2026年九年级数学几何模型研究大讲堂 专题二十六 不共顶点旋转模型

初中数学几何模型研究大讲堂 专题二十六：不共顶点旋转模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图，将绕某一点旋转得到新的三角形． 1. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 旋转的相关知识点 求线段长、角度 1. 在选择或填空题中考查： （1）求线段长或角度 2. 常在解答题中进行简单计算与证明 运用旋转的相关知识点，结合全等解题 PART 2——模型思路. 旋转作为重要的图形变化，全等中常常出现旋转产生的图形，不共顶点的旋转难度较易.平移、翻折（轴对称）、旋转均属于全等变换，是重要的知识点.不共顶点旋转模型类型的题目简单，也常出现在平行四边形中考察尺规作图，这类题型往往利用了平行四边形的对称性.注意读题，不要出错. PART 3——模型练习. 1.（2024·湖北咸宁校级期中）如图，如果，周长是 cm， cm， cm，，则为（　　） A．10cm B．8 cm C．12 cm D．9 cm 2.（2024·湖南长沙一中期中）如图，已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·浙江杭州校级期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，则的长为 ． 4.（2025·黑龙江绥化月考）如图，已知，，垂足分别为点E、F，则在下列各组条件中选择一组，其中不能判定的是 （    ） A．， B．， C．， D．， 5.（2025·山东临沂期中）如图，点，在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 6.（2023·山西吕梁校级月考）如图，已知，A，F，C，D四点在同一条直线上．    (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并证明． 7.（2024·内蒙古通辽校级期中）已知：点，，，在一条直线上，，，．求证：，． 8.（2025·湖北武汉三模）如图，点、、、在同一条直线上，和在直线两侧，若．请从①，②，③中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． (1)条件：______（填写序号） 结论：______（填写序号） (2)证明你所构建的命题是真命题． 9.（2024·新疆和田期中）已知：如图，点B、F、E、C在同一条直线上，，且，．    求证：． 证明：(已知)， (    )， (已知)， ____________， 即， 在和中， ， (    )， ． 10.（2024·福建莆田校级月考）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 11.（2023·山东青岛校级一模）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，A，C，F在同一条直线上．从下面三个选项选择一个作为条件补充在下面横线上并完成作答，选择选项：______（只填写序号，从①②③三个选项中选择一个） ①；②；③． (1)求证：； (2)请判断四边形EBFD的形状，并证明你的结论． 12.（2024·江苏盐城作业）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    13.（2025·重庆南开期中模拟）如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E．    (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，①__________ ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴ 在和中： ∴， ∴，③__________ ∴ ∴④____________________ ∵ ∴，． ∴四边形是平行四边形（⑤____________________）（填依据） 14.（2024·重庆西大附中期中）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：平行四边形中，于点，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 15.（2025·重庆南开期中）如图，在平行四边形中，于． (1)尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，， _____①_____， ，， _____②_____， 在、中， ， ， _____④_____， ． PART 4——模型变式. 【变式1】（2023·湖南湘西州期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：．    证明：∵， ∴（____________） ∵， ∴______． ∴______． 在与中， ______ ______ ______ ∴（____________）， ∴． 【变式2】（2024·重庆西大附中期末）如图，矩形中，为其对角线．过点作于点． (1)用直尺和圆规，作，使，交于点，交于点； (2)小明思考此时的DF是否会垂直，为了探究这个问题，小明尝试利用证明三角形全等来推导．根据小明的思路，完成以下填空： 证明：∵四边形是矩形， ，①， ． 在和中 ∴， ∴③． ∵， ∴④， ， ∴． 【变式3】（2023·浙江温州期中）已知：如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，，，，求证：． 【变式4】（2025·福建莆田校级模拟）如图，、、、四点在同一条直线上，A、两点在直线异侧，且，．求证：． 【变式5】（2025·湖北随州校级期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，． 证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题二十六：不共顶点旋转模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图，将绕某一点旋转得到新的三角形． 1. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 旋转的相关知识点 求线段长、角度 1. 在选择或填空题中考查： （1）求线段长或角度 2. 常在解答题中进行简单计算与证明 运用旋转的相关知识点，结合全等解题 PART 2——模型思路. 旋转作为重要的图形变化，全等中常常出现旋转产生的图形，不共顶点的旋转难度较易.平移、翻折（轴对称）、旋转均属于全等变换，是重要的知识点.不共顶点旋转模型类型的题目简单，也常出现在平行四边形中考察尺规作图，这类题型往往利用了平行四边形的对称性.注意读题，不要出错. PART 5——模型解析. 1.（2024·湖北咸宁校级期中）如图，如果，周长是 cm， cm， cm，，则为（　　） A．10cm B．8 cm C．12 cm D．9 cm 【答案】A 【分析】根据周长是 cm， cm， cm就可求出第三边的长，根据全等三角形的对应边相等，即可求得的长． 【详解】解：周长是 cm， cm， cm， cm． ，， cm． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边，要根据对应角去找对应边. 2.（2024·湖南长沙一中期中）如图，已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质定理，是解决问题的关键． 根据全等三角形的性质定理逐项判断即可． 【详解】A、∵， ∴， ∴A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴B正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴， ∴C正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴． ∴D不正确，符合题意． 故选：D． 3.（2025·浙江杭州校级期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，进而得出，再根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 4.（2025·黑龙江绥化月考）如图，已知，，垂足分别为点E、F，则在下列各组条件中选择一组，其中不能判定的是 （    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定定理．熟记定理内容是解题关键．先证明，再利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， A：若，，则可利用“”判断，不符合题意； B：若，，则，可利用“”判断，不符合题意； C：若，，则可利用“”判断，不符合题意； D：与不是对应边，故不能判定，符合题意； 故选：D． 5.（2025·山东临沂期中）如图，点，在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一，任选其一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记三角形的判定定理是解决问题的关键． 根据两个三角形全等的判定定理，添加条件求证即可得到答案． 【详解】解：， ， ①添加， 在和中， ； ②添加， 在和中， ； ③添加， 在和中， ； ④添加， ， 则 在和中， ； 综上所述，添加或，可使， 故答案为：（答案不唯一，任选其一）． 6.（2023·山西吕梁校级月考）如图，已知，A，F，C，D四点在同一条直线上．    (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据全等三角形的性质，得到，即可得出结论； （2）全等三角形的性质，推出，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2） 理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边和对应角相等，是解题的关键． 7.（2024·内蒙古通辽校级期中）已知：点，，，在一条直线上，，，．求证：，． 【答案】见解析； 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质．先利用平行线的性质得出，，然后利用等式的性质可得，再根据证明，最后利用全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． ∴，． 8.（2025·湖北武汉三模）如图，点、、、在同一条直线上，和在直线两侧，若．请从①，②，③中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． (1)条件：______（填写序号） 结论：______（填写序号） (2)证明你所构建的命题是真命题． 【答案】(1)②③；①或①③；② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、命题与定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形全等的判定与性质是解此题的关键． （1）选择②③当条件，①当结论或①③当条件，②当结论即可； （2）根据，得出，证明即可． 【详解】（1）解：条件：②③，结论：①；或条件①③，结论②； （2）当条件：②③，结论：①时， 证明：， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； 当条件①③，结论②时， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 9.（2024·新疆和田期中）已知：如图，点B、F、E、C在同一条直线上，，且，．    求证：． 证明：(已知)， (    )， (已知)， ____________， 即， 在和中， ， (    )， ． 【答案】见详解 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，可证，再根据判定，即可求证． 【详解】(已知)， (两直线平行，内错角相等)， (已知)， ， 即， 在和中， ， ()， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 10.（2024·福建莆田校级月考）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行性的性质及全等三角形的判定，根据题意得出，，，再由全等三角形的判定即可证明． 【详解】证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 11.（2023·山东青岛校级一模）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，A，C，F在同一条直线上．从下面三个选项选择一个作为条件补充在下面横线上并完成作答，选择选项：______（只填写序号，从①②③三个选项中选择一个） ①；②；③． (1)求证：； (2)请判断四边形EBFD的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)①答案不唯一； (2)四边形EBFD是平行四边形，证明见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，由全等三角形的判定和性质可得结论； （2）根据平行四边形的判定解答即可． 【详解】（1）选择①AE＝CF， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△DAE和△BCF中， ， ∴△DAE≌△BCF（SAS）， 故答案为：①答案不唯一； 选择②； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，OA＝OC， ∴AE＝CF， 类似①的方法证明即可； 选择③； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，OA＝OC， ∵， ∴∠DEO＝∠BFO， ∵∠DOE＝∠BOF， ∴△DOE≌△BOF， ∴， 类似②的方法证明即可． （2）选择①AE＝CF，四边形EBFD是平行四边形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∴四边形EBFD为平行四边形． 选择②； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO， ∵OE＝OF， ∴四边形EBFD为平行四边形． 选择③； 证出后，方法同②． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 12.（2024·江苏盐城作业）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：仍成立． 理由如下（如题图3）： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件是解题关键． 13.（2025·重庆南开期中模拟）如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E．    (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，①__________ ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴ 在和中： ∴， ∴，③__________ ∴ ∴④____________________ ∵ ∴，． ∴四边形是平行四边形（⑤____________________）（填依据） 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】（1）根据作一个角的平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）证明，得出，，证明，得出，根据，，得出四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，为所求作的角平分线；    （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴ 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）． 故答案为：①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 14.（2024·重庆西大附中期中）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：平行四边形中，于点，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，，①． ． 在和中，， ． ，②． ，即③． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④矩形． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 15.（2025·重庆南开期中）如图，在平行四边形中，于． (1)尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，， _____①_____， ，， _____②_____， 在、中， ， ， _____④_____， ． 【答案】(1)见解析 (2)①，，③，④ 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质、矩形的性质． （1）利用基本作图作； （2）先根据矩形的性质得到，，则，再证明得到，接着利用垂直的定义证明． 【详解】（1）如图，为所作； （2）四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：①，，③，④． PART 4——模型变式. 【变式1】（2023·湖南湘西州期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：．    证明：∵， ∴（____________） ∵， ∴______． ∴______． 在与中， ______ ______ ______ ∴（____________）， ∴． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；； 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质，根据平行线的性质及可证得，进而可求证结论，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴． ∴． 在与中， ， ∴， ∴， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；；；． 【变式2】（2024·重庆西大附中期末）如图，矩形中，为其对角线．过点作于点． (1)用直尺和圆规，作，使，交于点，交于点； (2)小明思考此时的DF是否会垂直，为了探究这个问题，小明尝试利用证明三角形全等来推导．根据小明的思路，完成以下填空： 证明：∵四边形是矩形， ，①， ． 在和中 ∴， ∴③． ∵， ∴④， ， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)①，，③，④ 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质、矩形的性质． （1）利用基本作图作； （2）先根据矩形的性质得到，，则，再证明得到，接着利用垂直的定义证明． 【详解】（1）如图，为所作； （2）四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：①，，③，④． 【变式3】（2023·浙江温州期中）已知：如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】首先由得出，再利用平行线的性质得出，进而利用全等三角形的判定定理ASA即可证明． 【详解】证明∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（ASA） 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式4】（2025·福建莆田校级模拟）如图，、、、四点在同一条直线上，A、两点在直线异侧，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、平行线的性质以及等式的基本性质，解题关键是熟练掌握全等的判定与性质、平行线的性质． 由，通过等式性质得到．依据，利用平行线性质推出．结合已知，根据角角边判定．由全等三角形对应边相等，得出． 【详解】证明：∵， ∴，即． ∵， ∴． 在和中： ，，． ∴． ∴． 【变式5】（2025·湖北随州校级期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，． 证明：． 【答案】证明见解析 【分析】找齐条件，证明，即可得到结论，此处考查了全等三角形的判定和性质，找准条件是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴ ∵， ∴. 在与中， ∵， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $