精品解析：贵州省遵义航天高级中学2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷

遵义航天高级中学2025-2026学年度第一次模拟考试试卷 高三数学 考试时间：120分钟 满分：150分 考试内容：高三一轮复习函数之前的知识、数列、立体几何、导数 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题 卡上． 2、回答选择题前，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4、考试结束，请将答题卡上交． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数进行化简，再分别计算和，接着求出，最后根据复数模的计算公式求出. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，解分式不等式求得集合，进而求解结论. 【详解】根据题意，原式，移项得，即， 所以，解得，即， 所以. 故选：B. 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】举例当时可判断A的正误；利用作差法可判断B的正误；利用不等式的基本性质可判断C的正误；结合对数函数的性质可得，进而判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，则， 所以，故B错误； 对于C，由，得， 所以， 又，所以， 因此，故C正确； 对于D，由，得，即， 当时，命题不成立，故D错误. 故选：C. 5. 已知，，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断是奇函数，由充要条件的定义判断即可. 【详解】当时，， 定义域为，关于原点对称， 又， 是奇函数；故充分性成立， 若是奇函数，则定义域必须关于原点对称， ，故必要性成立， “”是“是奇函数”的充分必要条件. 故选：C 6. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A. 36小时 B. 38小时 C. 40小时 D. 42小时 【答案】C 【解析】 【分析】判断第n小时后细胞的个数构成等比数列，即可求出的表达式，解不等式，即可求得答案. 【详解】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C 7. 已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析得的周期为4，的图象关于点对称，当时，，结合即可求解. 【详解】因为，所以①， 则函数的图象关于点对称． 因为为偶函数，所以②， 则函数的图象关于直线对称． 由①②得，则，故的周期为4， 所以． 由，令，得，即③． 已知，由函数的图象关于直线对称，得． 又函数的图象关于点对称，得， 所以，即，所以④． 联立③④解得，故当时，． 由的图象关于点对称， 可得． 故选：A． 8. 已知实数满足，则（　　） A. B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由，得， 得，故,再由，构造函数，由单调性求解． 【详解】， 则， 得，故, 由，得， 令， 因为都是增函数，所以在上是增函数， 由，得，故． 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是符合题目要求的．部分选对得部分分，全对得6分，错选得0分） 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 而，因此不能取等号，D错误. 故选：BC 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D. 【详解】依题意，函数的定义域为， A，，，，函数不是偶函数，A错； B，，则函数是奇函数，B对； C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C对； D，由，得，则，的值域为，D对. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 幂函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数求参数值，再将自变量代入解析式求函数值. 【详解】由函数为幂函数，则，可得， 所以，则. 故答案为： 13. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可. 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 14. 已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，则在时直线与的图象有4个交点，令，只需方程有2个不同的解，根据一元二次方程根的分布，列不等式求解即可． 【详解】如图，作出函数的图象，易知， 当时，此时有4个不同的实数根， 当或时，此时有3个不同的实数根， 当时，此时有2个不同的实数根， 当时，此时有1个不同的实数根， 当时，此时没有实数根， 因此只有在时直线与的图象有4个交点， 要满足关于的函数有8个不同的零点， 令，则方程在上有两个不等实根， 则有解得． 故答案为：. 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明） 15. 已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． （1）求； （2）令，求的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系作差求，利用等比数列的通项公式求； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 因为数列的前项和，且满足， 所以，当时，， 所以， 经验证时，满足，故， 因为数列为公比大于0的等比数列，且，， 设公比为，所以，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以①， ②， ①②得， 所以. 16. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图所示，取中点，连接，， 则由题意且，故四边形是平行四边形， 所以且，故且， 所以四边形是平行四边形，则. 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，根据线面平行的判定证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意. 又， ， ， 即，， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 所以，则，取，则. 设与平面所成角， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线； （2）当时，证明：. 【答案】（1） （2）因为， 当时，时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， ， 令， 则，解得， 在上单调递增，在单调递减. , 即， . 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算，求出切线方程即可（2）时，利用导数求出，问题转化为，令，利用导数证明即可. 【详解】（1）， 当时，，， 所以切线方程为：， 即， （2）略 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，最大值，证明不等式，数学转化思想方法，属于难题 18. 2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） （2）写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）200万元 （2） （3）当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【解析】 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【小问1详解】 依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. 【小问2详解】 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 19. 已知函数在上有定义，，且满足对任意有，在数列中，． （1）求证：在上为奇函数． （2）求的解析式． （3）是否存在自然数，使得对于任意，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 当时，；令，得，即， 对任意的，故在上为奇函数． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用赋值法结合奇函数定义求解； （2）令，再利用奇偶性求得，利用等比数列的通项公式求通项； （3）由等比数列求和公式求得，从而问题转化为恒成立，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由满足，得． 由在上为奇函数，得； 由，得， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所有． 【小问3详解】 ， 假设存在自然数，使得对于任意，有成立， 即恒成立，则，解得． 故的最小值为16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2025-2026学年度第一次模拟考试试卷 高三数学 考试时间：120分钟 满分：150分 考试内容：高三一轮复习函数之前的知识、数列、立体几何、导数 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题 卡上． 2、回答选择题前，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4、考试结束，请将答题卡上交． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A. 36小时 B. 38小时 C. 40小时 D. 42小时 7. 已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则（　　） A. B. C. 2 D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是符合题目要求的．部分选对得部分分，全对得6分，错选得0分） 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 幂函数，则__________． 13. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______． 14. 已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为_____． 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明） 15. 已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． （1）求； （2）令，求的前项和． 16. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线； （2）当时，证明：. 18. 2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） （2）写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 19. 已知函数在上有定义，，且满足对任意有，在数列中，． （1）求证：在上为奇函数． （2）求的解析式． （3）是否存在自然数，使得对于任意，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $