专题04 图形的轴对称重点复习:必备知识+重难题型+分层验收（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材青岛版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04图形的轴对称（期中复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 图形的轴对称 作已知图形的对称轴和作轴对称图 基础必考点，常出现在解答题基础题，以作 形，熟练掌握最短路径问题 图题为主。 垂直平分线和角平分 熟练运用垂直平分线和角平分线的 性质的运用是必考内容，一般不单独考查， 线 性质，并用性质进行几何证明。 但在较难解答题中有频繁的应用，需熟练掌 握。 等腰三角形 等腰三角形的性质特别是三线合一 常考题型，注意等边三角形的判定方法很多， 的运用，等边三角形的判定。 需要灵活选用。 记·必备知识 国知识点01图形的轴对称 (1)轴对称：把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它全等的图形，图形的这种变化叫作轴对 称，这条直线叫作对称轴。 (2)两个图形成轴对称：一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形重合，那么称 这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫作对应点，如果两个点关于一条直线成轴对称，那么其中 一个点叫作另一个点关于这条直线的对称点。 (3)轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 (4)轴对称图形：一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这 样的图形叫作轴对称图形。 (5)轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 B CNC B 区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图 (1)轴对称是指两个图形的 1/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形，只对一个图形而言； 位置关系，必须涉及两个图形： (2)对称轴不一定只有一条 (2)只有一条对称轴 (1)沿对称轴对折，两部分重合； 联系 (2)把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称；把成轴对 称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 昼知识点02线段垂直平分线 (1)定义：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 (2)性质定理：线段垂直平分线上的点到线段的两端距离相等。 (3)判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 图知识点3角平分线 (1)性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 (2)判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 昼知识点04等腰三角形 (1)等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） (2)等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合。（简写成 “三线合一”) (3)顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。 (4)等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写为“等角对等边”）。 属知识点05等边三角形 (1)等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 (2)等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 (3)等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 (4)在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 破·重难题型 2/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一 作轴对称图形 答|题模板 如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别是A1,2),B(5,5),C(7,2). 5 4 3 2 3211 012345678x (1)画出ABC关于x轴对称的△AB,C,并写出△AB,C三个顶点的坐标（其中点A与点A,点B与点B分 别是对应点)； (2)若点D(3,5),画出△ACD,判断△ACD与△CAB是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明 理由. 解：如图所示，△ABC即为所画， 3 012345678 B 由图可得：A(1,-2,B(5,-5),C(7,-2): (2)解：如图所示，△ACD为所画， △ACD与△CAB成轴对称，直线I即为所画 3/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】如图，在正方形网格中，点A,B,C在小正方形的顶点上。 (1)在图中画出与ABC关于直线1成轴对称的△A'B'C'; (2)连接CC',直线1与线段CC的关系是-； (3)在直线1上确定一点P,使得PB+PC最短（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】如图，在正方形网格中，ABC的顶点均在正方形网格格点上，用无刻度的直尺完成下列作图： B (1)在网格线中画出以BC为一边且与ABC全等（不与ABC重合）的△DBC; (2)在直线1上找一点P,使△PAC的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）. 【变式2】如图，在9×6的正方形网格中，A,B,C为小正方形的顶点，MN为网格线所在直线，请用无 刻度的直尺完成下列作图. (1)作ABC关于直线MN对称的三角形； (2)作CD⊥AB交AB于点E,且CD=AB; (3)作CE关于MN对称的线段. 4/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二 最短路径问题 答|题模板 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去 拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧 的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从 此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今，大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题. B A. 解：如下图，作B关于直线I的对称点B,连接AB'与直线I交于点C,点C就是所求的位置 B 证明：如下图，在直线l上另取任一点C,连接AC',BC',B'C', B :直线1是点B,B的对称轴，点C,C在I上， :CB=CB',C'B=C'B', .AC+CB=AC+B'C=AB' 在△ACB'中，：AB'<AC'+CB', .AC+CB<AC'+CB',即AC+CB最小. 易|错|点|拨 将军饮马模型是最短路径问题中的常见模型，利用作图解决方便快捷。变式模型较多，需逐一掌握。 【典例1】笔直的河岸1旁有A,B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再 5/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接一批货物，然后一起运到B货场. A。 ① @ (1)如图①，当A,B货场在河岸1两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸1的什么位置？请在图 ①中作图，并说明理由、 (2)如图②，当A,B货场在河岸1同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸1的什么位置？请在图 ②中作图，并说明理由. 【变式1】如图A,B两城镇在河流的异侧，架一座桥EF连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短， 架桥点选在何处，请在图中画出， ●A ●B 【变式2】【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中 隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题.如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸1上点C饮 马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ B 图1 图肉2 图3 图4 (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线1的对称点B,连接AB'与直线1（即河岸）交于点C, 点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容 如图3，在直线1上任意找与点C不重合的一点C,连接AC',BC',B'C' 6/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC中，AC'+B'C'>AB'() :点B与点B关于直线I对称，·直线I垂直平分BB' .BC=,BC'=B'C'() :AB'=B'C ACAC+BC,AC'+B'C'>AB' .AC'+BC'>AC BC. (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到点P处， 试分别在OA和OB上各找一点E、F，使得将军走过的路程最短.（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路 径用实线) 题型三垂直平分线相关解答题 答|题模板 如图，ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE B D E (1)求证：AB=EC; (2)若ABC的周长为20cm,AC=9cm,求DC长. (1)证明：EF垂直平分AC, :AE EC, 'AD⊥BC,BD=DE, ·AD垂直平分BE, :AB=AE, :AB=EC; (2)解：：△ABC的周长为20cm, :.AB+BC+AC=20, AC =9cm :AB+BC 11cm, 7/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=EC,BD=DE, ∴DC=DE+EC=号BE+EC+LEC 1 2 1 =BC+AB -0+C =5.5cm. 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，BD=BC,ED⊥AB于点D,CD交 BE于点F,求证：BE垂直平分CD 【变式1】如图，AD为ABC的角平分线，点E、F分别在AB、AC上，且∠AED=LAFD,连接EF交 AD于点O.求证：AD垂直平分EF. A B D 【变式2】如图，在ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,边AC的垂直平分线分别 交AC,BC于点N,E,MD,NE的延长线交于点O M B (1)若BC=12,求ADE的周长. 8/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由. 题型四角平分线相关解答题 答|题模板 如图，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,AD平分∠BAC,求证：LABD+LC=180° B 证明：：DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC, DE=DF,∠DEB=LDFC=90°， :在Rt△DEB和Rt△DFC中， DB=DC DE=DF RteDEB≌Rt&DFC(HL), .∠EBD=LC, ∠ABD+LEBD=I80°， LABD+∠C=180° 【典例1】如图，在ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于点E,点F在AC上，BD=DF. B (1)求证：CF=EB; 9/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=16,AF=8,求CF的长. 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠ABC+LADC=180°，CE⊥AB· D E B (1)求证：BC=CD. (2)若AE=7,BC=4,求四边形ABCD的周长. 【变式2】如图，己知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.求证： E B (1)DF=BE; (2)若AB=10,AD=8,求AE的长， 题型五三线合一相关解答趣 答|题模板 如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC,求证：AD是∠BAC的角平分线和底边BC上的中线. B D 证明：：AD1BC, ZADB=ZADC=900 10/21命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04图形的轴对称（期中复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 图形的轴对称 作已知图形的对称轴和作轴对称图 基础必考点，常出现在解答题基础题，以作 形，熟练掌握最短路径问题 图题为主。 垂直平分线和角平分 熟练运用垂直平分线和角平分线的 性质的运用是必考内容，一般不单独考查， 线 性质，并用性质进行几何证明。 但在较难解答题中有频繁的应用，需熟练掌 握。 等腰三角形 等腰三角形的性质特别是三线合一 常考题型，注意等边三角形的判定方法很多， 的运用，等边三角形的判定。 需要灵活选用。 记·必备知识 国知识点01图形的轴对称 (1)轴对称：把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它全等的图形，图形的这种变化叫作轴对 称，这条直线叫作对称轴。 (2)两个图形成轴对称：一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形重合，那么称 这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫作对应点，如果两个点关于一条直线成轴对称，那么其中 一个点叫作另一个点关于这条直线的对称点。 (3)轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 (4)轴对称图形：一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这 样的图形叫作轴对称图形。 (5)轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 B D B CNC B 区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图 (1)轴对称是指两个图形的 1/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形，只对一个图形而言； 位置关系，必须涉及两个图形： (2)对称轴不一定只有一条 (2)只有一条对称轴 (1)沿对称轴对折，两部分重合； 联系 (2)把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称；把成轴对 称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 昼知识点02线段垂直平分线 (1)定义：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 (2)性质定理：线段垂直平分线上的点到线段的两端距离相等。 (3)判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 图知识点3角平分线 (1)性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 (2)判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 昼知识点04等腰三角形 (1)等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） (2)等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合。（简写成 “三线合一”) (3)顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。 (4)等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写为“等角对等边”）。 属知识点05等边三角形 (1)等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 (2)等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 (3)等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 (4)在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 破·重难题型 2/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一 作轴对称图形 答|题模板 如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别是A1,2),B(5,5),C(7,2). 5 4 3 2 3211 012345678x (1)画出ABC关于x轴对称的△AB,C,并写出△AB,C三个顶点的坐标（其中点A与点A,点B与点B分 别是对应点)； (2)若点D(3,5),画出△ACD,判断△ACD与△CAB是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明 理由. 解：如图所示，△ABC即为所画， 3 012345678 B 由图可得：A(1,-2,B(5,-5),C(7,-2): (2)解：如图所示，△ACD为所画， △ACD与△CAB成轴对称，直线I即为所画 3/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】如图，在正方形网格中，点A,B,C在小正方形的顶点上。 (1)在图中画出与ABC关于直线1成轴对称的aA'B'C'; (2)连接CC',直线1与线段CC的关系是-： (3)在直线1上确定一点P,使得PB+PC最短（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析： (2)垂直平分： 3)见解析. 【详解】(1)如图所示，△A'B'C'即为所求； (2)线段CC'被直线1垂直平分. 故答案为：垂直平分； (3)连接BC'交直线I于点P,则点P即为所求点， 理由：：点C关于直线1的对称点C, .PC=PC', ∴PB+PC=PB+PC'=BC', 此时PB+PC最短 【变式1】如图，在正方形网格中，ABC的顶点均在正方形网格格点上.用无刻度的直尺完成下列作图： 4/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)在网格线中画出以BC为一边且与ABC全等（不与ABC重合）的△DBC: (2)在直线1上找一点P,使△PAC的周长最小（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：如图，以BC为一边且与ABC全等（不与ABC重合）的△DBC即为所求： (2)解：作A关于直线l的对称点，连接CA,与直线1于点P, 此时AP=A'P,利用“两点之间线段最短”得出△PAC的周长最小，点P即为所求. 【变式2】如图，在9×6的正方形网格中，A,B,C为小正方形的顶点，MN为网格线所在直线，请用无 刻度的直尺完成下列作图. (1)作ABC关于直线MN对称的三角形； (2)作CD⊥AB交AB于点E,且CD=AB; (3)作CE关于MN对称的线段. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 5/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)见解析 【详解】(1)解：如图所示， B 入B △A,BC,即为所求； (2)解：如图所示， M RDP B 在格点上取点P,连接AP,BP,根据格点可知，AP⊥BP,得到Rt△ABP,AP=6,BP=3,∠APB=90°， 在格点上取点Q,连接CQ,得CQ=3,取格点R,连接CR,QR,交AB于点E,得QR=6,∠CQR=90°， △CQR是直角三角形， Rt△ABP≌RtARCO(SAS), .∠CRQ=∠BAP,CR=AB :∠BAP+∠ABP=90° ∴∠CRQ+∠ABP=90°，即CR⊥AB, 点R即为所求点D的位置，且CD=AB; (3)解：如图所示， M D 6/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴C,E,即为所求 它题型二 最短路径问题 答|题模|板 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去 拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧 的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从 此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题 B A· 解：如下图，作B关于直线I的对称点B,连接AB'与直线I交于点C,点C就是所求的位置， B B 证明：如下图，在直线l上另取任一点C,连接AC',BC',B'C', B :直线1是点B,B的对称轴，点C,C在I上， .CB=CB',C'B C'B', .AC+CB=AC+B'C=AB' 在△ACB'中，：AB′<AC'+CB', AC+CB<AC'+CB′，即AC+CB最小. 易|错点拨 7/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将军饮马模型是最短路径问题中的常见模型，利用作图解决方便快捷。变式模型较多，需逐一掌握。 【典例1】笔直的河岸1旁有A,B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再 接一批货物，然后一起运到B货场， A ① ② (1)如图①，当A,B货场在河岸1两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸1的什么位置？请在图 ①中作图，并说明理由， (2)如图②，当A,B货场在河岸1同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸1的什么位置？请在图 ②中作图，并说明理由 【答案】(1)当点M选在线段AB与河岸I的交点时，作图见解析 (2)当点M选在线段A'B与河岸1的交点时，作图见解析 【详解】(1)解：如图，连接AB交河岸I于点M,点M即为所求； 理由：两点之间线段最短，所以点M为所选的位置。 答：当点M选在线段AB与河岸1的交点时，此时运输总路程最短。 (2)如图，作点A关于直线1的对称点，连接AB交直线I于点M,点M即为所求。 理由：：点A与点A关于直线1对称， ·MA=MA'. ∴.MA+MB=MA'+MB. 即：MA+MB=A'B 由两点之间线段最短， :点M为所选择的位置。 8/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 答：M选在线段A'B与河岸I的交点时，运输总路程最短。 【变式1】如图A,B两城镇在河流的异侧，架一座桥EF连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短， 架桥点选在何处，请在图中画出. ●A ●B 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，EF即为所作 A C B 【变式2】【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中 隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题.如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸1上点C饮 马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ B 图1 图2 图3 图4 9/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线1的对称点B,连接AB与直线1（即河岸）交于点C, 点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容 如图3，在直线1上任意找与点C不重合的一点C,连接AC',BC',B'C'. 在△ABC中，AC'+B'C'>AB'() :点B与点B关于直线I对称，：直线I垂直平分BB' BC=—,BC'=B'C'(—) .AB'=B'C AC=AC BC ,AC'+B'C'>AB .AC'+BC'>AC BC. (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到点P处， 试分别在OA和OB上各找一点E、F,使得将军走过的路程最短.（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路 径用实线) 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边，B'C,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等 (2)见解析 【详解】(1)解：如图3，在直线1上任意找与点C不重合的一点C,连接AC',BC',B'C'. 在△AB'C'中，AC'+B'C'>AB”(三角形任意两边之和大于第三边) :点B与点B关于直线I对称， 直线I垂直平分BB1 :BC=B'C,BC'=B'C'(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等) .AB'=B'C+AC=AC+BC AC'+B'C'>AB' .AC'+BC'>AC BC 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边； B'C；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； (2)如图所示，分别作点P关于OA,OB的对称点C、D,连接CD分别交OA,OB于E、F,则路线 PE,EF,PF即为所求. CE=PE,DF=PF ,PE +EF PF CE EF D F 根据两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF即为所求。 10/50