专题05 一元一次不等式重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材青岛版

该初中数学讲义以表格形式系统梳理一元一次不等式的核心考点、复习目标与考情规律，通过分层知识点（概念、性质、解法、应用等）构建知识框架，清晰呈现不等式性质3的变号规则、应用题等量关系分析等重难点及内在联系。 讲义亮点在于“答题模板+分层练习”设计，如解不等式步骤模板强调性质3变号易错点，培养运算能力；应用题结合实际情境列不等式，发展模型意识。含“定义新运算”“含参不等式组”等创新题型，练习分基础、重难、综合层次，助力不同学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题05 一元一次不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的概念及性质 理解不等式的概念，准确识别不等式；掌握不等式的基本性质；能够利用不等式的性质进行复杂不等式的求解。 常必考点，常出现在小题. 一元一次不等式的定义及解法 掌握一元一次不等式的定义；掌握基本的解一元一次不等式的方法；能够解决简单的一元一次不等式应用题。 不等式的运算是常内容，难度不大，但对运算能力有一定要求，注意乘或除负数时注意变号。 一元一次不等式组的定义及解法 理解一元一次不等式组的定义；掌握一元一次不等式组的解法；掌握使用数轴表示一元一次不等式组的解集；能够解决涉及一元一次不等式组的应用题。 应用题是必考类型，其中难度较大的还有方案问题。找出等量关系列方程解答是关键，还要考察分式方程的解及检验。 知识点01 不等式 1.不等式：用“＞”、“≥”、“＜”或“≤”连接的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式。有些不等式中不含未知数，如“4＞3”. 2.一元一次不等式：不等式的两边都是等式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 3.不等式的解：与方程的解类似，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 4.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。 5.解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。 6.不等式的解和解集的区别和联系：不等式的解是一些具体的值，；不等式的解集是一个范围，不等式的每一个解都在它的解集的范围内。 知识点02 不等式的性质 1.不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 即：若a＞b，那么a±m＞b±m； 2.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； 3.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； 知识点03 一元一次不等式的解法 1.解一元一次不等式，就是根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为x＜a(x≤a)或x＞a(x≥a)的形式。 2.解一元一次不等式的基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1。 注意：以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。 3.解一元一次不等式可以移项，移项后应改变符号。 知识点04 一元一次不等式的应用 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式解决实际问题。 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系。 3.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，设未知数。 ②根据题中的不等关系列出不等式。 ③解不等式，求出解集。 ④写出符合题意的解。 知识点05 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组：一般地，由几个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组。 2.一元一次不等式组的解集：一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集。 3.解不等式组：求不等式组解集的过程叫解不等式组。 4.一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后在同一条数轴上将它们的解集表示出来，利用数轴确定解集的公共部分，最后写出不等式组的解集。 5.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找。 知识点06 列一元一次不等式组解应用题的步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答。 题型一 解一元一次不等式 答｜题｜模｜板 解不等式： 解：， 去括号得， 移项合并得， 解得． 易｜错｜点｜拨 只有去分母和化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。 解一元一次不等式可以移项，移项后应改变符号。 【典例1】解不等式：． 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】．解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 非负整数解为：，，． 【变式2】．解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【详解】由， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把解集在数轴上表示出来为： 则这个不等式的最小整数解为． 题型二 不等式相关定义新运算 答｜题｜模｜板 用※定义一种新运算：对于任意实数 m 和 n，规定，如：． (1)求； (2)若 ，求 m 的取值范围． （1）解：； （2）解：由题意得：， ， 解得． 【典例1】定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解：， ， 解得， 故答案为：． （3）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 【变式1】．对于定义一种新运算“”：，其中为常数，已知：． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【详解】（1）解：， ， ，得：③， ，得：， 解得：， 把代入①，得； （2）， ， ， 解得：． 【变式2】．定义新运算：对于任意实数a，b都有，如：． (1)_______________；（填“>”“<”或“=”） (2)求不等式的正整数解． 【详解】（1）解：∵，， ， ； （2）由题意可得，， 则不等式可转化为：， 解不等式得，， 不等式的正整数解有：1，2，3． 题型三 一元一次不等式应用题 答｜题｜模｜板 成都文旅某集团为让更多人深入了解唐代女诗人薛涛与她的薛涛笺，特采用成都木版水印技艺制作十色笺纸，将其作为文创产品推出售卖．已知购买2张粉红和1张明黄共需165元，购买3张粉红和2张明黄共需270元． (1)求购买一张粉红笺纸和一张明黄笺纸各多少元？ (2)学校计划用不超过10000元购买这两种颜色笺纸共200张，求学校最多能购买多少张粉红笺纸？ （1）设购买一张粉红笺纸需要x元，购买一张明黄笺纸需要y元， 由题意得， 解得， 答：购买一张粉红笺纸需要60元，购买一张明黄笺纸需要45元． （2）设购买粉红笺纸m张，则购买明黄笺纸张， 根据题意得， 解得， ∵m是整数， ∴， ∴最多可购买66张粉红笺纸． 【典例1】敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元． (1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； (2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？ 【详解】（1）解：设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意得： ， 解得：； 答：1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为24、16元． （2）解：设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意得： ， 解得：； 答：该中学最多可以购买89盒A型颜料． 【变式1】．为了丰富同学们的课间活动，学校计划购进一批排球和篮球．若购进排球3个，篮球5个，需420元．若购进排球4个，篮球10个，需760元． (1)求购进一个排球和一个篮球分别需要多少元？ (2)若学校准备用不多于1600元购进排球和篮球共30个，求至少购进多少个排球？ 【详解】（1）解：设购进一个排球x元，购进一个篮球y元． 解得 答：购进一个排球需40元，购进一个篮球需60元． （2）解：设购进a个排球，则由题意得，， 解得， 答：至少购进10个排球 【变式2】．八年级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．若购买该品牌的1支钢笔和5支自动铅笔共需50元；若购买该品牌的3支钢笔和2支自动铅笔共需85元． (1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元， (2)该班级决定购买该品牌的钢笔和自动铅笔共60支，总费用不超过660元，那么最多可购买该品牌的钢笔多少支？ 【详解】（1）解：该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元， 根据题意得， 解得， 答：该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元； （2）解：设该班最多可购买支该品牌的钢笔，则学校需要自动铅笔的支数是个， 根据题意得， 解得：， 答：该班最多可购买支该品牌的钢笔． 题型四 解一元一次不等式组 答｜题｜模｜板 解不等式组：． 解： 由①可得：； 由②可得：； ∴原不等式组的解集为． 易｜错｜点｜拨 找解集时可画数轴找公共部分。 【典例1】解不等式组：． 【详解】解：解不等式，得：； 解不等式，得：； ∴不等式组的解集为：． 【变式1】．解不等式组，并写出它的正整数解 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为，所有正整数解为． 【变式2】．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 【详解】解：解： ， ， ， ； 解： ， ， ， ， ； ∴不等式组的解集为． 数轴表示如下： 题型五 一元一次不等式组含参运算 答｜题｜模｜板 若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 解： 由①，得：． 由②，得：． ∵不等式组只有4个整数解， ∴整数解为7，8，9，10， ∴． 解得 ， ∴a的取值范围是 【典例1】已知不等式组的解集为，求、的值． 解：由，得：， 由得：， 不等式组的解集为， ，， 解得，． 【变式1】．已知关于x的不等式组 的解集为，求a的值． 【详解】解：由不等式组得， ∵不等式组的解集为， ∴． 【变式2】．已知不等式组的解集为，求的值． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为， ，解得， ． 题型二 解一元一次不等式 答｜题｜模｜板 运动会即将来临，八年级某班准备购买彩旗和气球，若购进彩旗100面，气球50个，需要1000元；购进彩旗50面，气球30个，需要550元． (1)求购买一面彩旗和一个气球各需多少元？ (2)若该班准备拿出500元全部用来购买彩旗和气球，考虑实际需求，要求购进彩旗的数量不少于气球数量的6倍，且不超过气球数量的8倍，那么该班共有几种购买方案？ （1）解：设购买一面彩旗需要元，购买一个气球需要元， ∴， 解得，， ∴购买一面彩旗需要元，购买一个气球需要元； （2）解：设购进气球数量为个，购买彩旗的数量为个， ∴， 根据题意，可得， ∴， ∴， 解得，， ∵为正整数， ∴，则； ，则； ，则； ∴该班共有3种购买方案． 【典例1】近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 【变式1】．某厂家销售电阻器、，电阻器每个成本为元、售价为元；电阻器每个成本为元、售价为元． (1)在物理实验中，需要用到、两种不同规格的电阻器，某次采购记录显示，一共采购了、两种电阻器共个，若厂家销售的、两种电阻器的总利润相同，这次采购中、两种电阻器各采购了多少个？ (2)由于后续实验需求变化，计划再次在该厂家购进这两种电阻器共个，由于实验设备对电阻器的需求量不低于电阻器的需求量的，且本次用于购买这两种电阻器的资金不超过元，写出满足条件的购进方案． 【详解】（1）解：设种电阻器采购了个，种电阻器采购了个， 根据题意得：， 解得， 答：种电阻器采购了个，种电阻器采购了个； （2）解：设种电阻器采购了个，种电阻器采购了个， 根据题意得：， 解得， ∵为整数， ∴或， 方案一：种电阻器采购了个，种电阻器采购了个； 方案二：种电阻器采购了个，种电阻器采购了个． 【变式2】．君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同． (1)求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？ (2)君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案？ 【详解】（1）解：设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产件A种产品，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品． （2）解：设青扬公司购买B种产品m件，购买A种产品件，根据题意得： ， 解得：， ∵m取整数， ∴或47或48或49， ∴青扬公司设计购买方案为： 方案一：购买A种产品34件，B种产品46件； 方案二：购买A种产品33件，B种产品47件； 方案三：购买A种产品32件，B种产品48件； 方案四：购买A种产品31件，B种产品49件． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．代数式的值大于1，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了解不等式． 根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， 只有D符合题意． 故选：D． 2．把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式在数轴上的表示，解题关键是熟练掌握不等式在数轴上的表示． 根据符号是“<”或“>”，边界点为空心圆圈；在定方向时，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”，由此即可得． 【详解】解：在数轴上表示为： 故选：C． 3．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 4．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 5．解下列一元一次不等式．并把解集表示在数轴上 (1)； (2)． 【答案】(1)x，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将解集表示在数轴上如图所示： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将解集表示在数轴上如下： 6．为了更好地开展“阳光体育”活动；某校计划购买一批篮球和排球，对学生们加强体能训练．已知一个篮球的单价比一个排球的单价贵15元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个排球． (1)求篮球和排球的单价分别是多少元？ (2)若该校计划购进篮球和排球共35个，其中排球的数量不少于篮球的数量，学校至多能够提供资金1290元，请设计所有可行的购买方案供学校选择． 【答案】(1)篮球的单价为元/个，排球的单价为元/个 (2)可行的购买方案共 种；篮球数量从 到 个，对应排球数量从 到 个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设篮球的单价为元/个，排球的单价为元/个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购进篮球个，则购进排球个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求得非负整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元/个，排球的单价为元/个， 根据题意得 解得：， 答：篮球的单价为元/个，排球的单价为元/个； （2）解：设购进篮球个，则进排球个，根据题意 解得： 所以可行的购买方案共 种；篮球数量从 到 个，对应排球数量从 到 个． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若，则下列不等式的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由得，正确，符合题意； B、由得，原选项错误，不符合题意； C、由得，原选项错误，不符合题意； D、由得，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，列一元一次不等式，找出题目的不等关系是解题的关键．根据题意，获奖条件是得分不低于150分，即总得分 ，总得分由答对得分减去扣分计算，据此列不等式即可． 【详解】设答对x道题，则答错或不答题数为道。 总得分 ， ∵ 得分不低于150分， 故选：A． 3．已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】该题考查了不等式组的解集，由已知不等式组的解集为，可确定参数，再代入第二个不等式组求解解集． 【详解】解：∵不等式组，解集为． ∴，且（即)， 设不等式①的解为，不等式②的解为， 解集为， 因此，解得． 将代入第二个不等式组， 得， 解得：． 故答案为：． 4．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元；商店准备用不超过1625元购进50件这两种商品，则购进A种商品最多 件． 【答案】25 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，列出方程组和不等式是解题关键． 通过已知条件列出二元一次方程组，求解得到A、B两种商品的进价，再根据总费用不超过1625元和总件数为50件列出不等式，求解得到A种商品的最大件数即可． 【详解】解：设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元， 依题意，得：， 解得：． 设购进A种商品m件，则购进B种商品件，依题意得： ， 化简得： 解得： 故购进A种商品最多25件， 故答案为：25． 5．解下列不等式（组）并把解表示在数轴上： (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）以及在数轴上表示不等式（组）的解集： （1）先移项，再合并、系数化1可得到不等式的解集，然后用数轴表示其解集； （2）分别解两个不等式得到和，则利用大小小大中间找得到不等式组的解集，然后用数轴表示其解集． 【详解】（1）解：， ， ， 解得， ∴原不等式的解集为， 将解集表示在数轴上，如图所示： （2）解：， 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上，如图所示： 6．某小区决定在小区内安装垃圾分类的提示牌与垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需要550元，且垃圾箱的单价是提示牌的3倍． (1)提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放47个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有的购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少元． 【答案】(1)提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元 (2)购买方案有：提示牌50个、垃圾箱50个；提示牌51个、垃圾箱49个；提示牌52个、垃圾箱48个；提示牌53个、垃圾箱47个；其中提示牌53个、垃圾箱47个所需资金最少，最少是9700元 【分析】本题考查了二元一次方程（组）与一元一次不等式组的实际应用，灵活根据题意列出二元一次方程是解决本题的关键． （1）通过设未知数，根据“购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，垃圾箱单价是提示牌的3倍”这两个条件，建立二元一次方程组，考查了二元一次方程组的列法与解法． （2）通过设购买垃圾箱的数量，结合“至少需要安放47个垃圾箱”“购买提示牌和垃圾箱共100个”“费用不超过10000元”这些条件，建立一元一次不等式组，求出取值范围后列举购买方案，并通过计算费用比较得出最省钱的方案，考查了一元一次不等式组的列法、解法以及方案选择与费用优化问题． 【详解】（1）解：提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为y元，根据题意得， 解得 检验，方程组的解符合题意． ∴提示牌的单价为50元，垃圾箱的单价为150元． （2）解：设购买垃圾箱x个，则购买提示牌个． 根据题意得：      解得：． ∵x整数， ∴． 方案1：购买垃圾箱47个，提示牌个 方案2：购买垃圾箱48个，提示牌个； 方案3：购买垃圾箱49个，提示牌个； 方案4：购买垃圾箱50个，提示牌个． 设总费用为y元，则费用公式为： 方案1：，元； 方案2：，元； 方案3：，元； 方案4：，元． 综上所述，所有购买方案为上述4种，购买47个垃圾箱和53个提示牌时所需资金最少，最少是9700元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，先解一元一次不等式得出解集，再表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：移项可得， 系数化为1可得， 表示在数轴上如图所示： ， 故选：D． 2．若，则下列式子正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加、减同一个数或乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴（两边乘正数2，不等号方向不变）， ∴（两边加1，不等号方向不变），故A正确，符合题意； B．∵，∴（两边减2，不等号方向不变），故B错误，不符合题意； C．∵，∴（两边乘，不等号方向改变），故C错误，不符合题意； D．取，满足，但，故D不一定正确，不符合题意． 故选A． 3．若关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据解集内恰好有三个整数解，确定参数的范围，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∵恰有三个整数解， ∴ 解得： 故选：B． 4．关于x的不等式的解集为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查根据不等式的解集求参数，通过解不等式得到关于 的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解 即可． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 两边同乘 （不等号方向改变）得 ， 由于解集为 ， 因此 ， 解得 ， ， 故答案为：． 5．某商店为了促销一种定价为5元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过4件，则按原价付款；若一次性购买4件以上，则超过部分按原价的八折付款．如果嘉琪有42元钱，那么她最多可以购买该商品 件． 【答案】9 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先判断能购买的商品是否超过4件，再设她购买了x件该商品，根据总费用不超过42元列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】解：， 嘉琪购买的商品超过了4件， 设她购买了x件该商品，则： ， 解得， x是正整数， x最大取9， 即她最多可以购买该商品9件， 故答案为：9． 6．求不等式组：的所有整数解． 【答案】不等式组的所有整数解为 ，，，． 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握知识点是解题的关键． 求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，找出整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为 ，，，． 7．我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 【答案】(1)3；，0，1 (2) 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）求得不等式组的解，然后根据规定求得d和“整点”； （2）解不等式得，再根据与零的关系，分类讨论，分别根据规定列方程求解． 【详解】（1）解：解不等式组，得， ∴不等式组的“长度”， “整点”为，0，1， 故答案为：3；，0，1； （2）解：解不等式得， 当时，x可以是任意实数， 此时不等式组的解集为，其长度，不符合题意； 当时，即， 则不等式解为：， 又∵，不等式组的“长度”， ∴， 解得：； 当时，即， 则不等式解为：， 此时， ∴不等式组的解集为，其长度，不符合题意； 综上所述：的值为； 8．某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年暑假七、八月份销售情况如下表所示：（两种运动器材的单价保持不变） 月份 销售数量（副） 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 七月 40 20 3200 八月 20 40 2800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校为推进阳光体育大课间活动，计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款运动器材共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍的，问学校有哪些购买方案． 【答案】(1)羽毛球拍的销售单价是60元，乒乓球拍的销售单价是40元 (2)有5种购买方案，分别为：①购进羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购进羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购进羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购进羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购进羽毛球拍40副，乒乓球拍20副 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设羽毛球拍的销售单价是元，乒乓球拍的销售单价是元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购进羽毛球拍的数量为副，列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设羽毛球拍的销售单价是元，乒乓球拍的销售单价是元： ， ， 答：羽毛球拍的销售单价是60元，乒乓球拍的销售单价是40元； （2）解：设购进羽毛球拍的数量为副， 则， ，为正整数， 可取36，37，38，39，40， 共有5种购买方案，分别为：①购进羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购进羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购进羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购进羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购进羽毛球拍40副，乒乓球拍20副． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05一元一次不等式（期末复习讲义〉 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的概念及性质 理解不等式的概念，准确识别不等 常必考点，常出现在小题 式：掌握不等式的基本性质：能够 利用不等式的性质进行复杂不等式 的求解。 一元一次不等式的定 掌握一元一次不等式的定义：掌握 不等式的运算是常内容，难度不大，但对运 基本的解一元一次不等式的方法； 义及解法 算能力有一定要求，注意乘或除负数时注意 能够解决简单的一元一次不等式应 变号。 用题。 一元一次不等式组的 理解一元一次不等式组的定义：掌 应用题是必考类型，其中难度较大的还有方 握一元一次不等式组的解法：掌握 定义及解法 案问题。找出等量关系列方程解答是关键， 使用数轴表示一元一次不等式组的 还要考察分式方程的解及检验。 解集；能够解决涉及一元一次不等 式组的应用题。 记·必备知识 局知识点01不等式 1.不等式：用“>”、“≥”、“<”或“≤”连接的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也 是不等式。有些不等式中不含未知数，如“4>3”. 2.一元一次不等式：不等式的两边都是等式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫作一 元一次不等式。 3.不等式的解：与方程的解类似，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 4.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。 5.解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。 6.不等式的解和解集的区别和联系：不等式的解是一些具体的值，；不等式的解集是一个范围，不等式的每 一个解都在它的解集的范围内。 1/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 受知识点2不等式的性质 1.不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 即：若a>b,那么a士m>b士m; 2.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 a b 即：若a>b,且m>0,那么am>bm或m>: 3.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 a b 即：若a>b,且m<0,那么am<bm或m<m; 局知识点3一元一次不等式的解法 1.解一元一次不等式，就是根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为x<a(x≤a)或x>a(x≥a)的形式。 2.解一元一次不等式的基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1。 注意：以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变 不等号方向。 3.解一元一次不等式可以移项，移项后应改变符号。 局知识点04一元一次不等式的应用 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式解决实际问题。 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系。 3.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，设未知数。 ②根据题中的不等关系列出不等式。 ③解不等式，求出解集。 ④写出符合题意的解。 局知识点05 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组：一般地，由几个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一 次不等式组。 2.一元一次不等式组的解集：一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元 一次不等式组的解集。 3.解不等式组：求不等式组解集的过程叫解不等式组。 2/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后在同 一条数轴上将它们的解集表示出来，利用数轴确定解集的公共部分，最后写出不等式组的解集。 5.解集的规律：同大取大：同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找。 图知识点06 列一元一次不等式组解应用题的步骤： (1)分析题意，找出不等关系； (2)设未知数，列出不等式组： (3)解不等式组： (4)从不等式组解集中找出符合题意的答案； (5)作答。 破·重难题型 它题型一 解一元一次不等式 答题模|板 解不等式：4x+5≤2(x+1 解：4x+5≤2(x+1), 去括号得4x+5≤2x+2, 移项合并得2x≤-3， 架程5 易|错|点拨 只有去分母和化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。 解一元一次不等式可以移项，移项后应改变符号。 【典例1】解不等式：4(x+5)>32x+1. 2x-1≥3x-2-1 【变式1】.解不等式32，并写出此不等式的非负整数解 -3r+2-2<+5 【变式2】.解不等式2 3，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解。 3/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二不等式相关定义新运算 答引题|模1板 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n,规定m※n=m2n-m×n,如：1※2=12×2日12=0. (1)求(-2※3： (2)若3※m≥口6，求m的取值范围. (1)解：（-2※3=(-2)2×3-(-2)×3=18： (2)解：由题意得：9m-3m≥-6， 6m2-6, 解得m≥-1. 【典例1】定义一种新运算“a⑧b”:当a≥b时，a⑧b=a+2b;当a<b时，a⑧b=a-2b.例如： 3⑧(-4)=3+(-8)=-5，（-6)⑧12=-6-24=-30 (1)填空：（-3)⑧1=. (2)若3x-5)⑧(4+x)=(3x-5+2(4+x,则x的取值范围是 (3)已知(3x+7)⑧(-4x)>1,求x的取值范围. 【变式1】.对于x,y定义一种新运算“⊙”：x⊙y=ax-by,其中a,b为常数，已知：201=2a-b =3,403=4a-3b=1. (1)求a,b的值： 2求不等式0m生≤3的解集。 4 【变式2】.定义新运算：对于任意实数a,b都有a⊕b=aa-b)+1,如：2⊕5=2×2-5+1=-5. (1)2⊕3 3⊕2；（填“>”"<"或=”) (2)求不等式4©x≥2的正整数解， 题型三一元一次不等式应用题 4/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答|题|模|板 成都文旅某集团为让更多人深入了解唐代女诗人薛涛与她的薛涛笺，特采用成都木版水印技艺制作十 色笺纸，将其作为文创产品推出售卖.已知购买2张粉红和1张明黄共需165元，购买3张粉红和2 张明黄共需270元. (1)求购买一张粉红笺纸和一张明黄笺纸各多少元？ (2)学校计划用不超过10000元购买这两种颜色笺纸共200张，求学校最多能购买多少张粉红笺纸？ (1)设购买一张粉红笺纸需要×元，购买一张明黄笺纸需要y元， 2x+y=165 由题意得 3x+2y=270' x=60 解得 y=45 答：购买一张粉红笺纸需要60元，购买一张明黄笺纸需要45元. (2)设购买粉红笺纸m张，则购买明黄笺纸(200-m)张， 根据题意得60m+45(200-m)≤10000， 解得m≤200 , :m是整数， ! .m=66, 最多可购买66张粉红笺纸， 【典例1】敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料.购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用 56元.购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元 (1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元： (2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买 多少盒A型颜料？ 【变式1】.为了丰富同学们的课间活动，学校计划购进一批排球和篮球.若购进排球3个，篮球5个，需 420元.若购进排球4个，篮球10个，需760元. (1)求购进一个排球和一个篮球分别需要多少元？ (2)若学校准备用不多于1600元购进排球和篮球共30个，求至少购进多少个排球？ 【变式2】.八年级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔.若购买该品牌 5/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的1支钢笔和5支自动铅笔共需50元；若购买该品牌的3支钢笔和2支自动铅笔共需85元. (1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元， (2)该班级决定购买该品牌的钢笔和自动铅笔共60支，总费用不超过660元，那么最多可购买该品牌的钢笔 多少支？ 巴题型四 解一元一次不等式组 ! 答题模|板 2(x+5<5x-1 解不等式组： 2x3x-1≤1 34 [2(x+5)<5x-1① 解： 2x3x-1≤1② 3 4 由①可得：x>3 1 由②可得：x≥-9； “原不等式组的解集为> 3 易|错|点引拨 找解集时可画数轴找公共部分。 2x+4<0 【典例1】解不等式组： 1-2x>0 [3x<5x+6 【变式1】.解不等式组x+1、x-1,并写出它的正整数解 6 2 T3x-2≤x-1 【变式2】.解不等式组： 1+2x、x-1,并将其解集在数轴上表示出来。 3 2 它题型五 一元一次不等式组含参运算 答|题|模|板 x+5 >x-3 若关于x的不等式组 2 只有4个整数解，求a的取值范围. 2x+2 <x+a 3 6/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+5 >x-3① 解： 2 2x+2 <x+a② 3 ! 由①，得：x<11. 由②，得：x>2-3a. 不等式组只有4个整数解， 整数解为7,8,9,10， .6≤2-3a<7. 解得 4 <a≤ 3 3 ∴a的取值范围是 、 5 <a≤- 3 3 3x-2<a+1 【典例1】已知不等式组 的解集为-1<x<2,求a、b的值. 6-2x<b+2 【变式1】.已知关于x的不等式组 x-a>0 2x-1≤5 的解集为1<x≤3，求a的值. 2x+9>3k-1 【变式2】.已知不等式组 x+h<-2 的解集为-1<x<3,求3k+h的值. 亚题型二解一元一次不等式 答题模|板 :运动会即将来临，八年级某班准备购买彩旗和气球，若购进彩旗100面，气球50个，需要1000元： 购进彩旗50面，气球30个，需要550元. (1)求购买一面彩旗和一个气球各需多少元？ (2)若该班准备拿出500元全部用来购买彩旗和气球，考虑实际需求，要求购进彩旗的数量不少于气球 数量的6倍，且不超过气球数量的8倍，那么该班共有几种购买方案？ (1)解：设购买一面彩旗需要x元，购买一个气球需要y元， 100x+50y=1000 50x+30y=550 7/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x=5 解得， y=10 “购买一面彩旗需要5元，购买一个气球需要10元； (2)解：设购进气球数量为a个，购买彩旗的数量为b个， .6a≤b≤8a, 根据题意，可得10a+5b=500, b= 500-10a :6as500-10 ≤8a, 25 解得，10≤a≤ 2 :a,b为正整数， .a=10,则b 500-10a=80: 5 a=11,则b 500-10a=78: 5 500-10a ! a=12,则b= =76; 5 该班共有3种购买方案. 【典例1】近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日 常生活.某公司计划采购A,B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采 购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元， (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)}一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A,B两种机器人共50个，且A种机器人的 数量不超过B种机器人数量的3倍.该公司最多可以采购B种机器人多少个？ 【变式1】.某厂家销售电阻器A、B,电阻器A每个成本为35元、售价为42元：电阻器B每个成本为42元、 售价为52.5元 (1)在物理实验中，需要用到A、B两种不同规格的电阻器，某次采购记录显示，一共采购了A、B两种电 阻器共20个，若厂家销售的A、B两种电阻器的总利润相同，这次采购中A、B两种电阻器各采购了多少 个？ (2)由于后续实验需求变化，计划再次在该厂家购进这两种电阻器共30个，由于实验设备对电阻器B的需求 量不低于电阻器A的需求量的70%，且本次用于购买这两种电阻器的资金不超过1407元，写出满足条件的 8/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 购进方案 【变式2】.君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B 种产品，两车间同时生产，甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天 生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同. (1)求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？ (2)君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元.现青扬公司需一 次性购买A、B两种产品共80件，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过 15080元.请你通过计算为青扬公司设计购买方案？ 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.代数式-2+m的值大于1，则m的值可以是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.把不等式x>2的解集表示在数轴上，正确的是（) A. -1 012 B.- -1 0 C. D.- -1012 -101 3.若关于x,y的方程组 x+2y=3k-1 2x+y=7 的解满足0<x+y<4,则k的取值范围是 4,若关于x的方程3++m=2的解为负数，则m的取值范围是】 x-11-x 5.解下列一元一次不等式.并把解集表示在数轴上 (1)4x+1>2x-1: 2)2+≤1+2x+1. 2 3 6.为了更好地开展“阳光体育”活动；某校计划购买一批篮球和排球，对学生们加强体能训练，已知一个篮 9/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 球的单价比一个排球的单价贵15元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个排球. (1)求篮球和排球的单价分别是多少元？ (2)若该校计划购进篮球和排球共35个，其中排球的数量不少于篮球的数量，学校至多能够提供资金1290 元，请设计所有可行的购买方案供学校选择。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若a<b,则下列不等式的变形正确的是() A.-2a>-2b C.a+2>b+2 D.a-2>b-2 2.某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分.若得分不低于150分的均 可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有() A.10x-520-x≥150 B.10x-520-x≤150 C.10x-520-x>150 D.10x-520-x)<150 3a.x≥1 3ax≤1 3.已知关于x的不等式组 (2a-1)x>2的解集是x>2,则关于x的不等式组 (2a-1)x<2的解集 是 4.某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和 B种商品8件需440元；商店准备用不超过1625元购进50件这两种商品，则购进A种商品最多件， 5.解下列不等式（组）并把解表示在数轴上： (1)5x-6>x-2 -3-2-10123 4x+8>3x+7 (23x+122x-1 2 3210123→ 6.某小区决定在小区内安装垃圾分类的提示牌与垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需要550元， 且垃圾箱的单价是提示牌的3倍。 (1)提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放47个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列 10/12