精品解析：江西南昌市2026-2027学年高三上学期第一次素养测试数学试题

高三上学期第一次素养测试 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则，就称是伙伴集合．其中的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据伙伴集合的定义利用列举法即可求出结果. 【详解】若，则，就称是伙伴集合， ， 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有，，． 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是3． 故选:B 2. 已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 故选：D. 3. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可得：． 因为，则，且，所以． 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数后代入计算. 【详解】由已知， 所以， 故选：B. 5. 在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正切公式，结合诱导公式可证tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，再结合已知条件求得tan B＝，进而得解. 【详解】由两角和的正切公式变形得： tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B) ＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C， ∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3. ∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3， ∴tan B＝，B＝60°. 故选：D. 6. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，两个函数有公共对称轴，分别做出两个函数图像，结合图像即可得到结果. 【详解】 函数的图像与函数的图像有公共对称轴，分别做出两个函数的图像如图所示， 由图像可知，两个函数共有12个交点，且关于直线对称，则所有交点的横坐标之和为. 故选：C 7. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由同角三角函数关系式及和差角函数公式及三角形面积公式化简得，再结合条件可得，再由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】在中，，所以. 又， 所以，又由，所以， 因为中，，所以，即， 再由正弦定理得. 又因为，所以，所以，. 代入上式得，因为， 所以，即，解得. 又因为，因此. 8. 若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和. 【详解】由题设，且， ∴，则， ∴为奇函数，令， ∴，即是奇函数， ∴在上的最小、最大值的和为0，即， ∴. 故选：B 【点睛】关键点点睛：由题设求出，构造奇函数，根据区间内存在最值可知，进而求最值的和. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知，，则下列不等式能使成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为为增函数，且，所以，故A正确； 因为为上的减函数， 所以由，得，故B正确； 因为为上的增函数，由，可得，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 10. 《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值域为 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设描述的正弦型函数的性质求解析式，再结合正弦函数的性质求区间值域和区间单调性判断A、B、C；根据图象平移写出解析式，应用代入法判断对称中心确定D的正误. 【详解】由题设，函数的周期满足：，解得， 且，， 即，，因，则， 所以. 对于A，，故A正确； 对于B，由可得，故，故B错误； 对于C，由可得，结合正弦函数的性质知在上单调递增，故C正确； 对于D，将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得， 因，即得到的函数图象不关于点对称，故D错误. 故选：AC 11. 已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在上恰有5个零点 D. 若，在区间有最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用恒等式赋值思想，通过赋值可判断AB，通过作出分段函数图象可判断C，通过分析定义在的二次型函数取到最大值，可得到参数范围来判断D. 【详解】对于A，由题意可知：当时，有，故A正确； 对于B，当时，有， 又因为，所以有，故B错误； 对于C，当时，， 当时，由于，， ，，， 所以，， 作出分段函数和函数的图象如下： 由于，直线经过点，而函数的图象不经过点， 则由图象可得，它们只有5个交点，即在上恰有5个零点，故C正确； 对于D，根据当时，由于， 要满足对，在区间有最大值， 则只需要在上存大最大值， 即满足或，解得或， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：通过对恒等式赋值，可转化到定义域内的函数解析式求值；通过函数值的伸缩关系作出分段函数图象来判断函数的零点. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 13. 已知平面直角坐标系中的点满足，若函数（，分别为的横，纵坐标）在处取得最大值（因，取值的不同而变化），则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式，找到取最大值时 满足的关系，得到 ​，再对不等式因式分解，得到的比值范围，最后用二倍角正切公式求的范围. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以， 因为， 所以都不为，不等式两边同时除以得， 令，则， 即， 解得， 所以， 函数在上单调递减，故， 令， 函数在上单调递减，故， 所以的取值范围是. 14. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数分析可知在内单调递增，结合恒成立问题可得，构建，求导判断其单调性，根据单调性解不等式即可. 【详解】由题意可得：， 因为，则有： 若，则，可得，则； 若，则，可得； 综上所述：，可知在内单调递增， 则， 若对任意的，恒成立，则， 构建，则， 可知在内单调递增， 由可得， 且，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若的角平分线AD与BC交于点D，且，．求的面积， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合题意得到，然后根据余弦定理得到，即可求解A的值； （2）根据三角形面积公式得到，求得c的值，然后根据三角形面积公式求解即可 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，整理得， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为的角平分线为AD，所以 ， 因为 ， 所以， 因为，，所以， 化简可得，解得， 所以 16. 如图，在三棱柱中，，，． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 方法1：取的中点，连接，， 因为，所以，且， 因为，，为的中点，所以， 所以，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 方法2：设为在底面的射影，则平面， 因为，所以 射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点， 因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）法1：取中点，先证平面，再根据面面垂直的判定定理判定平面平面； 法2：设为在底面的射影，证明点恰为斜边的中点，得平面，再证面面垂直. （2）法1：根据（1）的结果建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦； 法2：根据二面角的平面角的概念构造平面与平面夹角的平面角，利用直角三角形的边角关系求角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面，所以与平面所成角即为，所以， 因为，所以，所以，， 因为，为的中点，所以， 方法1：如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，即令，则，， 所以， 易知平面ABC的一个法向量为， 设平面与平面ABC的夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法2：如图，过作的平行线，因为，所以， 过作，垂足为， 因为平面平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以平面与平面的夹角即为， 易知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 甲、乙两名同学进行篮球罚篮游戏，两人交替进行，每交换一次称为一轮，罚中记1分，罚不中记0分，甲、乙每次罚中的概率分别为，且假设每次罚中与否以及对方罚中与否对下次罚球都不产生影响，共进行3轮，若3轮罚球进行完游戏结束，总分多者获胜，相等为战平. （1）求甲获胜的概率； （2）游戏结束后，乙总得分减去甲总得分记为随机变量，求的概率分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为甲乙投篮结果相互独立，所以可利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，分别计算甲获胜的每种情况的概率再求和. （2）先确定随机变量X的所有可能取值，利用独立事件概率乘法公式计算每个组合的概率，求出分布列. 【小问1详解】 记甲获胜为事件，其中分为三种情形， 情形一：甲得1分，乙得0分，概率为. 情形二：甲得2分，乙得0、1分，概率为. 情形三：甲得3分，乙得0、1、2分，概率为. 从而. 【小问2详解】 的所有可能取值为. ， ， ， ， ， ， . 从而的分布列为 . 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 【答案】（1） （2） 当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2. （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即.又因为， 令， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以．所以，即． 综上可得，. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性可得； （2）令，分离参数可得，构造函数，将的零点个数转化为与的图象交点的个数，利用导数分析函数的单调性及取值情况，即可得到的零点个数；将转化为，构造函数，利用导数分析的单调性，从而求得的极小值为，讨论其正负，即可得到的零点个数； （3）分和两种情况，构造新函数，利用导数分析新函数的单调性，即可证得. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为. 可得. 令，得到， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以函数在处取得最小值，最小值为， 所以恒成立，所以函数是增函数， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图，作出符合题意的图象， 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 解法二：因为， 设，当时，单调递减； 当时，单调递增；当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即，有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的一个动点（不与坐标原点重合），． （1）求抛物线C的方程； （2）已知点，按照如下方式构造点，设直线为抛物线C在点处的切线，过点作的垂线交抛物线C于另一点，记的坐标为． （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）设的面积为，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设，，则. 因为，所以点处的切线斜率为， 所以直线斜率为， 所以直线， 与联立可得，， 可得， 所以， 当时，有， 又由，故，所以； （ⅱ）易知直线， F到直线的距离为，， 所以， 由（ⅰ）知，即，所以当时，， 所以当时，， 所以，当时，， 当时，． 所以． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的性质求解即可； （2）（ⅰ）设，，由题意用表示出直线的方程，与抛物线方程联立，进而表示出的横坐标，代入抛物线的方程可得其纵坐标，并得到与的不等关系，再利用累加法即可证明当时，；（ⅱ）用表示点到直线的距离，进而得到弦长，并得的面积，结合，可得，根据裂项相消求和法，即可证得． 【小问1详解】 抛物线C的准线方程为，所以， 所以，解得，所以C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略（ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三上学期第一次素养测试 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则，就称是伙伴集合．其中的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（    ） A. B. C. 或 D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 60° 6. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 7. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知，，则下列不等式能使成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值域为 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11. 已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在上恰有5个零点 D. 若，在区间有最大值，则 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知，则______． 13. 已知平面直角坐标系中的点满足，若函数（，分别为的横，纵坐标）在处取得最大值（因，取值的不同而变化），则的取值范围为__________． 14. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若的角平分线AD与BC交于点D，且，．求的面积， 16. 如图，在三棱柱中，，，． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 甲、乙两名同学进行篮球罚篮游戏，两人交替进行，每交换一次称为一轮，罚中记1分，罚不中记0分，甲、乙每次罚中的概率分别为，且假设每次罚中与否以及对方罚中与否对下次罚球都不产生影响，共进行3轮，若3轮罚球进行完游戏结束，总分多者获胜，相等为战平. （1）求甲获胜的概率； （2）游戏结束后，乙总得分减去甲总得分记为随机变量，求的概率分布列与数学期望. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 19. 已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的一个动点（不与坐标原点重合），． （1）求抛物线C的方程； （2）已知点，按照如下方式构造点，设直线为抛物线C在点处的切线，过点作的垂线交抛物线C于另一点，记的坐标为． （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）设的面积为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $