精品解析：湖北省襄阳市襄城区法龙中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

襄阳市第二十七中学教联体九年级期中数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ ） A B. C. D. 5. 方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有个相等实数根 C. 有个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，⊙O的半径是5，弦AB=6，OE⊥AB于E，则OE的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 9. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的图像，其中对称轴为直线，且过点和，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）当时，有最小值为2；（6）当时，．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 12. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 13. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则度数是________． 14. 运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米 15. 已知中，，将绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果为等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数y的最大值并说明理由． 18. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 19. 得天独厚的地理环境和自然条件使定西成为中国马铃薯最佳适种区之一，目前，定西已成为全国马铃薯三大主产区之一和全国最大的种薯繁育基地．如图，一农户要建一个矩形的马铃薯基地，基地的一边利用长为的墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在平行于墙的一边留一个宽的门，若矩形基地的面积为，求该基地的长和宽． 20. 已知抛物线． （1）补全表格，并在如图的直角坐标系内描出表中各点，画出的图像； 0 1 2 3 （2）点和点，两点在该抛物线上，且满足，则 （用或）填空； （3）①当时，直接写出的范围 ； ②当时，直接写出的范围 ． 21. 如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 22. 今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个． （1）求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率； （2）今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？ 23. 综合与实践 （1）问题情境：如图①，在正方形中，点；分别在，上，．把绕点逆时针旋转得到，使与重合，探究出，，之间的等量关系，并说明理由； （2）问题探究：如图②，已知，，点，分别在，上，．若，都不是直角，则当与满足数量关系 时，；（直接写出结论，不用证明） （3）拓展应用：如图③，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若为拋物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）①点是抛物线对称轴上一点，若为等腰三角形，则点坐标是 ； ②若点是直线下方的抛物线上的点，且的面积为12，求出满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳市第二十七中学教联体九年级期中数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案，熟练掌握一元二次方程的概念是解决此题的关键． 【详解】A、化简后不含二次项，不是一元二次方程，故A错误，不符合题意； B、是二元一次方程，故B错误，不符合题意； C、当时不是一元二次方程，故C错误，不符合题意； D、是一元二次方程，故D正确，符合题意； 故选：D． 2. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念即可判断 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一判断图象即可．本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与二次函数的系数的关系是解题的关键． 【详解】解：的图象是一条过原点，开口向下的抛物线， 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个根为， ∴将代入方程得 故选：B 5. 方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有个相等的实数根 C. 有个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式直接判断即可． 【详解】解：， 方程没有实数根． 故选：A ． 6. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果 【详解】解：方程整理得：， 配方得：，即． 故选：D． 【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 7. 如图，⊙O的半径是5，弦AB=6，OE⊥AB于E，则OE的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据垂径定理求出BE的长，再根据勾股定理求出OE的长即可． 【详解】解：连接OB， ∵AB=6，OE⊥AB， ∴BE= AB=3， ∴OE= = =4, 故选C． 【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦是解答此题的关键． 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余． 【详解】解：，， ， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，是基础知识比较简单． 9. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移个单位所得抛物线的解析式为：， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 10. 如图是二次函数的图像，其中对称轴为直线，且过点和，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）当时，有最小值为2；（6）当时，．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数的图像，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，二次函数解析式可化为：， ∴，， ∵抛物线开口向下， ∴，，， ∴，（1）错误； 由图象知抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，（2）正确； ∵， ∴，（3）正确； ∵抛物线过， ∴当时，，（4）错误； 由图像知抛物线的顶点为，开口向下， ∴当时，有最大值，（5）错误； 由图象知，当时，，（6）正确； ∴正确的有（2）（3）（6），三个．   故选：B ． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征，根据关于原点对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】由题意可分当a=0时，则函数与x轴满足只有一个交点，当a≠0时，则需满足，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： 当a=0时，则函数解析式为，满足与x轴只有一个公共点， 当a≠0时，则函数的图像与x轴只有一个公共点，需满足，即， ∴， 综上所述：当函数图象与轴只有一个公共点，则的值是0或1； 故答案为0或1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 13. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考核旋转的性质． 解题关键点：熟记三角形旋转中，对应角相等． 利用旋转性质，求出对应角度数，根据三角形内角和定理求出，再结合旋转角求得． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解投掷铅球的成绩就是求抛物线与x轴交点的横坐标是解题的关键．令，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：令，得， 解得，（舍）． 所以改运动员此次投掷铅球得成绩是10米． 故答案为：10． 15. 已知中，，将绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果为等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设则用含的代数式分别表示出其他角，再分类讨论利用三角形的内角和是列方程求得的值，可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵绕点旋转得， ∴， ∴， ∴， ， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：（舍）， 综上：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质和分类讨论思想，关键是分类讨论思想的应用． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得； （2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 17. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数y的最大值并说明理由． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 （3）最大值3，见解析 【解析】 【分析】（1），点为函数图象与轴的交点，将函数解析式按照交点式写出化简即可； （2）将一般式化为顶点式即可； （3）借助（2）中的对称轴，根据时，函数值随自变量的变化情况求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． 【小问2详解】 ， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问3详解】 抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 19. 得天独厚的地理环境和自然条件使定西成为中国马铃薯最佳适种区之一，目前，定西已成为全国马铃薯三大主产区之一和全国最大的种薯繁育基地．如图，一农户要建一个矩形的马铃薯基地，基地的一边利用长为的墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在平行于墙的一边留一个宽的门，若矩形基地的面积为，求该基地的长和宽． 【答案】该基地的长为，宽为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设该基地的宽为，则长为，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设该基地的宽为，则长为，由题意得： 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴，则； 答：该基地的长为，宽为． 20. 已知抛物线． （1）补全表格，并在如图的直角坐标系内描出表中各点，画出的图像； 0 1 2 3 （2）点和点，两点在该抛物线上，且满足，则 （用或）填空； （3）①当时，直接写出的范围 ； ②当时，直接写出范围 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3）① ②或 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数的图象，二次函数图象的性质， 对于（1），先列表，再描点，连线可得抛物线； 对于（2），根据抛物线的性质可知当时，函数值y随着x的增大而减小，再比较x的值可得答案； 对于（3），①根据图象的性质可知当时，；当时，，即可得出答案；②根据图象的性质求出函数值小于等于3时自变量的值即可． 【小问1详解】 解：列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象如图所示： 【小问2详解】 解：观察二次函数的图象可知抛物线开口向下，对称轴是， 当时，函数值y随着x的增大而减小． ∵， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①当时，； 当时，； 当时，， ∴时，； ②当或时，． 故答案为：①；②或． 21. 如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴ 设的半径是， ， ， ， 的半径是． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 22. 今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个． （1）求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率； （2）今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？ 【答案】（1）2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为； （2）当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和二次函数解析式是解题的关键： （1）设年平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，求最值即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为． 【小问2详解】 当商品降价元时，则销量为件，每件利润为元． 设总利润为元，依题意， 得． 当时，有最大值． 答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大． 23. 综合与实践 （1）问题情境：如图①，在正方形中，点；分别在，上，．把绕点逆时针旋转得到，使与重合，探究出，，之间的等量关系，并说明理由； （2）问题探究：如图②，已知，，点，分别在，上，．若，都不是直角，则当与满足数量关系 时，；（直接写出结论，不用证明） （3）拓展应用：如图③，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 【答案】（1），理由见详解； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，进而得到，即可得到答案； （2）先作辅助线，把绕点旋转到，使与重合，根据（1），要使，需证明，因此需证明、、在一条直线上，即，即； （3）先作辅助线，把绕点旋转到，使和重合，连接，根据已知条件证明，设，则，，然后在中根据勾股定理即可求出的值，即的长． 【小问1详解】 解：结论： 由旋转得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 结论： 把绕点旋转到，使与重合， 则，，， ∵， ∴， ∴、、在一条直线上， 和（1）类似，， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 ∵中，，， ∴， 由勾股定理得： ， 如图，把绕点旋转到，使和重合，连接， 则，，， ∵， ∴ ， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若为拋物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）①点是抛物线对称轴上一点，若为等腰三角形，则点坐标是 ； ②若点是直线下方的抛物线上的点，且的面积为12，求出满足条件的点的坐标． 【答案】（1）， （2）S最大面积为， （3）①或或或或；②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点Q，连接，设，则，求出得长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）①由（1）可知抛物线的对称轴为直线，设，则，，，若为等腰三角形，则需分情况讨论： ，， ，分别求解即可； ②设，由已知点是直线下方的抛物线上的点，得或，分两种情况讨论，当时，过点B作垂直于x轴的直线，过点C作，过点Q作，由的面积为12，得，列式，解得或（舍去），当时，同理可求出c的值，进而即可求出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：把，分别代入可得， 解得， 抛物线解析式为； 令，则， ， 设直线的解析式为， 把、分别代入，得， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作轴，交于点Q，连接，如图所示： ，， 设，则， ， ， 当时，S的最大面积为， 把代入可得：； 【小问3详解】 解：①， 抛物线的对称轴为直线， 点是抛物线对称轴上一点， 设，则，，， 若，则为等腰三角形， ， ， 即； 若，则为等腰三角形， ， ， 即或； 若，则为等腰三角形， ， 或12， 即或， 综上所述：或或或或； ②设， 点是直线下方的抛物线上的点， 或， 当时， 过点B作垂直于x轴的直线，过点C作，过点Q作， ，， 的面积为12， ， 即， 解得或4（舍去）， ； 当时， 延长至点E，作轴于点C，轴于点F， 同理可求出， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，二次函数的面积问题，分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $