4.4 等腰三角形 教案——2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦等腰三角形的性质、判定，等边三角形及含30°角直角三角形的性质。通过回顾轴对称引入等腰三角形，以折叠实验探究性质，结合全等证明深化理解，构建从实验到论证的学习支架。 亮点在于融合逻辑推理与直观想象，如折叠实验发现性质后用SAS全等证明，尺规作等腰三角形培养动手能力。航海问题应用体现数学建模，分类讨论与方程思想提升解题能力，助力教师高效教学，学生发展几何直观与推理意识。

课题 4.4 等腰三角形 课型 新授课 课时 3课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 实验探究法、合作讨论法、讲练结合法、类比探究法 教学用具 多媒体课件、投影、白板、直尺、三角板、圆规、长方形纸片、含30°角的三角尺 一、核心素养目标 • 【数学抽象】理解等腰三角形和等边三角形的概念，掌握其性质和判定定理 • 【逻辑推理】通过折叠实验和画图测量发现性质，再通过全等三角形进行逻辑证明，体会从实验几何到论证几何的上升；理解性质与判定的互逆关系 • 【逻辑推理】能运用等腰三角形的性质和判定进行推理和计算，掌握分类讨论思想 • 【数学运算】能运用等腰三角形性质计算角度和线段长度，能设未知数列方程解决几何问题 • 【直观想象】通过动手操作和图形观察，发展空间观念和几何直观 • 【数学建模】能运用等腰三角形性质解决航海等实际问题；掌握尺规作等腰三角形的方法 二、教学重难点 教学重点：等腰三角形的性质定理（等边对等角、三线合一）和判定定理（等角对等边）；等边三角形的性质和判定；含30°角的直角三角形的性质 教学难点：三线合一的灵活运用；分类讨论思想的掌握；含30°角直角三角形性质的证明 三、教学过程 【第一课时导入：认识等腰三角形】（3分钟） 【教师活动】同学们，前面我们学习了轴对称和垂直平分线。今天我们来学习一种特殊的轴对称图形——等腰三角形。请大家回顾：什么样的三角形是等腰三角形？ 【学生活动】回答：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【过渡语】下面我们通过动手操作来探究等腰三角形有哪些性质。 【任务一：探索并证明等腰三角形的两个性质（折叠实验）】（8分钟） 【教师活动】活动：将一张长方形的纸按图中的红线对折，把得到的浅蓝色直角三角形剪下。问题1：得到的三角形ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 【学生活动】动手操作后回答：等腰三角形是轴对称图形，折痕所在的直线是它的对称轴。 【教师活动】问题2：经AD折叠，BD和CD重合吗？角B和角C重合吗？问题3：还有其他重合的线段和重合的角吗？请大家完成表格。 【学生活动】观察并填表：重合的线段——AB与AC、BD与CD、AD与AD；重合的角——角B与角C、角BAD与角CAD、角ADB与角ADC。 【教师活动】想一想：由这些重合的角与线段，你有什么发现吗？ 【学生活动】发现：(1)等腰三角形是轴对称图形。(2)角B=角C。(3)角BAD=角CAD，AD为顶角的平分线。(4)角ADB=角ADC=90度，AD为底边上的高。(5)BD=CD，AD为底边上的中线。 【教师活动】猜一猜：根据以上发现你能总结出等腰三角形的性质吗？尝试自己验证一下。 【过渡语】下面我们用数学推理来证明这些猜想。 【猜想1：等边对等角的证明】（7分钟） 【教师活动】猜想1：等腰三角形底角相等。验证：已知：三角形ABC中，AB=AC，试说明：角B=角C。 【思路分析】作顶角角BAC的平分线AD，交BC于点D。利用SAS证明三角形ABD全等于三角形ACD，从而得到角B=角C。 【教师活动】解：作顶角角BAC的平分线AD，交BC于点D。因为AD平分角BAC，所以角1=角2。在三角形ABD与三角形ACD中，AB=AC（已知），角1=角2（已得），AD=AD（公共边），所以三角形ABD全等于三角形ACD（SAS），所以角B=角C。 【学生活动】跟随教师完成证明过程，理解SAS全等证明方法。 【知识点】【性质1】等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。应用格式：因为AB=AC（已知），所以角B=角C（等边对等角）。 注意：等边对等角是等腰三角形最重要的性质之一，是证明角相等的重要工具。前提是在同一个三角形中。 【过渡语】接下来我们探究等腰三角形的第二个性质。 【猜想2：三线合一的证明】（7分钟） 【教师活动】猜想2：等腰三角形三线合一。验证：已知：三角形ABC中，AD是角平分线，试说明：AD是三角形ABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。 【思路分析】利用SAS证三角形ABD全等于三角形ACD，由全等得BD=CD（中线）且角ADB=角ADC=90度（高），加上已知AD是角平分线，即三线合一。 【教师活动】解：在三角形ABC中，因为AD是角平分线，所以角BAD=角CAD。在三角形ABD和三角形ACD中，因为AB=AC，角BAD=角CAD，AD=AD，所以三角形ABD全等于三角形ACD。所以BD=CD，角ADB=角ADC=90度。所以AD是三角形ABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。 【学生活动】跟随教师完成证明，理解三线合一的含义。 【知识点】【性质2】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。 注意：三线合一的前提是等腰三角形，且必须是顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高这三条线相互重合。 【过渡语】下面我们来应用这两个性质解决问题。 【性质应用：分类讨论——角度计算】（5分钟） 【教师活动】例题：等腰三角形的一个内角是50度，则这个三角形的底角的大小是（　　） A. 65度或50度　B. 80度或40度　C. 65度或80度　D. 50度或80度 【思路分析】需要分类讨论：50度角可能是顶角，也可能是底角。当50度为顶角时，底角=(180度-50度)/2=65度；当50度为底角时，另一个底角也是50度，顶角为80度。所以底角是65度或50度。 【教师活动】解：当50度为顶角时，底角=(180度-50度)/2=65度；当50度为底角时，底角=50度。所以底角为65度或50度。选A。 【学生活动】理解分类讨论思想：已知角可能是顶角也可能是底角，需要分情况讨论。 易错点：等腰三角形中，已知一个角的度数求其他角时，必须考虑这个角是顶角还是底角，需要分类讨论，避免漏解。 【过渡语】下面我们通过任务二来进一步应用等腰三角形的性质。 【任务二：三线合一的应用】（6分钟） 【教师活动】活动：完成下列问题，和同伴交流并总结概括解题思路。1. 如图，在三角形ABC中，AB=AC，AD平分角BAC。(1)求角ADB的度数；(2)若角BAC=100度，求角B，角C的度数；(3)若BC=3cm，求BD的长。 【思路分析】(1)由三线合一，AD是角平分线也是高，所以角ADB=90度。(2)由等边对等角，角B=角C=(180度-100度)/2=40度。(3)由三线合一，AD是中线，BD=BC/2=1.5cm。 【教师活动】解：(1)因为AB=AC，AD平分角BAC，所以AD垂直于BC（三线合一），角ADB=90度。(2)因为AB=AC，所以角B=角C=(180度-100度)/2=40度。(3)因为AB=AC，AD平分角BAC，所以BD=CD（三线合一），BD=BC/2=1.5cm。 【学生活动】完成练习，交流解题思路，体会三线合一和等边对等角的综合应用。 【过渡语】下面来看一个需要设未知数的问题。 【等边对等角与方程思想】（5分钟） 【教师活动】2. 如图，在三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求角A的度数。 【思路分析】利用等腰三角形等边对等角的性质，设角EBD=x，由AD=DE=EB可得角A=角AED=2x，角EDC=角A+角AED=4x，角C=角BDC=角A+角EBD=3x，角ABC=角C=3x。由三角形内角和得角A+角ABC+角C=180度，即2x+3x+3x=180度，x=22.5度，角A=45度。 【教师活动】解：设角EBD=x。因为AD=DE=EB，所以角A=角AED=2x。角EDC=角A+角AED=4x。因为BC=BD，所以角C=角BDC=角A+角EBD=2x+x=3x。因为AB=AC，所以角ABC=角C=3x。由三角形内角和，角A+角ABC+角C=180度，即2x+3x+3x=180度，8x=180度，x=22.5度。所以角A=2x=45度。 【学生活动】跟随教师分析，掌握设未知数列方程的方法。 【知识点】【解题方法总结】1. 先确定同一个等腰三角形中等边所对应的底角；2. 利用三角形内角和的性质计算内角大小；3. 当等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x。 【过渡语】下面我们通过练习巩固所学内容。 【第一课时练习巩固】（2分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习。 【教师活动】1. 如图，在三角形ABC中，AB=AC，角A=50度，根据作图痕迹，可知角CBD=（　　）A. 80度　B. 60度　C. 45度　D. 50度 【学生活动】思考并回答：选D（50度）。 【教师活动】2. 等腰三角形有一个角是90度，则另两个角分别是（　　）A. 30度，60度　B. 45度，45度　C. 45度，90度　D. 20度，70度 【学生活动】回答：选B。当90度为顶角时，底角=(180度-90度)/2=45度。 【教师活动】3. 如图，在三角形ABC中，AC=AD=DB，角C=70度，则角CAB的度数为（　　）A. 75度　B. 70度　C. 40度　D. 35度 【学生活动】回答：选A。由AC=AD得角ADC=角C=70度，角CAD=40度。由AD=DB得角DAB=角DBA=35度。角CAB=角CAD+角DAB=40+35=75度。 【过渡语】下面我们来做第一课时的小结。 【第一课时课堂小结】（2分钟） 【教师活动】针对本课关键词'等腰三角形'，说说你学到了什么？ 【学生活动】自由发言：等腰三角形的定义、性质1（等边对等角）、性质2（三线合一）、分类讨论思想…… 【知识点】【等腰三角形性质知识梳理】1. 定义：有两边相等的三角形。2. 性质1：等边对等角（两个底角相等）。3. 性质2：三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）。4. 证明方法：SAS全等。5. 解题技巧：分类讨论、设未知数列方程。 【教师活动】下节课我们将学习等腰三角形的判定方法。 【第二课时导入：情境引入】（3分钟） 【教师活动】如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得角B=角C。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 【学生活动】思考回答：如果AB=AC，两船以相同速度同时出发，就能同时到达。问题转化为：已知角B=角C，能否推出AB=AC？ 【教师活动】这就是我们上节课性质1的逆命题——如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。这个命题成立吗？下面我们通过实验来探究。 【过渡语】下面进入任务一：探究等腰三角形的判定方法。 【任务一：探究等腰三角形的判定方法】（10分钟） 【教师活动】活动1：画三角形ABC，使角B=角C，量一量线段AB与AC的长度。你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？ 【学生活动】动手画图并测量后发现：AB=AC！ 【教师活动】猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。怎样用数学推理进行证明呢？ 【教师活动】已知：如图，在三角形ABC中，角B=角C。求证：AB=AC。 【思路分析】过A作AD平分角BAC交BC于点D，即角1=角2。利用AAS证明三角形ABD全等于三角形ACD，从而得到AB=AC。 【教师活动】证明：过A作AD平分角BAC交BC于点D，即角1=角2。在三角形ABD与三角形ACD中，角1=角2，角B=角C，AD=AD，所以三角形ABD全等于三角形ACD（AAS），所以AB=AC。 【学生活动】跟随教师完成证明过程，理解AAS全等证明方法。 【知识点】【等腰三角形的判定方法】有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成'等角对等边'）。应用格式：在三角形ABC中，因为角B=角C（已知），所以AC=AB（等角对等边），即三角形ABC为等腰三角形。 注意：等角对等边是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立。 【过渡语】下面我们来辨析一下推理是否正确。 【辨析与应用】（8分钟） 【教师活动】如图，下列推理正确吗？因为角1=角2，所以BD=DC（等角对等边）。 【学生活动】回答：都不正确，因为图中角1、角2都不是在同一个三角形中。 【教师活动】正确！等角对等边必须在同一个三角形中才能使用。下面我们来做活动2：应用已学知识，解决下列问题。如图，在三角形ABC中，AB=AC。过点A作BC的平行线交角ABC的角平分线于点D，连接CD。(1)求证：三角形ACD为等腰三角形。(2)若角BAD=140度，求角BDC的度数。 【思路分析】(1)由AD平行BC和BD是角平分线，可证AB=AD，又AB=AC，所以AC=AD，三角形ACD是等腰三角形。(2)由AB=AC=AD结合角度关系，可求出角BDC=50度。 【教师活动】解：(1)因为AD平行BC，BD为角ABC的平分线，AB=AC，所以AB=AC=AD，即三角形ACD为等腰三角形。(2)因为AB=AC=AD，AD平行BC，角BAD=140度，所以角ABD=20度，角DAC=角ABC=40度，角ADC=角ACD=70度，所以角BDC=角ADC-角ADB=50度。 【学生活动】跟随教师完成推理，理解综合应用判定定理和性质定理。 【过渡语】下面我们再做一个练习。 【判定定理的练习巩固】（6分钟） 【教师活动】如图，在三角形ABC中，D为AC的中点，DE垂直于AB，DF垂直于BC，垂足分别为E，F，且DE=DF。求证：三角形ABC是等腰三角形。 【思路分析】由D为AC中点得AD=CD，由DE=DF和HL（或等面积法）可证三角形ADE全等于三角形CDF，从而角A=角C，由等角对等边得AB=CB。 【学生活动】尝试证明：由D为AC中点得AD=CD。在直角三角形ADE和直角三角形CDF中，AD=CD，DE=DF，所以直角三角形ADE全等于直角三角形CDF（HL），所以角A=角C。在三角形ABC中，因为角A=角C，所以AB=CB（等角对等边），即三角形ABC是等腰三角形。 【过渡语】下面我们来学习尺规作等腰三角形。 【任务二：尺规作等腰三角形】（8分钟） 【教师活动】活动：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，怎么作这个等腰三角形？ 【教师活动】作法：（1）作线段AB=a；（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC=h；（4）连接AC，BC，则三角形ABC就是所求作的等腰三角形。 【思路分析】利用垂直平分线的性质：底边上的高垂直平分底边，所以先作底边AB=a，再作垂直平分线，在垂直平分线上取高h，连接即可。 【学生活动】动手画图，理解尺规作等腰三角形的原理。 【过渡语】下面我们通过练习巩固。 【第二课时练习巩固】（5分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习。 【教师活动】1. 在三角形ABC中，角A的相邻外角是80度，要使三角形ABC为等腰三角形，则角B为（　　） A. 80度　B. 100度　C. 40度　D. 40度或100度 【学生活动】回答：选C。角A=180-80=100度。要使三角形ABC为等腰三角形，若角A为顶角，角B=角C=40度。 【教师活动】2. 在直角三角形ABC中，角ACB=90度，CD垂直于AB于D，CE平分角ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　） A. BC=BE　B. EC=BE　C. BC=EC　D. AE=EC 【学生活动】回答：选A。由角平分线+垂直关系，可得角B=角BEC，所以BC=BE。 【教师活动】3. 如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得角NAC=40度，角NBC=80度。求从B处到灯塔C的距离。 【思路分析】由角NBC=角A+角C，得角C=80-40=40度=角A，所以BA=BC（等角对等边）。AB=20×(12-10)=40海里，所以BC=40海里。 【学生活动】解：因为角NBC=角A+角C，所以角C=80-40=40度，所以角C=角A，所以BA=BC（等角对等边）。因为AB=20×(12-10)=40(海里)，所以BC=40海里。答：B处距离灯塔C 40海里。 【过渡语】下面我们来做第二课时的小结。 【第二课时课堂小结】（5分钟） 【教师活动】针对本节课的关键词'等角对等边'，你能说说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】自由发言：等腰三角形的判定定理、等角对等边的应用、尺规作等腰三角形…… 【知识点】【等腰三角形判定知识梳理】1. 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。2. 应用格式：在三角形ABC中，因为角B=角C，所以AC=AB。3. 运用判定定理进行证明和计算。4. 尺规作等腰三角形的方法。 【教师活动】下节课我们将学习等边三角形的性质和判定。 【第三课时导入：认识等边三角形】（2分钟） 【教师活动】同学们，前面两节课我们学习了等腰三角形的性质和判定。今天我们来学习一种特殊的等腰三角形——等边三角形。等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？ 【过渡语】下面我们进入任务一：探究等边三角形的性质与判定。 【任务一：探究等边三角形的性质】（8分钟） 【教师活动】活动1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，和同伴交流，回答以下问题。 【教师活动】问题1：等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 【学生活动】回答：由等边对等角和三角形内角和，可得三角均为60度。 【教师活动】问题2：等边三角形有'三线合一'的性质吗？为什么？ 【学生活动】回答：有。因三边相等，故有三线合一。 【教师活动】问题3：等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【学生活动】回答：是轴对称图形，有三条对称轴。 【知识点】【等边三角形的性质】1. 等边三角形的三条边相等，各个角都等于60度。2. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。3. 等边三角形每条边的中线、高和所对角的平分线'三线合一'。 【过渡语】下面我们来探究等边三角形的判定方法。 【等边三角形的判定方法】（10分钟） 【教师活动】活动2：和同伴一起交流，回答下列问题。问题1：我们知道，如果一个三角形有三条边相等，那么它是等边三角形。如果一个三角形有三个角相等，这个三角形是什么三角形？ 【教师活动】类比探究：等腰三角形等边对等角 → 等边三角形三个角都相等；等腰三角形等角对等边 → 三个角都相等的三角形是等边三角形。 【教师活动】问题解决：已知：在三角形ABC中，角A=角B=角C。求证：AB=AC=BC。 【思路分析】由角A=角B得AC=BC（等角对等边），同理由角A=角C和角B=角C得AB=BC和AB=AC，所以AB=AC=BC。 【教师活动】证明：因为角A=角B，所以AC=BC（等腰三角形等角对等边）。同理：因为角A=角C，角B=角C，所以AB=BC、AB=AC，所以AB=AC=BC。所以三角形ABC是等边三角形。 【教师活动】问题2：请大家结合类比探究的方法，判断在一个等腰三角形中，当它有一个角等于60度时，这个三角形是否是等边三角形，请说明理由。 【思路分析】分情况讨论：当顶角为60度时，两个底角各为(180-60)/2=60度，三角均为60度，是等边三角形。当底角为60度时，另一个底角也是60度，顶角为60度，也是等边三角形。 【教师活动】证明（顶角为60度）：因为AB=AC，所以角B=角C。又因为角A+角B+角C=180度，角A=60度，所以角B=角C=60度，所以角A=角B=角C，所以三角形ABC是等边三角形。当底角为60度时，同理可证。 【学生活动】跟随教师完成推理，理解等边三角形的两种判定方法。 【知识点】【等边三角形的判定方法】1. 三个角都相等的三角形是等边三角形。2. 有一个内角为60度的等腰三角形是等边三角形。 注意：判定方法2的前提是等腰三角形，且有一个角为60度（无论这个角是顶角还是底角）。 【过渡语】下面我们应用等边三角形的知识解决问题。 【等边三角形性质与判定的应用】（8分钟） 【教师活动】活动3：用已学的等边三角形知识，解决下列问题。 【教师活动】(1)如图，三角形ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求角EDC的度数。 【思路分析】由等边三角形得角C=60度，由AD是中线得角ADC=90度、角DAC=30度（三线合一），由AD=AE得角ADE=(180-30)/2=75度，所以角EDC=90-75=15度。 【教师活动】解：因为三角形ABC是等边三角形，所以角C=60度。因为AD是BC边上的中线，所以角ADC=90度，角DAC=30度。因为AD=AE，所以角ADE=(180度-角DAE)/2=75度，所以角EDC=90度-角ADE=90度-75度=15度。 【学生活动】跟随教师完成角度计算。 【教师活动】(2)如图，角B=60度，CD平行AB，若角ACD=60度，三角形ABC是等边三角形吗？ 【思路分析】由CD平行AB得角A=角ACD=60度，又角B=60度，所以角ACB=180-60-60=60度，三角均为60度，是等边三角形。 【教师活动】解：因为CD平行AB，所以角A=角ACD=60度。因为角B=60度，在三角形ABC中，角ACB=180度-角A-角B=60度，所以角A=角B=角ACB，所以三角形ABC是等边三角形。 【学生活动】跟随教师完成推理，理解等边三角形判定方法的综合运用。 【过渡语】下面我们来学习含30度角的直角三角形的性质。 【任务二：探究含30度角的直角三角形的性质】（8分钟） 【教师活动】活动：如图，将两个含30度角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到直角三角形ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？组内交流自己的想法。 【教师活动】将两个三角尺拼在一起，发现三角形ABD是等边三角形，BC=CD=BD/2，而AB=BD，所以BC=AB/2。 【学生活动】观察并回答：猜想——在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 【教师活动】验证猜想：已知三角形ABC中，角C=90度，角A=30度。求证：BC=AB/2。 【思路分析】延长BC到D，使CD=BC，连接AD。由SAS证三角形ABC全等于三角形ADC，得AB=AD，角BAD=60度，所以三角形ABD是等边三角形，BD=AB，所以BC=BD/2=AB/2。 【教师活动】证明：延长BC到D，使CD=BC，连接AD。在三角形ABC和三角形ADC中，BC=DC，角ACB=角ACD=90度，AC=AC，所以三角形ABC全等于三角形ADC（SAS），所以AB=AD，角BAC=角DAC=30度，所以角BAD=60度。所以三角形ABD是等边三角形，BD=AB，所以BC=BD/2=AB/2。 【知识点】【含30度角的直角三角形的性质】在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半。应用格式：因为在直角三角形ABC中，角C=90度，角A=30度，所以BC=AB/2。 注意：使用此性质时，必须同时满足两个条件：直角三角形、有一个锐角为30度。缺一不可。 【过渡语】下面我们应用这个性质来解决问题。 【含30度角性质的应用】（3分钟） 【教师活动】如图，在直角三角形ABC中，角ACB=90度，角B=30度，CD是斜边AB上的高，AD=3cm，则AB的长度是____。 【思路分析】在直角三角形ABC中，因为CD是斜边AB上的高，所以角ADC=90度，角ACD=角B=30度。在直角三角形ACD中，AC=2AD=6cm。在直角三角形ABC中，AB=2AC=12cm。所以AB的长度是12cm。 【教师活动】解：在直角三角形ABC中，因为CD是斜边AB上的高，所以角ADC=90度，角ACD=角B=30度。在直角三角形ACD中，AC=2AD=6cm。在直角三角形ABC中，AB=2AC=12cm。所以AB的长度是12cm。 【学生活动】跟随教师完成推理，理解含30度角性质的两层嵌套应用。 【过渡语】下面我们通过练习巩固。 【第三课时练习巩固】（4分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习。 【教师活动】1. 判断下列说法是否正确：（1）直角三角形中30度角所对的直角边等于另一直角边的一半。（2）三角形中30度角所对的边等于最长边的一半。（3）直角三角形的斜边是30度角所对直角边的2倍。 【学生活动】回答：(1)错误，应等于斜边的一半不是另一直角边的一半。(2)错误，必须是在直角三角形中。(3)正确。 【教师活动】2. 如图，AE平行BD，三角形ABC为等边三角形，若角CBD=15度，则角EAC的度数是（　　）A. 60度　B. 45度　C. 55度　D. 75度 【学生活动】回答：选B。由等边三角形得角ABC=60度，角ABD=60-15=45度。由AE平行BD得角EAC=角ABD=45度。 【教师活动】3. 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40度的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20度的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　）A. 30海里　B. 40海里　C. 50海里　D. 60海里 【学生活动】回答：选B。由南偏西40度+北偏西20度，可得角ABC=60度，又AB=BC=40海里，所以三角形ABC是等边三角形，AC=40海里。 【教师活动】4. 如图，在四边形ABCD中，AB平行DC，DB平分角ADC，角A=60度。求证：三角形ABD是等边三角形。 【学生活动】证明：因为AB平行DC，所以角ABD=角BDC。因为DB平分角ADC，所以角ADB=角BDC=角ABD，所以AD=AB。又角A=60度，所以三角形ABD是等边三角形（有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形）。 【过渡语】下面我们来做第三课时的小结。 【第三课时课堂小结】（2分钟） 【教师活动】回顾本节课内容，回答下列问题：1. 等边三角形的性质有哪些？判定方法有哪些？2. 含30度的直角三角形有什么性质？ 【学生活动】自由发言：等边三角形三角均为60度、三条对称轴、三线合一；判定方法有三角相等或有一个角为60度的等腰三角形；含30度的直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半…… 【知识点】【等边三角形知识梳理】1. 性质：三边相等，三角均为60度；轴对称图形，三条对称轴；三线合一。2. 判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个内角为60度的等腰三角形是等边三角形。3. 含30度角的直角三角形的性质：30度所对的直角边等于斜边的一半。 【教师活动】同学们，通过这三节课的学习，我们系统掌握了等腰三角形和等边三角形的性质、判定以及含30度角直角三角形的性质。这些知识是几何证明和计算的基础，希望大家课后多加练习，熟练掌握。 四、板书设计 4.4 等腰三角形 一、4.4.1 等腰三角形的性质 1. 性质1：等边对等角（两个底角相等） 2. 性质2：三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高重合） 3. 证明：SAS全等 4. 应用：角度计算、分类讨论、设未知数列方程 二、4.4.2 等腰三角形的判定 1. 判定定理：等角对等边 2. 证明：AAS全等 3. 应用：证线段相等、航海问题 4. 尺规作图：已知底边和底边上的高作等腰三角形 三、4.4.3 等边三角形 1. 性质：三角均为60度、三条对称轴、三线合一 2. 判定：(1)三个角都相等；(2)有一个角为60度的等腰三角形 3. 含30度角直角三角形的性质：30度所对直角边=斜边的一半 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $