河南省商丘市睢县2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河南省商丘市睢县八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列线段中，是的边AB上的高的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，≌，AB和CD，BC和DA是对应边，则的对应角是(    ) A. B. C. D. 4.下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，图中的两个三角形全等，则等于(    ) A. B. C. D. 6.下列命题是假命题的是(    ) A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 有两个角是的三角形是等边三角形 C. 三个角都相等的三角形是等边三角形 D. 三边相等的三角形是等边三角形 7.如图，在中，，AD为BC边上的中线，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，把沿DE折叠，使点A落在点处，若，则等于(    ) A. B. C. D. 9.如图，在四边形ABCD中，，，按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G，则BG的长是(    ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10.如图，点A，C，D，E在的边上，，且，且，于点H，于点F，，，，图中阴影部分的面积为(    ) A. 30 B. 50 C. 66 D. 80 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如果座位表上“3列4行”记作，那么座位表示上“5列2行”记为        . 12.在中，若，，则BC的长为      . 13.如图，已知，欲证≌，必须添加一个条件，则你所添加的条件是        . 14.如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点E，已知点E是AC的中点，，则      . 15.如图，在等腰中，，与的平分线交于点O，过点O作，分别交AB、AC于点D、E，则的周长是      . 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题8分 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上. 画出的边BC上的高AD； 画出的边AC上的中线 17.本小题8分 如图，，，且，求证，请将下列证明过程补充完整： 证明：， ____________， 即______=______， 在和中， ______， ____________， ______已知， ≌______， ______ 18.本小题9分 如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置保留作图痕迹，不写作法 19.本小题10分 已知a，b，c是的三边长，， 求c的取值范围； 若c是小于8的偶数，试判断的形状. 20.本小题10分 如图，在中，，AD是的角平分线，于E，点F在边AC上，连接DF，且 求证：≌； 若，求的度数. 21.本小题9分 如图，在平面直角坐标系中，，，画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； 请仅用无刻度的直尺画出AC边上的高线保留画图痕迹，不能有尺规痕迹； 请在y轴上确定点P，使得的和最小保留画图痕迹 22.本小题10分 在中，，，点M从点B出发沿射线BA移动，同时点N从点C出发沿线段AC的延长线移动，点M，N移动的速度相同，MN与BC相交于点 如图①，过点M作，交BC于点求证：≌； 如图②，过点M作于点F，在点M从点B向点点M不与点A，B重合移动的过程中，线段BF与CD的长度和是否保持不变？若保持不变，请直接写出线段BF与CD的长度和；若改变，请说明理由. 23.本小题11分 在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： 已知：为锐角三角形，求作：的平分线. 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C； ③画射线OC，则射线OC即为所求. 如图1，射线OC就是的角平分线的依据是______； A. 课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： ①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边OA，OB上分别取，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分请你帮这位同学证明：OP平分； ②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连接CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______填“正确”或“错误” ③丙同学：如图4，把直尺的一边落在的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD，再把直尺的一边落在的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF；CD与EF相交于点P，连接OP，则OP是的角平分线.你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______； 你还有什么作角平分线的方法与以上作法原理不一样？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形， 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、由图可知，AD是的边BC上的高，不符合题意； B、由图可知，AD不是的高，不符合题意； C、由图可知，CD是的边AB上的高，符合题意； D、由图可知，BD是的边AC上的高，不符合题意； 故选： 结合三角形边上的高，是指该边所对顶点向该边作垂线，由四个选项逐项验证即可得到答案． 本题考查三角形的高的定义及作图，熟记三角形的高及作图是解决问题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：≌， 的对应角是， 故选： 根据全等三角形的性质即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，理解全等三角形的性质是解决问题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意． 故选： 将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，据此即可解答． 本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系的分类方法是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：因为图中的两个三角形全等，且的对边为b， 所以 故选： 根据全等三角形的对应角相等，判断计算选择即可． 本题考查了全等三角形的性质，准确判定对应关系是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，是假命题，符合题意； B、有两个角是的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意； C、三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意； D、三边相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意． 故选： 利用等边三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等边三角形的判定方法，难度较小． 7.【答案】C  【解析】解：，AD是BC边上的中线， ，， ， ， ， ， 故选： 首先根据等腰三角形三线合一的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 本题考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形底边的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解答本题的关键，难度不大． 8.【答案】C  【解析】解：， ， 折叠， ，， ， ； 故选： 根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 本题考查三角形折叠中的角度问题，掌握其相关知识点是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：由作图可知：DG平分， ， ， 两直线平行，内错角相等， 等量代换， 等角对等边， ，， ，则BG的长是3， 故选： 根据作图得到DG平分，进而得到，平行，得到，进而得到，推出，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 本题考查作图，角平分线的定义，平行线的性质，关键是相关知识的熟练掌握． 10.【答案】B  【解析】解：， ， ， 于点H， ， 又， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，，， ，， 同理可得：≌， ，， ， ， 故选： 利用AAS可得≌，因而可得，，同理可得，，再利用即可求解． 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由题意得座位表示上“5列2行”记为， 故答案为： 根据题意可知，第一个数表示列数，第二个数表示行数，据此解答即可． 本题考查了用有序数对表示位置，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12.【答案】5  【解析】解：，， 是等边三角形， 故答案为： 判定是等边三角形，推出 本题考查等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形． 13.【答案】或或  【解析】解：，， 添加根据ASA即可推出≌； 添加根据AAS即可推出≌； 添加根据SAS即可推出≌， 综上所述，欲证≌，必须添加一个条件是或或 故答案为：或或 根据全等三角形的判定定理解答即可． 本题考查了全等三角形的判定，关键掌握全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS， 14.【答案】11  【解析】解：过点B作于点G，过点D作于点F，如图： 点E是AC的中点， ， ，， ， 故答案为： 过点B作于点G，过点D作于点F，分别表示出和进而即可得解． 本题考查了三角形的面积和高，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 15.【答案】18  【解析】解：与的平分线交于点O， ，； ， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为： 根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，，得到，，再根据三角形周长计算公式列式求解即可． 本题主要考查了等角对等边，角平分线的定义，平行线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 16.【答案】的边BC上的高AD，如图1即为所求；   的边AC上的中线BE，如图2即为所求．   【解析】的边BC上的高AD，如图1即为所求； 的边AC上的中线BE，如图2即为所求． 根据三角形的高的定义画图即可； 根据三角形的中线的定义画图即可． 本题考查作图-应用与设计作图、三角形的中线和高，解答本题的关键是熟练掌握三角形中线、高的定义． 17.【答案】        已知      BE  SAS  全等三角形的对应边相等  【解析】证明：， ， 即， 在和中， ， ≌， 全等三角形的对应边相等 故答案为：；；；；已知；；；BE；SAS；全等三角形的对应边相等． 根据得，由此可依据“SAS”判定和全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确地图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 18.【答案】如图所示，点P即为所求作的点．   【解析】解：分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求，如图所示，点P即为所求作的点． 分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 19.【答案】；   是等腰三角形  【解析】，， 由条件可知或 当时，，是等腰三角形； 当时，，是等腰三角形； 综上是等腰三角形． 利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； 利用等腰三角形的判定方法得出即可． 本题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键． 20.【答案】是的角平分线，，， ， 在和中， ， ；   的度数为  【解析】证明：是的角平分线，，， ， 在和中， ， ； 解：，， ， ， ， 由角平分线的性质得到，再利用HL即可证明； 先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 21.【答案】 ；   作图：   作图：   【解析】作图如下，即为所求；； 如图，高线BD即为所求； 如图，点P即为所求． 在坐标系中确定点A、B、C关于x轴的对称点，顺次连接即可； 根据网格确定点E，连接BE交AC于点D，则BD是AC边上的高线； 作点B关于y轴的对称点，连接与y轴交于点P，即为所求． 本题主要考查轴对称图形的作法，轴对称最短路径问题等，理解题意，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． 22.【答案】， ， ， ，， ， ， 点M从点B出发沿射线BA移动，同时点N从点C出发沿线段AC的延长线移动，点M，N移动的速度相同， ， ， 在和中， ， ≌；   线段BF与CD的长度和保持不变；线段BF与CD的长度和为4  【解析】证明：， ， ， ，， ， ， 点M从点B出发沿射线BA移动，同时点N从点C出发沿线段AC的延长线移动，点M，N移动的速度相同， ， ， 在和中， ， ≌； 解：线段BF与CD的长度和保持不变；线段BF与CD的长度和为4；理由如下： 如图②，过点M作交BC于点G， 由可知， 又， ， ， 线段BF与CD的长度和保持不变， 根据题意可得，，且，运用角角边即可求证； 根据题意得到，，由此得到，即可求解． 本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23.【答案】C；   ①①证明：由作法可得，， ， ， ， 平分； ②正确；③到角的两边距离相等的点在角的平分线上；   以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，连接CD，作线段CD的垂直平分线MN，交CD于点P，则MN过点O，即OP为的平分线； 根据作图可知：，MN垂直平分CD， 到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上， 此时CD的垂直平分线MN过点O， ，， 根据等腰三角形三线合一可知，OP平分  【解析】解：如图1，连接MC、NC， 根据作图痕迹可知，，， ， ≌， ， 平分； 故选：C； ①证明：由作法可得，， ， ， ， 平分； ②由作法可得，，， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， 即OP平分； 故答案为：正确； ③点P到OA的距离等于直尺的宽度，点P到OB的距离等于直尺的宽度， 由条件可知点P到OA的距离等于点P到OB的距离， 平分， 即丙同学的这种作角平分线的依据是到角的两边距离相等的点在角的平分线上； 故答案为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上； 以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，连接CD，作线段CD的垂直平分线MN，交CD于点P，则MN过点O，即OP为的平分线； 由条件可知，MN垂直平分CD， 到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上， 此时CD的垂直平分线MN过点O， 根据等腰三角形三线合一可知，OP平分 连接MC、NC，根据作图痕迹可知，，，结合公共边，根据“SSS”证明≌，得出，即可得解； ①由作法可得，，结合公共边，，证明，得到，从而得证；②由作法可得，，，从而得出，证明≌，得出，证明≌，得出，最后证明≌，得出，从而得证；③根据角平分线的判定定理即可得解； 以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，连接CD，作线段CD的垂直平分线MN，交CD于点P，则MN过点O，即OP为的平分线． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，尺规作角平分线和垂直平分线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是 解此题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $