专题03 等腰三角形重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材青岛版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03等腰三角形（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 等腰三角形 等腰三角形的性质特别是三线合一 常考题型，注意等边三角形的判定方法很多， 的运用，等边三角形的判定。 需要灵活选用。 记·必备知识 屋知识点01 等腰三角形 (1)等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） (2)等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合。（简写成 “三线合一”) (3)顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。 (4)等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写为“等角对等边”）。 昼知识点2等边三角形 (1)等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 (2)等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 (3)等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 (4)在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 破·重难题型 巴题型一三线合一 答|题|模|板 1.如图，ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，点D是BC的中点，E是AB上一点，满足BE=CD, 求∠ADE的度数： 1/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解：：AB=AC,∠BAC=80°， 2B=2C-180-2B4C-×180-809=50, :点D是BC的中点，AB=AC, ;∴BD=CD,AD⊥BC, :BE =CD, :BE BD, I.∠BDE=∠BED, :∠B=50°， :∠BDE=180°-∠B)=x180°-509=65°， 故∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-65°=25°， 【典例1】如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,且AC的垂直平分线分别交AD,AC于O, M两点，连接CO并延长交AB于点E. M B D (1)求证：BD=CD; (2)求证：∠BAC=2LACE; (3)若CE=BC,求∠BAC的度数. 【详解】(1)证明：AB=AC,AD⊥BC于点D, :BD=CD 2/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)0M垂直平分AC, 0A=0C, .∠OAC=LACE :AB=AC,AD⊥BC于点D, ·∠0AB=∠OAC=1∠BAC, 2 ∠BAC=2LACE; (3)解：设∠ACE=x,则∠BAC=2x∠OAB=x, :CE=BC, ∠B=∠BEC. :∠BEC=∠BAC+∠ACE, ∠B=LBEC=3x. 在Rt△ABD中，有∠B+∠0AB=3x+x=90°，即4x=90°， 解得x=22.5°. LBAC=2x=45°， 所以∠BAC的度数为45°. 【变式I】,如图，在ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E ,过点E作EF∥BC交AB于点F. D (1)若∠C=36°，求∠BAD的度数； (2)求证：FB=FE. 【详解】(1)解：：AB=AC, LC=∠ABC, ∠C=36°， ∠ABC=36°， :AB=AC,D是BC边上的中点， AD⊥BC, ∠ADB=90°， 3/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠BAD=90°-36°=54°： (2)证明：BE平分∠ABC, ∴，∠FBE=∠CBE= 1∠ABC, :EF∥BC, .∠CBE=∠FEB, :ZFBE ZFEB, :FB=FE 【变式2】.如图，在ABC中，AB=AC,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F D (1)试说明：DE=DF; (2)若∠BDE=40°，求∠BAC的度数. 【详解】(1)证明：连接AD, E AB=AC,D是BC的中点， B D AD平分∠BAC, :DE⊥AB,DF⊥AC, :DE DF 2)解：：DE⊥AB, ∠BED=90°， ∠BDE=40°， ∠B=50°， AB=AC, ∠C=∠B=50°， ∠BAC=180°-50°-50°=80°. 4/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二 等腰三角形的判定 答|题模板 如图，在ABC中，AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF,BD=CE· B E (1)求证：ADEF是等腰三角形. (2)当∠A=40°时，求∠DEF. (1)证明：AB=AC, ∠ABC=∠ACB, 在ADBE和△ECF中 BE=CF ∠ABC=∠ACB, BD=CE ∴.△DBE≌△ECF(SAS, :DE =EF, .aDEF是等腰三角形； (2)如图， A 1 2λ34 E :△DBE≌△ECF, ∴∠1=∠3，∠2=∠4， :∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，AB=AC, 5/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠B=180°-409)=70°， 2 .∠1+∠2=110°， .∠3+∠2=110°， ∠DEF=70°. 【典例1】如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在BC上，且AE=AD,过点D作 DF⊥AD交AE的延长线于点F,连接CF. (1)若DF=DA,求证：△ACD为等腰三角形： (2)在(1)的条件下，若CD=10,求四边形ADFC的面积. 【详解】(1)证明：在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， △ABC是等腰直角三角形， ∠B=LC=45°， :点D,E在BC上，且AE=AD, ∴.∠ADE=∠AED, :∠ADE是△ABD的外角，∠AED是△ACE的外角， ∠ADE=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，LAED=∠CAE+∠C=∠CAE+45°， ∠BAD+45°=∠CAE+45°， .∠BAD=LCAE, :DF⊥AD,DF=DA, :△DAF是等腰直角三角形， .∠DAF=∠DFA=45°， :∠BAD+∠CAE+∠DAF=LBAC=90°， 2LBAD+45°=90°， ∠BAD=22.5°， .∠BAD=∠CAE=22.5°， 6/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CAD=∠DFA+∠CAE=45°+22.5°=67.5°，∠ADE=∠BAD+45°=22.5°+45°=67.5°， ∴.∠CAD=∠ADE, :AC =DC, :△ACD是等腰三角形： (2)解：：在(1)的条件下，DC=10, .∠BAD=22.5°，∠ADE=67.5°，AC=DC=10, DF⊥AD, ∠ADF=90°， ∠CDF=∠ADF-LADE=90°-67.5°=22.5°， LBAD=∠CDF=22.5°， :AB=AC, .AB=DC=10, 在△ABD和△DCF中， AB=DC ∠BAD=∠CDF, DA=DF ∴△ABD≌aDCF(SAS), S.ABD S.DCF, .S西边影HDFc=SAcD+SDCF=SACD+SABD=SABc, 1AB-4C=x10x10=50, S阳边形ADFC=50。 【变式1】，如图，在ABC中，AB=AC,D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC于点E,交CA的延长 线于点F 7/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：△ADF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BD=6,AD=BE=3,求EC的长. 【详解】(1)证明：：AB=AC, .∠B=LC, :DE⊥BC, ∠FEB=LFEC=90°， ∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°， ∴∠F=∠BDE, :∠BDE=∠FDA, .∠F=∠FDA, .AF AD, ∴△ADF是等腰三角形 (2)解：：AB=AC,LB=60°， :△ABC是等边三角形 .BC=AB=AD+BD=9, :EC=BC-BE=6. 【变式2】.如图，ABC是等腰三角形，AB=AC,点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC,垂足为 点E,直线DE与CA的延长线相交于点F. (1)证明：△ADF是等腰三角形； 8/37 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠B=60°，BD=4,AD=3,求BC的长 【详解】(1)证明：：AB=AC, ∠B=∠C, :FE⊥BC, ∠CEF=∠BED=90°， .LF+∠C=90°，LBDE+LB=90°， ∴∠F=∠BDE, :∠BDE=∠FDA, ·∠F=∠FDA, .AF=AD, △ADF是等腰三角形， (2)解：：BD=4,AD=3, AB=3+4=7, :AB=AC,∠B=60°， :ABC是等边三角形， .BC=AB=7. 题型三 等边三角形的判定 答|题模|板 如图，在锐角三角形ABC中，∠A=60°，它的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC,求证：ABC是 等边三角形， B 证明：在△E0B和△COD中， ∠0EB=∠0DC=90°， ∠E0B=∠COD,OB=OC, △EOB≌△DOC(AAS, 9/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠EBO=∠DCO, :0B=0C, :ZOBC Z0CB, ZEBC ZDCB, :AB AC. 又：∠A=60°， “△ABC是等边三角形. 【典例1】如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，DE是AB的垂直平分线，分别交AB,BC于点D, E,连接CD,AE,求证： A B E (1)△ADC是等边三角形： (2)AE垂直平分CD 【详解】(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， B∠BAC=60,AC7AB :DE是AB的垂直平分线， 1 .AD=AB, 2 :AD=AC, ∴△ADC是等腰三角形， 又：∠BAC=60°， ·△ADC是等边三角形， (2)证明：：DE是AB的垂直平分线， .AE=BE,DE⊥AB, ∴∠BAE=LB=30°， ∠CAE=∠BAC-∠BAE=30°， ∴∠BAE=∠CAE, 10/37可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03等腰三角形（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 等腰三角形 等腰三角形的性质特别是三线合一 常考题型，注意等边三角形的判定方法很 的运用，等边三角形的判定。 多，需要灵活选用。 记·必备知识 屋知识点01等展三角形 (1)等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） (2)等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合。（简写 成“三线合一”) (3)顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。 (4)等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写为“等角对等边”）。 屋知识点02等边三角形 (1)等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 (2)等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 (3)等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 (4)在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 破·重难题型 题型一三线合一 「答题模板 1.如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，点D是BC的中点，E是AB上一点，满足BE=CD ,求∠ADE的度数 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：：AB=AC,∠BAC=80°， 2B=∠C=180-∠B4Cj=刘180°-80r1=50, 2 点D是BC的中点，AB=AC, ∴BD=CD,AD L BC, BE=CD, .BE BD, ∴.∠BDE=∠BED, ∠B=50°， ∠BDE-5l80-0-XI0-09)=65， 故∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-65°=25°」 【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,,且AC的垂直平分线分别交AD,AC于 O,M两点，连接CO并延长交AB于点E. M B (A)求证：BD=CD (2)求证：∠BAC=2∠ACE: (3)若CE=BC,求∠BAC的度数. 【变式1】.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，连接AD,BE平分∠ABC交AC于点 E,过点E作EF∥BC交AB于点F, 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)若∠C=36°，求∠BAD的度数： (2)求证：FB=FE. 【变式2】.如图，在△16C中，4B=4C,过8BC的中点D作 BC E⊥AB,DF⊥AC 垂足分别为点E,F B D (1)试说明：DE=DF: (2)若∠BDE=40°，求∠BAC的度数. 题型二 等腰三角形的判定 答|题|模板 如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF,BD=CE. D B (1)求证：△DEF是等腰三角形. (2)当∠A=40°时，求∠DEF. (1)证明：，AB=AC, ∠ABC=∠ACB I在△DBE和△ECF中 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=CF ∠ABC=∠ACB BD=CE △DBE≌△ECF(SAS ..DE =EF, .△DEF是等腰三角形： (2)如图， D 2λ34N :ADBE≌△ECF, ∴.∠1=∠3，∠2=∠4， ∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，AB=AC, :∠B=2180°-409=70°， 2 |.∠1+∠2=110°， .∠3+∠2=110°， .∠DEF=70°. 【典例】如图，在△4BC。 AB=AC∠BAC=90 中， ,点D,B在BC上，且1B=D,过点D作 DF⊥AD交AE的延长线于点F,连接CF, (1)若DF=DA,求证：△ACD为等腰三角形： (2)在(1)的条件下，若CD=10,求四边形ADFC的面积. 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式I】.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC于点E,交CA的延 长线于点F F D B E (1)求证：△ADF是等腰三角形： (2)若∠B=60°，BD=6,AD=BE=3,求EC的长 【变式2】，如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC,垂足为 点E,直线DE与CA的延长线相交于点F. (1)证明：△ADF是等腰三角形： (2)若∠B=60°，BD=4,AD=3,求BC的长. 它题型三 等边三角形的判定 「答题模|板 如图，在锐角三角形ABC中，∠A=60°，它的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC.求证：△ABC 是等边三角形 】 B 证明：在△EOB和△COD中， 5/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 TZ0EB=∠0DC=90°， ∠EOB=∠COD,OB=OC, .∴AEOB≌△DOC(AAS ∴.∠EBO=∠DCO」 .OB=OC I∠OBC=∠OCB, I∠EBC=∠DCB, I:.AB=AC. 又∠A=60°， △ABC是等边三角形. 【典例1】如图，在△1BC 中， C8-0,∠80，D是B的垂直平分线，分别交8， 于点 D,E,连接CD,AE.求证： D B △ADC (1) 是等边三角形： (2)AE垂直平分CD 【变式I】.如图，点B,C,D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F, AD交CE于点H,连接FH.求证： C (1)△BCE≌△ACD: (2)CF=CH (3)△FCH是等边三角形. 【变式2】.如图，在△ABC中，AB=AC,过点A作AD L AB,交边BC于点D,且DA=DC,延长 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DA使EA=DA,连接BE D (1)求∠ABC的度数： (2)求证：△EBD是等边三角形. 题型四利用等边三角形性质求解 答题模板 如下图，在等边三角形ABC中，D,E,F分别是AC,BC,AB上的点，且AF=BE,∠DFE=∠A, 连接DE,FG平分∠DFE交DE于点G. D G (1)求证：AD=BF: (2)若EG=2,求△DEF的周长. (1)证明：△ABC是等边三角形， 1.∠A=∠B=60°， :∠DFB=∠DFE+∠BFE=∠ADF+∠A, .∠BFE=∠ADF, 在△BFE和△ADF中， 「∠BFE=∠ADF ∠B=∠A BE=AF △BFE≌△ADF(AAS) ∴DA=BF: 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：.△BFE≌△ADF, ..FD=FE, 又.∠DFE=60°， △DFE为等边三角形， 又.FG平分∠DFE, .DE=2EG=4, 1.ADEF的周长=3DE=12」 【典例I】如图，在△ABD与△BCD中，AB=AD,CB=CD,∠DAB=6O°，过点C作CE∥BA,交 AD于E,交BD于F,连接AC,交BD于H. 4 (1)判断△DEF的形状，并说明理由. (2)求证：AC平分∠DAB. 【变式I】·等边△ABC中，点E、F分别在BC、AC上，且BE=CF,BF与AE交于点D. 为然。g B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AE=BF: 2)如图2，过点4作AG1BF,垂足为G,求证：DG= AD: 21 CH∥AE (3)如图3，在(2)的条件下，过点C作 1E,交F的延长线于H,若D为BG中点，求BH:CH的 值 【变式2】.如图，△ABC是等边三角形，D,E为BC上两点，满足BD=EC. 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)证明：AD=AE: 2刨若F为△1BC 外一点，连接 F,1,C,若4C垂直平分，请判断△1D 是否等边三角形，并说明 理由 巴 题型五含30度角的直角三角形 「答题模1板 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB，,AC于点D,E,求证： D ⊙ dc (1)AE=2CE: (2)DE =EC. (1)证明：如图，连接BE, B2-- 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DE是AB的垂直平分线， .'BE=AE, .∠ABE=∠A=30°， ∠C=90°， ∠ABC=60°， .∠CBE=∠DBE=30°， BE :CE=2 CE-TAE 2 I..AE =2CE (2)证明：由(1)得∠CBE=∠DBE=30°， :DE L AB,CE⊥BC, ..DE EC 【典例I】如图，在△ABC中，AB=AC,点D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC,交BC于点E,延 长ED和CA交于点F B E (1)求证：AD=AF (2)若∠F=30°，AF=2,D是AB的中点，求EC的长. 【变式1】.如图，在等边△18C中，点D,E分别在边 C,AC AE=CD,BE 上，且 与4D相交于点P, BQ⊥AD于点Q E B D 10/16