 2.正数有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 知识点03 无理数 1.无理数：无限不循环小数叫作无理数。 2.任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示。 知识点04 平方根 1.平方根：如果一个数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么x叫作ɑ的平方根或二次方根。 2.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 3.开平方：求一个数ɑ（ɑ≥0）的平方根的运算叫作开平方，ɑ叫作被开方数。 知识点05 立方根 1.立方根：如果一个数x的立方等于ɑ，即x3=ɑ,那么x叫作ɑ的立方根或三次方根。 2.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。 3.开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方运算与开立方运算互为逆运算。 4.数ɑ的立方根记作“”，读作“三次根号ɑ”，其中ɑ叫作被开方数，3叫作根指数。 5.一般而言，如果ɑ>0，那么=—。也就是说，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取相反数。 知识点06 实数 1.实数：有理数与无理数统称为实数。 2.无理数是无限不循环小数，所有有理数都可以化作有限小数或无限循环小数。 3.实数的分类： ①按实数的符号分类：正实数、0、负实数。 ②按实数的概念分类：有理数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。 4.每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数，实数与数轴上的点一一对应。 5.与有理数一样，数轴上原点表示0，一般来说，原点右边的点表示正实数，左边的点表示负实数。对于数轴上任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点所表示的实数大。 6.将数的范围从有理数扩充至实数后，相反数、绝对值等有关概念也同样适用，有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内仍然成立。 题型一 弦图背景的几何求解 解｜题｜技｜巧 考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键。正确的做出辅助线构造直角三角形。 答｜题｜模｜板 “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． （1）解：依题意，， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 【典例1】第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【详解】解：（）∵正方形的面积为， 或 ， ∴； （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）； （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 【变式1】勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 题型二 勾股定理逆定理相关求解 答｜题｜模｜板 如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 【详解】（1）证明：点是边的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， 是直角三角形， ． （2）解：点是边的中点，， ， 在中，，，， ， 设，则， ， ， 解之得：． 即：． 【典例1】如图，在四边形中，，，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【详解】（1）解：在中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：． 【变式1】如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴四边形的面积 ． 答：四边形的面积为． 题型三 勾股定理的实际应用 答｜题｜模｜板 某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ （1）解：根据题意可知：，（海里） ∵（海里），（海里）， ∴， ∴， ∴， 故乙船沿北偏西方向航行． （2）解：过点O作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有小时可以接收到信号． 【典例1】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 【变式1】如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？ 【详解】解：设，则， ∵，， ∴和都是直角三角形， ∴，， 又∵，，， ∴， 解得． 答：信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方． 题型四 勾股定理逆定理的应用 答｜题｜模｜板 在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AB的长． （1）解：是从村庄A到河边最近的路，理由如下：     ∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴，即， ∴为从村庄A到河边最近的路； （2）解：设千米， ∵， ∴千米， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴的长为千米． 【典例1】在老旧小区改造工程中，施工队计划为小区内的两栋居民楼铺设燃气管道．如图，点C是小区燃气主管道的位置，点A和点B分别表示1号楼和2号楼的位置．经测量，A，C两处相距150米，B，C两处相距200米，A，B两处相距250米．为了合理规划成本，施工队设计了两种燃气管道铺设方案： 方案一：沿线段铺设2段燃气管道； 方案二：过点C作于点D，沿线段铺设3段燃气管道． (1)试说明：； (2)从节约管道的角度考虑，应选用哪种铺设方案？为什么？ （1）证明：因为A，C两处相距150米，B，C两处相距200米，A，B两处相距250米， 所以，， 所以， 所以为直角三角形，即． （2）解：选用方案一． 理由：方案一所需管道长为（米）． 由（1）知为直角三角形． 由三角形面积公式得， 所以（米）， 所以（米）， 即方案二所需管道长为370米． 因为，所以选用方案一． 【变式1】森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． （1）解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； （2）解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 题型五 实数的混合运算 答｜题｜模｜板 计算：． 解： ． 【典例1】计算： 【详解】解： 【变式1】计算： 【详解】 ． 题型六 整数部分与小数部分 答｜题｜模｜板 阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 【典例1】，，均为实数，且，是的整数部分． (1)______，______，______． (2)求的算术平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的算术平方根为． 【变式1】阅读理解： ，即， ， 的整数部分为1， 的小数部分为． 解决问题： (1)已知是的整数部分，是的小数部分，则_______，_______． (2)已知是的整数部分，是的小数部分． ①求，的值． ②求的平方根． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为3． ∴的小数部分为． 故答案为：, （2）①解：∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为 ∵a是的整数部分，是的小数部分， ∴, ②∴, ∴， ∴的平方根为． 题型七 利用平方根和立方根解方程 答｜题｜模｜板 解方程：． 解：∵， ∴， ∴， 解得：或． 【典例1】根据平方根的定义解方程：． 【详解】解： 根据平方根的定义，， 当时，； 当时，． 综上，方程的解为． 【变式1】求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的平方根是； 故选：C 2．如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据可知，根据正方形，的面积分别为和，可知，，代入求出的长度即为正方形的边长． 【详解】解：如下图所示， ， ， 正方形，的面积分别为和， ，， ， ， ， 正方形的边长是. 故选：D． 3．如图所示，在中，，将沿着翻折，使C点落在边上的点E处．，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是解题的关键． 根据勾股定理求得，根据折叠的性质可得，在中，，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：在中，， ， 因为将沿着翻折，使C点落在边上的点E处， ， ， 在中， 即， 解得：， 故答案为：． 4．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查偶次幂与算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法，熟练掌握偶次幂与算术平方根的非负性是解题的关键；根据非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而得到方程组，解方程组求出x和y的值，再计算的值． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， ∴； 故答案为． 5．已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根与立方根的含义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先根据平方根的定义列出关于的方程，解方程求出，从而求出即可； （）根据立方根的定义列出关于的方程，解方程求出，再估算的大小，求出其整数部分，最后把，，代入进行计算，求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数的两个不同平方根是和， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 6．党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． (1)为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； (2)若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)小路的长度为 (2)改造这片空地共需花费11400元 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的实际应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形，分割法求出四边形的面积，再乘以每平方米的改造费用即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：小路的长度为； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ∴（元）. 答：改造这片空地共需花费11400元． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，根据算术平方根和立方根的性质逐项分析，注意算术平方根的非负性和立方根的符号． 【详解】解：A.，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项错误，不符合题意； C.，，该选项错误，不符合题意； D.，故，该选项正确，符合题意． 故选：D． 2．在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图，二元一次方程组，勾股定理，根据赵爽弦图，将正方形分成4个全等的直角三角形，和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为，那么，然后解方程组，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：将每个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为， 那么， ， 正方形的边长为， 故选：B． 3．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数比较大小，通过比较与4的大小关系，利用平方根的性质进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故； 故答案为： 4．如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画圆弧交，于点，，再以，为圆心，大于长为半径画两弧交于点，射线交于点．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，继而推得，则，再利用勾股定理求出可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题得：平分， ，， ， 在和， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是构造全等三角形解决问题． 5．已知的平方根是，的立方根是2，m是的算术平方根． (1)填空：______，______，______ (2)若 m的整数部分是 x，小数部分是 y，求的值． 【答案】(1) 5，， (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义得出方程组，求出方程组的解，再根据算术平方根求出即可； （2）先估算出的范围，再求出，的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是， ， 解得：，， ， ， 故答案为：，，； （2）， ，的整数部分是，小数部分是， ，， ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，求代数式的值，立方根的定义，算术平方根的定义，解二元一次方程组等知识点，能得出关于，的方程组是解（1）的关键，能估算出的范围是解（2）的关键． 6．如图，在中，，将沿折叠得，点 D在边上． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)直角三角形，理由见详解 (2)15 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及逆定理等知识， （1）首先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后由折叠的性质可得，易知，即可证明结论； （2）由折叠的性质可得，进而可得，设，则，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵将沿折叠得， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）∵将沿折叠得， ∴， ∴， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，立方根，利用夹逼法可得，即得，进而得到，，即得到，再根据立方根的定义即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 又∵，且是两个连续的整数， ∴，， ∴， ∵， ∴的立方根是 故选：． 2．如图，一圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆柱的最短路径问题，运用侧面展开与勾股定理思想，关键是将圆柱侧面展开为长方形，利用对称点转化为线段最短问题，易错点是展开后对应线段的长度计算错误； 思路是将圆柱侧面沿母线展开为长方形，作点关于展开图上边的对称点，连接对称点与，利用勾股定理计算这条线段的长度（即最短路程）． 【详解】 解：如图，将玻璃杯的侧面展开一半，作点关于直线的对称点，连接，则的长即为蚂蚁从玻璃杯外壁处到玻璃杯内壁处的最短路程．过点作交的延长线于点． 由题意，知（），（）． 在中，由勾股定理得（），所以蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为． 故选A． 3．如图，在长方形中，，动点P从点A出发，沿运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为（   ） A．3或5或7 B．4或 C．4或或7 D．4或7 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的数学思想解答问题． 当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论：①，②，然后根据勾股定理求出长，由此即可解题． 【详解】解：当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论： ①当点在上时，， ， ； ， 时，， ②当点在上时，， 同理可得：， ， 时，， 综上可知：当或时，是以为腰的等腰三角形． 故选D． 4．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质，若两个非负式互为相反数，则每个非负式都等于零，由此列出方程组求解． 【详解】解：与互为相反数， ． ，， 且． 即解得 ． 故答案为：9． 5．如图，中，，点D，E分别是的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，线段最值问题，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．可证是的垂直平分线，则，若使最小，即最小，当三点共线时最短，即线段的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，点D是的中点， ， 即是的垂直平分线， 则， 若使最小，即最小，当三点共线时最短，即线段的长； 中，，点E是的中点， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 6．若一个等腰直角三角形的斜边长为，则这个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，利用等腰直角三角形的性质，设直角边长为a，根据勾股定理建立方程，求出，再计算面积即可． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边长为，由勾股定理得， 即，解得． ∴三角形的面积为． 故答案为：81． 7．求下面各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式方程，二次方根、三次方根的计算方法，先化简被开方数，再结合方根的定义和性质求解是解题关键． （1）移项，等式两边同除以8，根据平方根的定义求解即可； （2）移项，等式两边同乘2，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：． （2）解：， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理与实数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理及其逆定理 理解并掌握勾股定理的内容及其几何意义；学会应用勾股定理解决实际问题；理解勾股定理的逆定理，并能够运用逆定理判断三角形的类型。 基础必考点，注意答题规范。实际问题常需要做辅助线构造直角三角形。 算术平方根、平方根及立方根 理解算术平方根、平方根和立方根的概念；学会计算一个数的算术平方根、平方根和立方根；了解平方根、立方根在实际问题中的应用。 相关计算是必考内容，常出现在基础解答题。 实数 理解无理数的定义及性质；理解实数的概念及其分类；学会在数轴上表示实数并且能利用数轴比较大小。 常考题型，实数的混合运算会结合其他知识点。 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形中，如果两条直角边长分别为，斜边长为，那么。 2.在我国古代，人们将直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以这个定理在我国被称为“勾股定理”。 3.HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL） 4.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 知识点02 算术平方根 1.算术平方根：如果一个正数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么这个正数x叫作ɑ的算数平方根，记作，读作“根号ɑ”。特别地，规定0的算术平方根是0，即=0。 2.正数有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 知识点03 无理数 1.无理数：无限不循环小数叫作无理数。 2.任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示。 知识点04 平方根 1.平方根：如果一个数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么x叫作ɑ的平方根或二次方根。 2.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 3.开平方：求一个数ɑ（ɑ≥0）的平方根的运算叫作开平方，ɑ叫作被开方数。 知识点05 立方根 1.立方根：如果一个数x的立方等于ɑ，即x3=ɑ,那么x叫作ɑ的立方根或三次方根。 2.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。 3.开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方运算与开立方运算互为逆运算。 4.数ɑ的立方根记作“”，读作“三次根号ɑ”，其中ɑ叫作被开方数，3叫作根指数。 5.一般而言，如果ɑ>0，那么=—。也就是说，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取相反数。 知识点06 实数 1.实数：有理数与无理数统称为实数。 2.无理数是无限不循环小数，所有有理数都可以化作有限小数或无限循环小数。 3.实数的分类： ①按实数的符号分类：正实数、0、负实数。 ②按实数的概念分类：有理数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。 4.每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数，实数与数轴上的点一一对应。 5.与有理数一样，数轴上原点表示0，一般来说，原点右边的点表示正实数，左边的点表示负实数。对于数轴上任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点所表示的实数大。 6.将数的范围从有理数扩充至实数后，相反数、绝对值等有关概念也同样适用，有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内仍然成立。 题型一 弦图背景的几何求解 解｜题｜技｜巧 考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键。正确的做出辅助线构造直角三角形。 答｜题｜模｜板 “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． （1）解：依题意，， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 【典例1】第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【变式1】勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 题型二 勾股定理逆定理相关求解 答｜题｜模｜板 如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 【详解】（1）证明：点是边的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， 是直角三角形， ． （2）解：点是边的中点，， ， 在中，，，， ， 设，则， ， ， 解之得：． 即：． 【典例1】如图，在四边形中，，，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【变式1】如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 题型三 勾股定理的实际应用 答｜题｜模｜板 某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ （1）解：根据题意可知：，（海里） ∵（海里），（海里）， ∴， ∴， ∴， 故乙船沿北偏西方向航行． （2）解：过点O作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有小时可以接收到信号． 【典例1】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【变式1】如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？ 题型四 勾股定理逆定理的应用 答｜题｜模｜板 在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AB的长． （1）解：是从村庄A到河边最近的路，理由如下：     ∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴，即， ∴为从村庄A到河边最近的路； （2）解：设千米， ∵， ∴千米， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴的长为千米． 【典例1】在老旧小区改造工程中，施工队计划为小区内的两栋居民楼铺设燃气管道．如图，点C是小区燃气主管道的位置，点A和点B分别表示1号楼和2号楼的位置．经测量，A，C两处相距150米，B，C两处相距200米，A，B两处相距250米．为了合理规划成本，施工队设计了两种燃气管道铺设方案： 方案一：沿线段铺设2段燃气管道； 方案二：过点C作于点D，沿线段铺设3段燃气管道． (1)试说明：； (2)从节约管道的角度考虑，应选用哪种铺设方案？为什么？ 【变式1】森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 题型五 实数的混合运算 答｜题｜模｜板 计算：． 解： ． 【典例1】计算： 【变式1】计算： 题型六 整数部分与小数部分 答｜题｜模｜板 阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 【典例1】，，均为实数，且，是的整数部分． (1)______，______，______． (2)求的算术平方根． 【变式1】阅读理解： ，即， ， 的整数部分为1， 的小数部分为． 解决问题： (1)已知是的整数部分，是的小数部分，则_______，_______． (2)已知是的整数部分，是的小数部分． ①求，的值． ②求的平方根． 题型七 利用平方根和立方根解方程 答｜题｜模｜板 解方程：． 解：∵， ∴， ∴， 解得：或． 【典例1】根据平方根的定义解方程：． 【变式1】求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.．的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，，将沿着翻折，使C点落在边上的点E处．，则的长为 ． 4．若，则的值为 ． 5．已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 6．党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． (1)为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； (2)若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 3．比较大小： （填“”、“”或“”）． 4．如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画圆弧交，于点，，再以，为圆心，大于长为半径画两弧交于点，射线交于点．若，，则的值为 ． 5．已知的平方根是，的立方根是2，m是的算术平方根． (1)填空：______，______，______ (2)若 m的整数部分是 x，小数部分是 y，求的值． 6．如图，在中，，将沿折叠得，点 D在边上． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的面积． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形中，，动点P从点A出发，沿运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为（   ） A．3或5或7 B．4或 C．4或或7 D．4或7 4．若与互为相反数，则的值为 ． 5．如图，中，，点D，E分别是的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是 ． 6．若一个等腰直角三角形的斜边长为，则这个三角形的面积为 ． 7．求下面各式中的x的值： (1)； (2)． 8．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $